1、TOPSIS评价法评价法 TOPSIS 评价法评价法The Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution 设设评价对象数为评价对象数为n，评价指标数为，评价指标数为p，每个对象的，每个对象的指标值为指标值为对Z矩阵进行加权 目前不同指标的确定权重的方法主要有：经验加权法和数学加权法（如均权法、离差权法等）。 最常用的方法是经验加权法的专家咨询经验判断法。 j=1,2,p n评委数量；p评价指标总数； aj第j个指标的权数平均值； aij第i个评委对第j个指标权数的打分。1nijjiaana11 a12 a1pa21
2、 a22 a2pan1 an2 anp归一化，得 aj评委集体给评价指标j赋予的权重。统一命：wj= aj，显然，0 wj 1，pjjjjaaa1pjjw11例例 题题 某学习小组有5名成员，学习4门课程。在期末考试中，各成员各科的考试成绩如下表。请对各成员的综合成绩作出评价。 S M S1S2S3S4M160759085M275809570M365708585M450706075M580809065 解题：1 描述事件 评价对象个数n=5；评价指标个数p=4。859075601x709580752x858570653x756070504x659080805x65908080756070508
3、58570657095807585907560T5T4T3T2T1xxxxxX 此处无负效应指标，所以对负效应指标对正效应指标ijijijxxy6590808075607050858570657095807585907560XY2 对矩阵X的元素进行变换3 对Y矩阵的元素进行无量纲化6575857085S4xi49060859590S3xi38070708075S2xi28050657560S1xi1M5 x5jM4 x4jM3 x3jM2 x2jM1 x1j S M 149.499168.003189.868170.88021512iijy注意：yij=xij0.3800.4390.4970
4、.4100.497S4zi40.4740.3160.4480.5000.474S3zi30.4760.4170.4170.4760.446S2zi20.5350.3340.4350.5020.401S1zi1M5 z5jM4 z4jM3 z3jM2 z2jM1 z1j S M 149.499168.003189.868 170.88021512iijy21512iijijijyyz380. 0474. 0476. 0535. 0439. 0316. 0417. 0334. 0497. 0448. 0417. 0435. 0410. 0500. 0476. 0502. 0497. 0474. 0
5、446. 0401. 0Z4 对Z矩阵加权，确定加权规范化矩阵U和正负理想点 按前述方法，得： w1=0.3；w2=0.4；w3=0.2；w4=0.1。380. 0474. 0476. 0535. 0439. 0316. 0417. 0334. 0497. 0448. 0417. 0435. 0410. 0500. 0476. 0502. 0497. 0474. 0446. 0401. 0Zw1=0.3 w2=0.4w3=0.2w4=0.10.0380.0440.0500.0410.050S4ui40.0950.0630.0900.1000.091S3ui30.1900.1670.1670.1
6、900.178S2ui20.1610.1000.1310.1510.120S1ui1M5 u5jM4 u4jM3 u3jM2 u2jM1 u1j S M wjw1=0.3w2=0.4w3=0.2w4=0.1u+T0.1610.1900.1000.050u-T0.1000.1670.0630.0380.0000.0060.0120.0030.012S40.0320.0000.0270.0370.028S30.0230.0000.0000.0230.011S20.0610.0000.0310.0510.020S1M5 u5TM4 u4TM3 u3TM2 u2TM1 u1Tu+T0.1610.190
7、0.1000.050u-T0.1000.1670.0630.038uT=u+T-u-T0.0610.0230.0370.0125 计算相对贴近度di = 0.0612+ 0.0232+ 0.0372+ 0.0122=0.0062u0.0050.0000.0030.0050.003u5, uu4, uu3, uu2, uu1, uuT=u+T-u-T0.0610.0230.0370.0120.830.000.500.830.50d5d4d3d2d1可见，M2和M5拿一等奖学金；M1和M3拿二等奖学金；M4没有奖学金。数据包络分析技术数据包络分析技术参考文献1叶义成等. 系统综合评价技术及其应用.
