1、2022-6-6电网络分析第二章电网络分析电网络分析2 2研究生课程主讲人：杨向宇顶点（节点）顶点（节点）：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，顶点用符号顶点用符号v表示表示;边（支路）边（支路）： 连接两个顶点连接两个顶点vi、 vj的一条线段称为边或支的一条线段称为边或支路。边用顶点的无序偶路。边用顶点的无序偶e=vi, vj表示表示;图（线图）图（线图）：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边连接于顶点。若用连接于顶点。若用E表示图中所有边的集合，表示图中所有边的集合，V表示图中所有表示图中所有顶点的集合，则这
2、个图顶点的集合，则这个图G可以表示为可以表示为G=（V，E）；有向图有向图：若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图。：若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图。有向边有向边a用其顶点用其顶点vi、 vj的有序偶的有序偶a=(vi, vj)表示表示。若用若用A表示图表示图中所有边的集合，中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集合，则这个图表示图中所有顶点的集合，则这个图Gd可可以表示为以表示为Gd=（V，A）第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语相关联和相邻接相关联和相邻接：如果边联接着两个顶点，则称边与这两：如果边联接着两个顶
3、点，则称边与这两个顶点个顶点相关联相关联；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两个顶点是个顶点是相邻接的顶点相邻接的顶点；如果两条边至少有一个公共顶点，；如果两条边至少有一个公共顶点，则称两条边为则称两条边为相邻接的边相邻接的边。顶点的次数（维数）顶点的次数（维数）：与顶点相关联的边的数目。：与顶点相关联的边的数目。孤立顶孤立顶点点的次数为的次数为0，次数为，次数为2的顶点称为的顶点称为简单顶点简单顶点。子图、互补子图：子图、互补子图：子图的每一个顶点和边都是原图的顶点子图的每一个顶点和边都是原图的顶点和边；两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和边；
4、两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和顶点，这样的两个子图称为互补子图。和顶点，这样的两个子图称为互补子图。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语通路通路：由：由m条边和条边和m+1个顶点通过个顶点通过m条边依次连通，且条边依次连通，且m+1个顶点中除始个顶点中除始端和终端是端和终端是1次外，其余各顶点均为次外，其余各顶点均为2次的，这样的子图称为通路。通路所次的，这样的子图称为通路。通路所包含的支路数包含的支路数m称为通路的长度。称为通路的长度。回路和自环回路和自环：通路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回：通
5、路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于回路所包含的节点数；长度为回路所包含的节点数；长度为1的回路称为自回路，即自环。的回路称为自回路，即自环。连通图连通图：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是非连通图。非连通图。完备图完备图：任何一对顶点之间有且仅有一条边。：任何一对顶点之间有且仅有一条边。可断图可断图：如果一个连通图：如果一个连通图G存在着这样一个存在着这样一个顶点，将该顶点移去后
6、（移去该顶点及相关联顶点，将该顶点移去后（移去该顶点及相关联的边），使的边），使G成为一个非连通图，这样的顶点成为一个非连通图，这样的顶点称为断点，含断点的连通图称为可断图。称为断点，含断点的连通图称为可断图。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语树和树余树和树余：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有1条通路；条通路；在连通图中与树互补的子图称为树余。树中所含的边称为树在连通图中与树互补的子图称
7、为树余。树中所含的边称为树支，树余中所含的边称为连支。支，树余中所含的边称为连支。林和余林：在由林和余林：在由s 个分离部分组成的非连通图中，各分离部个分离部分组成的非连通图中，各分离部分的树的集合构成一个包含分的树的集合构成一个包含s 个树的林。林的补图称为余林。个树的林。林的补图称为余林。割集割集：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为2个且仅个且仅有有2个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条边不被移去，该图仍然是连通的。边不被移去，该图仍然是连通的。基本割集基本割集：单树支割集。：单树支
