1、章因子模型和套利定价理章因子模型和套利定价理论（）论（）4为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：4回报率均值向量4回报率方差协方差矩阵4无风险利率4估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加4引入可以大大简化计算量4由于因子模型的引入，使得估计有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。4因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点4更准确4与4建立在均值方差分析基础上的是一种理论上相当完美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率。除理论外，另一种重要的定价理论是由 在年代中期建立的套利定价理论()。在某种意义上来说，它是一种比简单的理论。4最优投资组合理论市场均衡4因子模型
2、无套利 是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括 建立均值方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准差之上。 相反，所作的假设少得多。的基本假设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立。. 因子模型因子模型 ( )4实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型。4例子：市场模型4这里4 在给定的时间区间，证券 的回报率4 在同一时间区间，市场指标 的回报率4 截矩项4 斜率项4 随机误差项，i
3、IIiIiIirrirIriIiIiI0iIE4例子：公司股票的下一个月回报率4这里4表示实际月回报率4 表示期望回报率4 表示回报率的非期望部分4期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。URRRRU 回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致，例如 () 4 4 .4 . 4 , , . 4 .4这里4 4 由于系统原因导致的回报率的非期望部分4 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分mRURRm4经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司4商业周期、利率、增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀
4、率4这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化4定义：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。4市场模型是一种单因子模型以市场指标的回报率作为因子。4由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。4 作为一种回报率产生过程，因子模型具有以下几个特点。4第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。4第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关一起运动仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的。4第三，证券回报率中
5、不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子的运动无关。4因子模型在证券组合管理中的应用4在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量4刻画证券组合对因子的敏感度4如果假设证券回报率满足因子模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度。.单因子模型单因子模型4把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。4例如，国内生产总值的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。 表表 因子模型数据因子模型数据 年份年份 增长率增长率 股票回报率股票回报率 tr
6、tGDP%0 .136r%2 . 36e%9 . 26GDP 图中，横轴表示的预期增长率，纵轴表示证券的回报率。图上的每一点表示表中，在给定的年份，的回报率与增长率的关系。通过线性回归分析，我们得到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率为，说明的回报率与增长率有正的关系。增长率越大，的回报率越高。 写成方程的形式，的回报率与预期增长率之间的关系可以表示如下 () 这里 在 时的回报率, 在 时的预期增长率, 在 时的回报率的特有部分, 对的预期增长率的敏感度, 有关的零因子。tttebGDPartrtGDPteba 在图中，零因子是，这是的预期增长率为零时，的回报率。的回报率对增长率的敏感度为，
7、这是图中直线的斜率。这个值表明，高的的预期增长率一定伴随着高的的回报率。如果的预期增长率是，则的回报率为。如果的预期增长率增加为时，则的回报率增加，或者为。 在这个例子里，第六年的的预期增长率为，的实际回报率是。因此，的回报率的特有部分（由 给出）为。给定的预期增长率为，从的实际回报率中减去的期望回报率，就得到的回报率的特有部分。te 从这个例子可以看出，在任何一期的回报率包含了三种成份： 在任何一期都相同的部分（ ） 依赖于的预期增长率，每一期都不相同的部分 （ ） 属于特定一期的特殊部分（ ）。atbGDPte4通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 的任何证券 有4
8、 4 ()ittiiiteFbar 这里， 是因子在时间 的因子的值，对在时间 的所有的证券而言，它是相同的。 是证券 对因子 的敏感度，对证券 而言， 不随时间的变化而变化。 是证券 在时间 的回报率的特有部分。这是一个均值为，标准差为 ，且与因子 无关的随机变量，我们以后简称为随机项。tFibtFibiteeitF 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标，从而()式变为 () 并且假设： 任意证券 的随机项 与因子不相关; 任意证券 与证券 的随机项 与 不相关。iiiieFbarieieje 假设说明，因子具体取什么值对随机项没有影响。而假设说明，一种证券的随机项对其余