8、 冶金工业出版社 2006.2 杜栋等. 现代综合评价方法与案例精选. 清华大学出版社2008.3 秦守康等. 综合评价原理与方法. 电子工业出版社2003.4 魏权龄等. 数量经济学. 中国人民大学出版社2008.导导 例例 设有8个双投入、单产出的同类型企业，投入产出量如表1所示。试对其生产效率进行概略分析。 假设各企业规模收益不变，同比例扩大产量到120.序号12345678投入1（x1j）19112105820投入2（x2j）101615171120产出（yj）12082440120202460序号12345678x1j19155610304040 x2j10153045176540y
9、j120120120120120120120120 x1jx2j2040204015348267 把8个生产点包围在右上方最小的凸集中，形成的折线总体，称为数据包络曲线。 凡是凸包中 x2j /x1j0的边界点，都是生产效率相对高的点；内点都是生产效率相对低的点。1. DEA方法概述 DEA (Data Envelopment Analysis)方法又称为数据包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门（企业），进行相对有效性综合评价的一种方法。它也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。 被评价对象是相同类型的部门、企业或者同一部门（企业）的不同时期的相对效率。 被评价的这些部门、企
10、业或时期称为决策单元（DMU）或评价单元。DEA方法的提出和发展 1978年，查恩斯(A. Charnes)、库伯(W.W.Cooper)和罗兹(ERhodes)提出了第一个DEA模型，评价部门间的相对有效性，这个模型被命名为C2R模型。用这个模型评价多投入多产出生产部门的规模有效性和技术有效性，都是卓有成效的。 1985年，查恩斯、库伯、格拉尼(B. Golany)、赛福德(L. Seiford)和斯图茨(J. Stutz)提出了C2GS2模型。这种模型评价生产部门间技术有效性是十分有效的。 1986年，查恩斯、库伯和中国人民大学魏权龄教授为了进一步的估计有效生产前沿面，提出了评价无穷多个评
11、价单元的一种新的C2W模型。DEA模型的特点之一： 应用客观数据，避免了主观性。2. DEA基本模型2.1 基本概念 在多投入和多产出的评价系统中，某种生产活动可以用一组投入指标值和产出指标值表示，评价单元DMUj的一组投入指标值xj和产出指标值yj用向量表示为xj = (x1j, x2j, , xmj)T (1)yj = (y1j, y2j, , ypj)T (2) 定义1 一般称T为所有可能的生产活动构成的生产可能集：T =(x, y)|产出y能用输入x生产出来，有(xj, yj) T (j=1,2,n) 一般假设生产可能集满足下列4条公理： (1)凸性；(2)锥性； (3)无效性； (4
12、)最小性。 为什么？生产可能集生产可能集4公理公理（1）凸性 对任意的(x, y)T和(x,y)T，以及0,1, 有 (x, y)+(1-)(x,y)T 即，如果分别以x和x的倍和(1-)倍之和作为新的输入，则可得到原产出相同比例之和的新的产出，凸性表明T是凸集。（2）锥性 若(x, y)T及k0, 则k (x, y) = (kx, ky)T 即，以原输入的k倍作为新的输入，则得到原产出的k倍是可能的。（3）无效性 设(x, y)T， 若xx, 则(x, y)T；若yy，则(x, y)T. 此即，在原来生产活动的基础上，增加投入或减少生产总是可能的。（4）最小性 生产可能集T是满足上述条件（1
13、）（3）的所有集的交集。 在满足上述4条公理的基础上，对于已有的观测值(xj, yj), j =1,2,n，可以构造生产可能集 T =(x, y)| ,j0, j =1,2,n 后边的模型及其求解，建立在这个集合之上。yyxxnjjjnjjj11,2.2 基本C2R模型2.2.1 C2R模型 设有n个部门或企业，称为n个评价单元DMUj (j =1, 2, , n)，每个评价单元都有m种投入和p种产出，分别用不同的经济指标表示，构成了有n个评价单元的多指标投入和多指标产出的评价系统，如图所示。DEA评价系统构成评价系统构成权重权重图中，xijDMUj评价单元第i种投入指标， xij0；yrjD
14、MUj评价单元第r种产出指标的产出量，yrj0；vi第i种投入指标的权系数， vi0；ur第r种产出指标的权系数， ur0；(i=1, 2, , m; j=1, 2, , p)。xij和yrj是向量xj = (x1j, x2j, , xmj)T 和 yj = (y1j, y2j, , ypj)T中的分量。 设评价系统中，投入指标和产出指标的权系数向量分别是 v = (v1, v2,vm)T；u = (u1, u2,up)T. 对于评价单元DMUj, 定义其效率评价指标为 按效率评价指标定义，有（1）可以适当选取向量u, v，使得hj1；（2）对于评价单元DMUj0，hj0越大，表明DMUj0能