8、割集。基本回路基本回路：单连支回路。：单连支回路。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语定理定理2-1：在具有：在具有Nt个顶点，个顶点，B条边的连通图条边的连通图G中，任何中，任何一个树一个树T的树支数为的树支数为N=Nt-1，连支数为，连支数为B-N。定理定理2-2：对于具有：对于具有Nt个顶点，个顶点，B条边的连通图条边的连通图G， G中中关于任何一个树关于任何一个树T的基本割集数为的基本割集数为N，基本回路数为，基本回路数为B-N。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语网络的图和图
9、论基本术语网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）与边（支路）、回路与边、割集与边与边（支路）、回路与边、割集与边的关联性质都可以用矩阵的关联性质都可以用矩阵形式来表示。在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地建立向形式来表示。在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地建立向量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计。量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计。一、关联矩阵：一、关联矩阵：增广关联矩阵增广关联矩阵Aa: Aa=aij 是一个是一个NtB的矩阵的矩阵1 1 0 ijjiiajiiji
10、 第 支路与第 个节点相关联，且支路方向离开节点第 支路与第 个节点相关联，且支路方向指向节点第 支路与第 个节点无关联第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示定理定理2-3：一个节点数为：一个节点数为Nt的连通图，其增广关联矩阵的连通图，其增广关联矩阵Aa的秩为的秩为N=Nt-1。关联矩阵关联矩阵A：从：从Aa中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩阵阵A。定理定理2-4：在增广关联矩阵：在增广关联矩阵Aa中，对应于图中，对应于图G的任一回路的任一回路的列是线性相关的。的列是线性相关的。定理定理2-5：连通图：连通图G的关
11、联矩阵的关联矩阵A的一个的一个N阶子矩阵是非奇阶子矩阵是非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图G的一个的一个树上的树支。树上的树支。 tl AAA第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示二、回路矩阵二、回路矩阵：增广回路矩阵增广回路矩阵Ba： Ba=bij 是一个是一个LB的矩阵的矩阵, L为有向连通图为有向连通图G的回路数。的回路数。 1 1 0 ijjibjiji 第 支路与第 个回路相关联，且支路方向与回路方向相同第 支路与第 个回路相关联，且支路方向与回路方向相反第 支路与第 个回路无关联第二章
12、第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示定理定理2-6：对于一个具有：对于一个具有Nt=N+1个节点、个节点、B条支路的连通图条支路的连通图G，其增广回路矩阵的秩为其增广回路矩阵的秩为B-N。基本回路矩阵基本回路矩阵Bf： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点、个节点、B条支路的有向连通图条支路的有向连通图G，在选定，在选定一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一致。基本回路矩阵致。基本回路矩阵Bf是一个是一个（B-N）B矩阵，其元素矩阵，其元素bij定义如定义如下：下：1 1 0 ijjib
13、jiji 第 支路与第 个基本回路相关联，且支路方向与基本回路方向相同第 支路与第 个基本回路相关联，且支路方向与基本回路方向相反第 支路与第 个基本回路无关联 ftl BB1第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示 三三、割集矩阵、割集矩阵：增广割集矩阵增广割集矩阵Qa： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点、个节点、B条支路、条支路、C个割集的有向连通图个割集的有向连通图G，选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个CB矩阵，它的矩阵，它的每一行对应于一个割集，每一列对应于一条支路，其元素每一行对应于一个割集，每一列对应
14、于一条支路，其元素qij定定义如下：义如下：1 1 0 ijjiqjiji 第 支路与第 个割集相关联，且支路方向与割集方向相同第 支路与第 个割集相关联，且支路方向与割集方向相反第 支路与第 个割集无关联第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示定理定理2-7：具有：具有Nt个节点、个节点、B条支路的有向连通图条支路的有向连通图G，其增广，其增广割集矩阵割集矩阵Qa的秩为的秩为N=Nt-1。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf ： Qf 是是一个一个NB矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向一致，它的每一行对应于一个基本割集，