9、任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于因子对它们的共同影响导致的。如果任何假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑不同的因子模型。4 对于证券 而言，其回报率的均值4 ()4例子iiiiFbar 与公司股票回报率例子比较mRURRiiiiiieFFbrr4 对于证券 而言，其回报率的方差为4 ()4例子2222eiFiib 定义：定义： 我们称我们称()式中的式中的 为因子风险；为因子风险； 为非因子风险。为非因子风险。 对于证券对于证券 和和 而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为 ()22Fib2ei2Fjiijbb4单因子模型具有两个重要的性质。4第一个性
10、质，单因子模型能够大大简化我们在均值方差分析中的估计量和计算量。4第二个性质与风险的分散化有关。4 分散化导致因子风险的平均化。4 分散化缩小非因子风险。2222ePFPPbNiiiPbb1NieiieP1222 多因子模型多因子模型4经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的。4一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。4的增长率4短期国库券的利率水平4 长短期国债的收益率之差4. 公司债与国债的收益率之差4. 通货膨胀率4. 石油价格4. 技术进
11、步4两因子模型，即，回报率生成过程包括两因子模型，即，回报率生成过程包括两个因子。两个因子。4在在 时的两因子模型方程为：时的两因子模型方程为：4 4 ()4这里这里 和和 是影响证券回报率的主是影响证券回报率的主要因素，要因素， 和和 是证券是证券 对两因子的敏对两因子的敏感度。感度。 是随机项，而是随机项，而 是零因子回是零因子回报率。报率。ittitiiieFbFbar2211tF1tF21ib2ibiteia4例子例子4表表 因子模型数据因子模型数据4年份年份 增长率增长率 通货膨胀率通货膨胀率 股票回报率股票回报率4 4 4 4 4 4 trtGDPtINF%9 . 2tGDP%1
12、. 3tINF%8 . 5a%136r%0 . 36e 证券的回报率受的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券的回报率、的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为tttteINFbGDPbar21 平面在增长率方向的斜率（）表示证券的回报率对增长率变化的敏感度。 平面在通货膨胀率方向的斜率（）表示证券的回报率对通货膨胀率变化的敏感度。 敏感度符号说明，当预期增长率或者通货膨胀率增加时，证券的回报率相应地增加或者减少。 平面的截距表示的零因子回报率为。 的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分
13、。例如，在第六年的随机项为。4 和单因子模型一样，我们只考虑一期的模型，所以省掉时间的角标。两因子模型方程如下：4 ()4并且假设：4证券的随机项与因子不相关，4证券 与证券 的随机项 与 不相关。iiiiieFbFbar2211ieje4期望回报率4方差4协方差4 两因子模型具有单因子模型的重要性质。4有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。4分散化导致因子风险的平均化。4分散化缩小非因子风险。4 多因子模型4一般形式4不同形式4其中4例子itktiktitiiieFbFbFbar2211itktiktitiiieFDbFDbFDbrr2211itititFFFD4 套利机会套利机会4何谓
14、套利机会？最简单的说法是，不花何谓套利机会？最简单的说法是，不花钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型的套利机会。的套利机会。4如果一种投资能够立即产生正的收益而如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。的套利机会。4如果一种投资有非正的成本，但在将来，如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，收益（或者说正的支出）的概率为零，我们
15、称这种投资为第二类的套利机会。我们称这种投资为第二类的套利机会。4任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。所以我们假设市场上不存在任何套利机会。4套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。4每个投资者都会充分利用套利机会4只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会4近似的套利机会（ )4性质性质4首先，证券的定价满足线性性质。首先，证券的定价满足线性性质。4其次，有零的终端支付的证券组合，其其次，有零的终端支付的证券组合，其价格一定为零。价格一定为零。4 最后，证券的定价满足占优性质。最后，证券的定价满足占优性质。 4例子：例子：
16、4假设经济环境由四个状态和两种证券构假设经济环境由四个状态和两种证券构成，证券组合甲由份证券构成。相关的成，证券组合甲由份证券构成。相关的信息特征如下表所示。信息特征如下表所示。4状态状态 证券组合甲证券组合甲4 4 4 4 4假设事件的概率为假设事件的概率为()，()，()。两种。两种证券的价格为证券的价格为 ，证券组合甲的价格为，证券组合甲的价格为 甲。甲。 1x 2x4在这个经济中是否存在套利机会。4第一，甲 ，这属于第一类套利机会。4第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖空份证券，买入份证券。则证券组合乙的价格为4（）（） 证券组合乙在期末的支付为 状态 证券组合