15、够用相对较少的输入得到相对较多的产出。 假设第j0个评价单元的投入向量和产出向量分别为x0 = (x1j0, x2j0, , xmj0)Ty0 = (y1j0, y2j0, , ypj0)T 效率指标h0=hj0。 在约束条件hj1 (j =1, 2, , n)下，选择一组最优权系数u和v, 使得h0达到最大。 构造最优化模型C2R模型（最基本的DEA模型）： (模型1) 记 xj = (x1j, x2j, , xmj)T ；yj = (y1j, y2j, , ypj)T. v = (v1, v2,vm)T；u = (u1, u2,up)T. 有 （模型2） 模型（2）是分式规划，利用Char
16、nes-Cooper变换转化为等价的线性规划问题。00 令： ，=tv，=tu，则0000001xvyuyuxvyuy tjjjjjjttxvyuxvyuxy1100T00 xvxvxvxt0T1xvt 令： ，=tv,=tu，则由模型2得 0，0 0T1xvt000 xvyuy1jjjjxvyuxy10 x01jjjjjjyxxvyuxy：，：必须有要保证0000模型20000(P)y00参见例题11.1(P)的对偶形式为0000(P)y00 例题11.1（解决对号入座问题）：设有4个评价单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统。请写出第一个评价单元相对效率的C2R模型。例题附图 DEA评
17、价C2R模型示意图00(P)y002.2.2 评价系统的DEA有效性 定义2 如果线性规划(P)的最优解0,0满足条件: Vp =Ty0 = 1 则称评价单元DMUj0为弱DEA有效。00000y0 定义3 如果线性规划(P)的最优解0,0满足条件: Vp =Ty0 = 1 并且00,00，则称评价单元DMUj0为DEA有效。此时，有 =1。 可见， DMUj0为DEA弱有效是DMUj0为DEA有效的必要条件。 DMUj0为DEA有效，就是DMUj0相对于其他评价单元，效率评价指标取得最优值，在多指标投入和多指标产出情况下，取得最佳经济效率。 DMUj0为弱DEA有效的含义？对于C2R模型，线
18、性规划(P)和对偶规划(D)的最优解，有下述定理。（P）000y000定理1 线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值VD = Vp1 判定评价单元的DEA有效性，可以用对偶规划(D).定理2 对于对偶规划（D）有：（1） DMUj0为弱弱DEA有效的充分必要条件是线性规划（D）的最优解VD =0=1。（2）DMUj0为DEA有效的充分必要条件是：线性规划（D）的最优解VD =0=1，且对于每一个最优解0= (10,20,n0)T, s0-, s0+,0都满足条件s0-=0，s0+=0.定理3 评价单元的最优效率指标Vp与投入指标xij及产出指标yrj的量纲选取无
19、关。2.3 具有非阿基米德无穷小的C2R模型 根据定理2，线性规划（D）判断DMUj0的DEA有效性时，需检查它的所有解0, s0-, s0+,0都满足条件VD =0=1，s0-=0，s0+=0. 注意：如果只有0=1，并非所有的s0-=0，s0+=0，不能保证DMUj0的DEA有效性。 为简便实用，查恩斯(A. Charnes)、库伯(W.W.Cooper)引入了非阿基米德无穷小量的概念，从而可以利用单纯形法求解线性规划问题，判定评价单元的DEA有效性。00引入非阿基米德无穷小量之前的C2R模型：00带有非阿基米德无穷小的C2R模型 其中，eT=(1,1,1)Rm, eT=(1,1,1)Rp
20、 非阿基米德无穷小。利用(D)模型，容易判断评价单元的DEA有效性。00定理4 设是非阿基米德无穷小，线性规划(D)的最优解0, s0-, s0+, 0有： 若0=1，则评价单元DMUj0为弱DEA有效； 若0=1，且s0- = 0， s0+ = 0，则评价单元DMUj0为DEA有效。 根据定理4，利用 (D)模型，一次计算就能判定评价单元的DEA有效性。3 DEA有效的经济意义和规模收益分析3.1 生产函数 概念：生产函数是反映生产过程中生产要素投入组合与产出结果之间的物质技术关系的数学方程式。 设有n种生产要素投入，则生产函数为： y = f(x1,x2, xn)，或者y = f(x) 其