15、每一列对应于一条一致，它的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支路，其元素支路，其元素qij定义如下：定义如下：1 1 0 ijjiqjiji 第 支路与第 个基本割集相关联，且支路方向与基本割集方向相同第 支路与第 个基本割集相关联，且支路方向与基本割集方向相反第 支路与第 个基本割集无关联 ftl Q1Q第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示四、邻接矩阵四、邻接矩阵： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点连通图个节点连通图G，节点之间的邻接关系可，节点之间的邻接关系可以用邻接矩阵以用邻接矩阵D来表示。来表示。D=dij是一个是一个Nt阶方阵，
16、其行列均对阶方阵，其行列均对应于节点，其中每一元素应于节点，其中每一元素dij定义如下：定义如下： 邻接邻接矩阵特点：矩阵特点：一个无向图一个无向图G，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，其对角线元素为零的对称矩阵；其对角线元素为零的对称矩阵；每一行（或每一列）所含每一行（或每一列）所含1的个数是相应的节点次数的个数是相应的节点次数1 0 ijjidji第 个节点与第 个节点相邻接第 个节点与第 个节点不相邻接第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示五、矩阵五、矩阵A、Bf、Qf之间的关系之间的关系： 矩阵矩阵A
17、与矩阵与矩阵Bf之间的关系之间的关系： 如果同一有向连通图的如果同一有向连通图的矩阵矩阵A和矩阵和矩阵Bf的列按相同的支路顺序排列，则的列按相同的支路顺序排列，则有：有：证明：令证明：令 如果将如果将A和和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路的顺序与对应的的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路的顺序与对应的连支顺序一致。则连支顺序一致。则 ， ，TfAB0TfB A0 ftlBB1 tlAAATTT tftlttllBABAAA BA01第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示TfABC 11:0 2: 0Bijikjkkijipjpimjmij
18、ca bijca ba b节点 不属于回路 节点 属于回路 因为因为At为非奇异的，则：为非奇异的，则： 将上式两端取转置，有将上式两端取转置，有 ，因此，因此 因此，如果已知关联矩阵因此，如果已知关联矩阵A，则可由上式写出基本回路矩阵，则可由上式写出基本回路矩阵Bf。T1ttl BA AT1ttl BA AT1 ftltll BB1A A1第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示 矩阵矩阵Bf与矩阵与矩阵Qf之间的关系之间的关系： 如果同一有向连通图如果同一有向连通图G按照相同的支路顺序排列，则有：按照相同的支路顺序排列，则有：证明：令证明：令如果矩
19、阵如果矩阵Qf和和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，则有的列按先树支后连支的顺序排列，则有 ， ，那么，那么TffQ B0TffB Q0 ftlBB1 ftlQ1QTTT lltfftlt1B QB1BQ0Q第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示TffQ BP 11:0 2: 0Bijikjkkijimjminjnijpq bijpq bq b割集 与回路 无公共支路 割集 与回路 有公共支路（必为偶数） 因此：因此： 因此有：因此有：Ttl BQTlt QBT lfl BQ1T -fttQ1B第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22
20、 图的矩阵表示图的矩阵表示 矩阵矩阵A与矩阵与矩阵Qf之间的关系之间的关系： 因为：因为： 所以：所以： 当已知关联矩阵当已知关联矩阵A时，可根据上式写出基本割集矩阵时，可根据上式写出基本割集矩阵Qf 。T1ttl BA AT1tltl QBA A111 tttftltlQ1A AAAAA A第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示图的矩阵表示一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式 用关联矩阵用关联矩阵A表示的表示的KCL方程方程： 用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL方程方程： 如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连如果
21、在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：bAi = 0tlA = A Atl bii =i第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络。网以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络。网络变量是电压、电流；依据：络变量是电压、电流；依据：KCL、KVL、VCR由于由于At是一个非奇异矩阵，所以有：是一个非奇异矩阵，所以有：由此看出，由此看出，B条支路电流中，只有