21、中，y是最 大 可 能最 大 可 能 的产出水平（向量），xi(i=1,2,n)是n种要素的投入量。 若企业利用2种投入要素生产1种产品，生产函数表示为： y = f(x1,x2) 设有单输入x单输出y的生产函数y = f(x) 它表示生产处于理想状态，投入量为x时能获得最大产出量最大产出量为y。 生产函数曲线上的点A(x1,y1), C(x3,y3)代表的DMU都处于“技术有效”的理想状态。 点B(x2,y2)不在生产函数曲线上，是非技术有效的。生产函数曲线生产函数曲线此图有问题吗？(叶义成，综合评价技术及其应用P245)3.2 技术有效与规模有效目标：说明C2R模型下，DEA有效的技术经济
22、含义。 回顾回顾： 定义1 一般称T为所有可能的生产活动构成的生产可能集：T =(x, y)|产出y能用输入x生产出来，有 (xj, yj) T (j=1,2,n)把(D)还原为引入松弛变量之前00njjj10. t . sxxnjjj10yy), 2 , 1(0njjVDmin(D)还原还原在生产可能集概念下，用模型(D)评价DMUj0的DEA有效性，可以简写njjj10. t . sxxnjjj10yy), 2 , 1(0njjVDmin(D) Tyx00,minD简写简写 对偶规划 的含义是： 当(x0,y0)为一个生产活动时，考察相应于(x0, y0)的DMUj0的有效性，实质上是在(
23、x0, y0)T条件下（即产出为y0 ，投入为x0），追求以最小的投入获得预期的产出，即求的最小值。 如果对偶规划(D)的最优值01，说明投入即使由x0减少到x0，仍然可以获得产出y0，显然， DMUj0不为DEA有效。Tyx00,minD 定义4 称集L(y) =x|(x,y)T为对y的投入可能集；集P(x) =y|(x,y)T为对x的产出可能集；其中T为生产可能集。 【定义1 一般称T为所有可能的生产活动构成的生产可能集：T =(x, y)|产出y能用输入x生产出来，有 (xj, yj) T (j=1,2,n)】 一般地，当产出为y时，如果相应的投入x不可能再减少，则认为这样的生产过程为技
24、术有效的。 显然，在在C2R模型下，模型下，DEA有效的决策单元是技术有效的决策单元是技术有效的有效的。 即按 确定的DEA有效的决策单元DMUj0是技术有效的。00njjj10. t . sxxnjjj10yy),2, 1(0njjVDmin(D) 定义5 设(x,y)T，如果不存在(x,y)T，使得yy，则称(x,y)是有效生产活动。 定义6 对生产可能集T，所有有效生产活动（点）(x,y)构成的Rm+p空间中的超曲面y = f(x)称为生产函数。 如果对投入规模x0 = (x10,x20,xm0) 当投入小于x0时，均为规模收益递增状态；当投入大于x0时，均为规模收益递减状态，就称这样的
25、DMU0(x0, f(x0)为规模有效规模有效的。其中f(x0) = y0 = (y10,y20,yp0) 定理5 如果(x0, y0)是最大产出规模点，则(x0, y0)是规模收益不变的。 定理6 设对偶规划(D)的最优解为0, s0-, s0+, 0，有：（1）0=1，当且仅当DMUj0(x0, y0)是最大产出规模点；（2）若 ，则评价单元的规模收益不变；（3）若 ，则评价单元的规模收益递增；（4）若 ，则评价单元的规模收益递减。110njj110njj110njj 推论：对偶规划(D)的最优值0=1， 则DMUj0(x0, y0)是规模有效规模有效的。总结论：在C2R模型之下为DEA有
26、效的决策单元DMUj0，既为“技术有效”也为“规模有效”。110njj案例案例1 区域创新经济有效性评价研究区域创新经济有效性评价研究 1 区域创新经济效率评价指标体系 2 区域创新经济效率评价模型3 江苏省区域创新经济效率模型求解 4. 江苏省区域创新经济效率评价结果分析 将表3中江苏省区域创新经济效率评价结果按有效值*排序，如表4所示。 可以看出，苏州、宿迁两市的有效值等于1，且每一输入剩余和输出亏空都等于0。这说明两市创新状态属于资源有效利用（DEA有效）状态，即在现有创新系统运行状态下，苏州、宿迁两市获得的产出达到了最优。 其余城市有效值小于1，且输入剩余和输出亏空不全为0。 这说明这
27、些城市的创新状态属于非DEA有效状态。例如南京市，创新经济有效值*等于0.39，说明只要利用其现有创新资源的39，就能取得其现有创新产出水平。其余城市类推。 从南京等市实际看，创新资源配置非有效主要有两方面原因： 一是科研与生产脱节的问题仍然没有很好解决，影响着创新资源配置效率； 二是本地创新资源没有能够在本地很好利用，而是本地资源被异地利用或本地成果异地转化为现实生产力。 可见，提高创新经济效率的关键是创新资源的优化利用，并不是追求创新资源的高投入。 因此，应该注意解决三方面的问题。 一是进一步完善创新系统中的利益机制、动力机制和制约机制，促进科研与生产结合，缩短科学技术向现实生产力转化的过程。 二是应用政策杠杆，推动重大技术创新和产业创新，优化产业结构，提高资源综合利用率和第三产业产值占GDP比重。 三是搭建开发平台，力求科技资源，特别是人才资源和技术成果，要就地开发，就地转化。这三个方面问题的核心是体制创新，重点是良好政策环境营造。