22、条支路电流中，只有B-N个连支电流是独立的，个连支电流是独立的，树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电流集合的一个基底流集合的一个基底(basis)。考虑到矩阵。考虑到矩阵Bf与与A的关系，得到的关系，得到 该式就是用基本回路矩阵该式就是用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL方程的矩阵形式。方程的矩阵形式。 tbtlt tl ll iAi = A A= A i +A i = 0i-1ttl li = -A A i-1tTtlblflll i-A Ai =i = B ii 1第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基
23、尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式 用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL方程方程： 由于矩阵由于矩阵Qf的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割集所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含集所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含支路的电流的代数和为零。支路的电流的代数和为零。二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式 用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的表示的KVL方程方程： 用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL方程方程： 如果
24、在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则基本回路矩阵顺序，则基本回路矩阵Bf和支路电压向量和支路电压向量ub可分块为：可分块为：fbQ i0fbB u0第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式于是：于是：由此看出，由此看出，B条支路电压中，只有条支路电压中，只有N个树支电压是独立的，连个树支电压是独立的，连支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压集合的一个基
25、底集合的一个基底(basis)。因此可以得到：。因此可以得到： 该式就是用基本割集矩阵该式就是用基本割集矩阵Qf表示的表示的KVL方程的矩阵形式。方程的矩阵形式。 ftlBB1 Tbtluuu tfbtlttlluB uB1B uu0uTlttlt uB uQ u tttTbtftTTlltlu1uuuQ uuQ uQ第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式 用关联矩阵用关联矩阵A表示的表示的KVL方程方程： 式中式中un是以各节点电压为元素的列向量，称为节点电压向量。由于每条支
26、路都只与是以各节点电压为元素的列向量，称为节点电压向量。由于每条支路都只与两个节点相关联，支路电压可表示为其两端节点电压之差，因此用节点电压可表示两个节点相关联，支路电压可表示为其两端节点电压之差，因此用节点电压可表示全部支路电压。全部支路电压。三、一般支路电压电流关系的矩阵表示三、一般支路电压电流关系的矩阵表示 本书第三、四、六章中均是用一个元本书第三、四、六章中均是用一个元件表示一条支路。件表示一条支路。 一般支路形式一般支路形式： 一个无源二端元件与电压源相串联，一个无源二端元件与电压源相串联，再与电流源相并联，将这种串并联组合再与电流源相并联，将这种串并联组合电路部分规定为电路部分规定
27、为“一般支路一般支路”。其参考方。其参考方向规定：向规定：无源元件为关联参考方向，电无源元件为关联参考方向，电源元件为非关联参考方向源元件为非关联参考方向。TbnuA u第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式时域和复频域的电流、电压关系时域和复频域的电流、电压关系：一般支路中电流、电压关系一般支路中电流、电压关系 整个网络的时域和复频域电流、电压关系（向量形式）整个网络的时域和复频域电流、电压关系（向量形式）式中式中i和和u分别表示无源元件的电流向量和电压向量；分别表示无源元件
28、的电流向量和电压向量；is和和us分分别表示电流源的电流向量和电压源的电压向量；别表示电流源的电流向量和电压源的电压向量； ib和和ub分别分别表示支路电流向量和电压向量。表示支路电流向量和电压向量。I(s)、U(s)、Is(s)、Us(s)和和Ib(s)、Ub(s)则是上述各变量象函数的向量。则是上述各变量象函数的向量。 bkkskbkkskiiiuuu bsbsbsbsssssss iiiIIIuuuUUU第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2022-6-6电网络分析第二
29、章一般支路中基尔霍夫定律表达式一般支路中基尔霍夫定律表达式 复频域一般支路，其电流、电压关系（复频域一般支路，其电流、电压关系（VCR)为为用支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式用支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式： 对于网络中每条支路写出对于网络中每条支路写出VCR方程，并写成矩阵形式方程，并写成矩阵形式第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式 ssffsffsffsffsssssssAi = Ai AI= AIQ i = Q i Q I= Q IB u
30、= B u Q U= Q U bkkbkskskkbkkskskUsZsIsIsUsZs IsZs IsUs bbbbssssssssUZIZIU2022-6-6电网络分析第二章式中式中Zb(s)为无源元件为无源元件阻抗矩阵阻抗矩阵，设支路编号先后按电感元件、，设支路编号先后按电感元件、电阻元件、电容元件的顺序，则支路阻抗矩阵分块成：电阻元件、电容元件的顺序，则支路阻抗矩阵分块成：式中式中Lp是一个对角方阵。其第是一个对角方阵。其第i个主对角元素是第个主对角元素是第i条支路的自条支路的自感感Li，第，第i行第行第r列的元素是第列的元素是第i条支路与第条支路与第r条支路的互感条支路的互感Mir。
31、Rp是对角阵，它的第是对角阵，它的第j 个主对角元素是第个主对角元素是第j条支路的电阻条支路的电阻Rj。Dp为对角阵，其主对角元素为对角阵，其主对角元素Dk是第是第k条支路的倒电容（即条支路的倒电容（即Dk =1/Ck）。下标。下标p代表局部的，代表局部的， Lp 、 Rp 、 Dp分别称为分别称为局部电感矩阵局部电感矩阵、局部电阻矩阵局部电阻矩阵、局部倒电容矩阵局部倒电容矩阵。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式 0 0 0 01 0 0 pbppsssLZRD2022-6
32、-6电网络分析第二章将每个局部参数矩阵都用零元素扩充到将每个局部参数矩阵都用零元素扩充到Zb(s)矩阵的阶数矩阵的阶数B，称为称为支路参数矩阵支路参数矩阵，用，用L、R、D表示，例如支路阻抗矩阵：表示，例如支路阻抗矩阵：则支路阻抗矩阵可以简单的表示为：则支路阻抗矩阵可以简单的表示为：用支路导纳矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式用支路导纳矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式： 由支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系，可以得到：由支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系，可以得到：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和
33、支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式0 0 00 00 0 0pRR 1bsssZLRD bbbbssssssssIYUYUI2022-6-6电网络分析第二章式中式中Yb(s)为无源元件为无源元件导纳矩阵导纳矩阵：式中式中 p= Lp-1 、 Gp=Rp-1 、Cp= Dp-1分别称为分别称为局部倒电感矩阵局部倒电感矩阵、局部电导矩阵局部电导矩阵、局部电容矩阵局部电容矩阵。如果把上述每一个局部参数矩阵都用零元素扩充到如果把上述每一个局部参数矩阵都用零元素扩充到Yb(s)的阶的阶数数B，则：，则：式中式中C、G和和 分别称为分别称为支路电容矩阵、电导矩阵和倒电感矩阵支路电容矩阵、电导矩阵和倒
34、电感矩阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式 1 0 0 0 0 0 0 pbppsssYGC 1bsssYCG2022-6-6电网络分析第二章对于具有有对于具有有N+1个节点，个节点，B条支路的网络，直接求解条支路的网络，直接求解B个支路个支路电流或电流或B个支路电压的方法，个支路电压的方法，称为直接分析法称为直接分析法。一、阻抗矩阵法（支路电流法）一、阻抗矩阵法（支路电流法）对于一个不含受控源的网络，由用基本回路矩阵表示的对于一个不含受控源的网络，由用基本回路矩阵表示的K
35、CL方程及用支路阻抗矩阵表示的方程及用支路阻抗矩阵表示的VCR，可得：，可得：上式代表上式代表B-N个线性独立方程，加上个线性独立方程，加上AIb(s)=0，可合写为：，可合写为：如果如果Ib(s)的系数矩阵为非奇异，则：的系数矩阵为非奇异，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 24 直接分析法直接分析法 fbbfsfbssssssB ZIB UB ZI 11 ffbfbfbbssssssssBB ZB ZB ZIUI0AA0 ffbfbbsssssssBB ZB ZIUI0A02022-6-6电网络分析第二章求出支路电流向量求出支路电流向量Ib(s)后，则可由用支路阻抗矩阵
36、表示的后，则可由用支路阻抗矩阵表示的VCR求出支路电压向量求出支路电压向量Ub(s) 。二、导纳矩阵法（支路电压法）二、导纳矩阵法（支路电压法）对于一个不含受控源的网络，由用关联矩阵表示的对于一个不含受控源的网络，由用关联矩阵表示的KCL方程方程及用支路导纳矩阵表示的及用支路导纳矩阵表示的VCR，可得：，可得：上式代表上式代表N个线性独立方程，加上个线性独立方程，加上BfUb(s)=0，可合写为：，可合写为：如果如果Ub(s)的系数矩阵为非奇异，则：的系数矩阵为非奇异，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 24 直接分析法直接分析法 bbsbssssssAYUAIAYU bb
37、bssfsssssAYAYAUIU0B0 11 bbbbssffssssssAYAYAYAUIU0BB02022-6-6电网络分析第二章求出支路电压向量求出支路电压向量Ub(s)后，则可由用支路导纳矩阵表示的后，则可由用支路导纳矩阵表示的VCR求出支路电流向量求出支路电流向量Ib(s) 。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 24 直接分析法直接分析法2022-6-6电网络分析第二章直接分析法是以支路电流或支路电压作为网络变量，因而需直接分析法是以支路电流或支路电压作为网络变量，因而需要联立求解的方程数等于支路数，计算工作量大要联立求解的方程数等于支路数，计算工作量大 。连支电流
38、集是全部支路电流集的基底，树支电压集和节点电连支电流集是全部支路电流集的基底，树支电压集和节点电压集都是支路电压集的基底，所以可以选取压集都是支路电压集的基底，所以可以选取连支电流连支电流、树支电树支电压压或或节点电压节点电压作为网络变量。根据网络变量的不同，网络方程作为网络变量。根据网络变量的不同，网络方程可分为可分为回路方程回路方程、割集方程割集方程和和节点方程节点方程。对于一个具有对于一个具有N+1个节点，个节点，B条支路的电网络，选定一个参考条支路的电网络，选定一个参考节点，绘出其连通图节点，绘出其连通图G，以节点电压，以节点电压Un(s)作为网络变量，可以作为网络变量，可以导出节点方
39、程导出节点方程;在图在图G中选择一个树后，分别写出基本割集矩阵中选择一个树后，分别写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵和基本回路矩阵Bf，若以树支电压，若以树支电压Ut(s)作为网络变量，可导作为网络变量，可导出割集方程；若以连支电流出割集方程；若以连支电流Il(s)作为网络变量，则可导出回路作为网络变量，则可导出回路方程。方程。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2022-6-6电网络分析第二章一、节点方程一、节点方程用关联矩阵用关联矩阵A表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方程为方程为 (1
40、)用支路导纳矩阵用支路导纳矩阵Yb(s)表示的表示的VCR方程为方程为 (2)将将(2)代入代入(1)中的第一式，可得：中的第一式，可得：再将再将(1)中的第二式代入上式，经整理可得：中的第二式代入上式，经整理可得：令：令：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程 bbnsssTAI0 UA U bbbbssssssssIYUYUI bbssssssAYUUAI0 TbnsbssssssAYA UAIAYU TnbnsbsssssssYAYAIA IYU2022-6-6电网络分析第二章可得：可得：式中，式中，Yn(s)是
41、一个是一个N阶方阵，称为阶方阵，称为节点导纳矩阵节点导纳矩阵，In(s)是是N维维向量，称为向量，称为节点电源电流向量节点电源电流向量，上式，上式称为节点方程称为节点方程。对于给定网络，由节点方程求出节点电压向量对于给定网络，由节点方程求出节点电压向量Un(s)，再根，再根据据(1)中的第二式和中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路和支路电流向量电流向量Ib(s)。二、割集方程二、割集方程用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方方程为：程为： (3)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方
42、程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程 nnnsssYUI fbbftsssTQ I0 UQU2022-6-6电网络分析第二章将将(2)代入代入(3)中的第一式，可得：中的第一式，可得：再将再将(3)中的第二式代入上式，经整理得：中的第二式代入上式，经整理得：令：令：可得：可得：式中，式中，Yc(s)是一个是一个N阶方阵，称为阶方阵，称为割集导纳矩阵割集导纳矩阵，Ic(s)是是N维向维向量，称为量，称为割集电源电流向量割集电源电流向量，上式，上式称为割集方程称为割集方程。对于给定网络，由割集方程求出节点电压向量对于给定网络，由割集方程求出节点电压向量Ut(s)，再根
43、据，再根据(3)中的第二式和中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路电和支路电流向量流向量Ib(s)。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程 fbbsfsssssQ YUUQ I0 TfbftfsbssssssQ YQUQIYU TcfbfcfsbsssssssYQ YQIQIYU ctcsssYUI2022-6-6电网络分析第二章三、回路方程三、回路方程用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方程方程 (4)用支路阻抗矩阵用
44、支路阻抗矩阵Zb(s)表示的表示的VCR方程为方程为 (5)将将(5)代入代入(4)中的第二式，可得：中的第二式，可得：再将再将(4)中的第一式代入上式，经整理可得：中的第一式代入上式，经整理可得：令：令：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程 TbflfbsssIB I B U0 bbbbssssssssUZIZIU fbbsfsssssB ZIIB U0 TfbflfsfbssssssB ZBIB UB ZI TlfbfslfsbsssssssZB ZBUBUZI2022-6-6电网络分析第二章可得：可得：式中，式
45、中，Zl(s)是一个是一个B-N阶方阵，称为阶方阵，称为回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵，Usl(s)是是B-N维向量，称为维向量，称为回路电源电压向量回路电源电压向量，上式，上式称为回路方程称为回路方程。对于给定网络，由回路方程求出连支电流向量对于给定网络，由回路方程求出连支电流向量Il(s)，再根据，再根据(4)中的第一式和中的第一式和(5)可以分别求出支路电流向量可以分别求出支路电流向量Ib(s) 和支路电和支路电压向量压向量Ub(s) 。割集方程是节点方程的推广形式；回路方程和割集方程互割集方程是节点方程的推广形式；回路方程和割集方程互为对偶的网络方程。为对偶的网络方程。第二章第二章 网络图论
46、和网络方程网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程 llslsssZIU2022-6-6电网络分析第二章问题：在网络中，若存在无伴电压源支路时，由于该支路的问题：在网络中，若存在无伴电压源支路时，由于该支路的导纳为无穷大，给节点方程和割集方程的建立带来困难。导纳为无穷大，给节点方程和割集方程的建立带来困难。解决方案：将无伴电压源支路电流也作为网络变量。解决方案：将无伴电压源支路电流也作为网络变量。求解变量：在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电求解变量：在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电流作为未知量。流作为未知量。说明：某些支路电流除了无伴
47、电压源支路电流外，还可以包说明：某些支路电流除了无伴电压源支路电流外，还可以包括需要直接求解的支路电流。括需要直接求解的支路电流。一、支路划分一、支路划分将网络中的支路划分为三类：将网络中的支路划分为三类：第一类为一般支路；第一类为一般支路；第二类为无伴电压源支路，以二端元件为一条支路，电压、第二类为无伴电压源支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，电流取关联参考方向，USE(s)为无伴电压源电压；为无伴电压源电压；第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 26 改进的节点方程改进的节点方程2022-6-6电网络分析第二章第三类为直接求电流支路，以二端元件为一条支路，电
48、压、第三类为直接求电流支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，电流取关联参考方向，Yx(s)为直接求电流支路导纳。为直接求电流支路导纳。二、改进节点方程二、改进节点方程将网络中的支路编号按一般支路、无伴电压源支路和直接求将网络中的支路编号按一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路排序，可将网络的关联矩阵写成分块形式：电流支路排序，可将网络的关联矩阵写成分块形式：式中：式中：A0是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵；是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵；AE是是反映无伴电压源支路与节点之间的关联关系的子阵；反映无伴电压源支路与节点之间的关联关系的子阵；Ax是反映是反映直接求
49、电流支路与节点之间的关联关系的子阵。直接求电流支路与节点之间的关联关系的子阵。第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 26 改进的节点方程改进的节点方程0 ExAAAA2022-6-6电网络分析第二章将支路电流向量和支路电压向量也按同样顺序分块将支路电流向量和支路电压向量也按同样顺序分块根据根据KCL，有：，有： (2-6-1) (2-6-2)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 26 改进的节点方程改进的节点方程 0 TbExssss IIII 0 TbExssss UUUU 00 ExExsssIAAAI0I 00+EExxsssA IA IA I02022-6-
50、6电网络分析第二章根据根据KVL，有：，有： (2-6-3) (2-6-4a) (2-6-4b) (2-6-4c)一般支路、无伴电压源支路、直接求电流支路的一般支路、无伴电压源支路、直接求电流支路的VCR方程为方程为 (2-6-5a) (2-6-5b) (2-6-5c) 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 26 改进的节点方程改进的节点方程 00 TEExnxssssUUAAAUU 00TnssUA U TEEnssUA U TxxnssUA U 0000ssssssssIYUYUI ESEss UU xxxsssIYU2022-6-6电网络分析第二章改进节点方程改进节点方程将