17、乙 概率 、 因此，(证券组合乙的支付)，这是第一类的套利机会。 第三，定义证券组合丙：卖空份证券，买入一份证券。则证券组合丙的价格为（）（）。证券组合丙在期末的支付为 状态 证券组合 概率 、 因此，(证券组合丙的支付)且(证券组合丙的支付)。这是第二类套利机会。4 套利定价理论套利定价理论()4假设：市场是完全竞争的、无摩擦的。假设：市场是完全竞争的、无摩擦的。4假设：投资者是非满足的：当投资者具假设：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。合来增加自己的财富。4假设：所有投资者有相同的预期：任何假设：所有投资者有
18、相同的预期：任何证券证券 的回报率满足因子模型：的回报率满足因子模型： () 这里， 证券 的随机回报率， 证券 对第 个因子的敏感度， 均值为零的第 个因子， 证券 的随机项。 ikikiiiieFbFbFbrEr2211irijbjFie 假设：假设： ， 与所有因子不相关且与所有因子不相关且 假设：市场上的证券的种类远远大于因子的假设：市场上的证券的种类远远大于因子的数目数目 。0ieEie0,jieeCov 因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合，除非因子风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率（或者说价格）是一样的。否则，就存在第
19、二类套利机会，投资者就会利用它们，直到消除这些套利机会。这就是的实质。4定义：如果一个证券组合满足下列三个定义：如果一个证券组合满足下列三个条件：条件：4初始成本为零；初始成本为零；4对因子的敏感度为零：对因子的敏感度为零：4期望回报率为正。期望回报率为正。4我们称这种证券组合为套利证券组合。我们称这种证券组合为套利证券组合。4 注：严格的说，套利证券组合应该具有注：严格的说，套利证券组合应该具有零的非因子风险。但是，假设通过分散零的非因子风险。但是，假设通过分散化，这种风险非常小，以至可以忽略。化，这种风险非常小，以至可以忽略。4例子：（单因子模型）假如市场上存在三种股票，每个投资者都认为它
20、们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：4 4股票4股票4股票irib4假设某投资者投资在每种股票上的财富为元，投资者现在总的投资财富为元。 首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。 显然，一个套利证券组合 是下面三个方程的解： 初始成本为零： () 对因子的敏感度为零： () 期望回报率为正：321,032108.10.39.0321012.021.015.0321 满足这三个条件的解有无穷多个。例如，(,)就是一个套利证券组合。 这时候，投资者如何调整自己的初始财富元 总之，对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成
21、本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。4套利证券组合如何影响投资者的头寸Old portfolio ArbitrageportfolioNewportfolioweight10.3330.1000.43320.3330.0750.40830.333-0.1750.158propertyExpectedreturn16%0.975%16.975%sensitivity1.901.9variance11%smallApprox. 11% 在上面的例子，因为(,)是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券和，而卖空证券。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券
22、的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券和的价格将上升，而这又导致证券和的回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券的价格将下降，这又使得证券的回报率上升。 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零。 无套利时，三种证券的期望回报率 和因子敏感度 满足，对任意组合 ，如果03210332211bbbirib321, 则必有 () 根据引理，必存在常数 和 ，使得下面的式子成立0332211rrr01iibr10 刻画均衡状态的常数一组可能值
23、为 ， 。这将导致证券、的均衡回报率为, , .01 图说明了套利定价关系()。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上。常数 的一个自然解释是，它表示均衡时因子的风险酬金。而 表示无风险利率。1001iribBrSrBS4如何求14 例子：（ 二因子模型）假如市场上存在四种股票，每个投资者都认为它们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：4 4股票4股票4股票4股票ir1ib2ib4假设某投资者投资在每种股票上的财富为元，投资者现在总的投资财富为元。 首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。 显然，一个套利证券组合 是下面四个方程的解： 初始成本为零： () 对因子的敏感度为零：
24、 () 期望回报率为正：4321,04321028.10.39.0432108.012.021.015.0432102.37.05.124321 满足这四个条件的解有无穷多个。例如，(, , , )就是一个套利证券组合。 这时候，投资者如何调整自己的初始财富元 因为，(, , , )是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券和，而卖空证券和。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券和的价格将上升，而这又导致证券和的回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券和的价格将下降，这又使得证券和的
25、回报率上升。 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零。 无套利时，四种证券的期望回报率 和因子敏感度 ，对任意组合 ， 如果043210441331221111bbbbir21,iibb4321,0442332222112bbbb 则必有 () 根据引理，必存在常数 ， ， 使得下面的式子成立044332211rrrr0122110iiibbr2 刻 画 均 衡 状 态 的 常 数 一 组 可 能 值为 ， ， 。这将导致证券、的均衡回报率为, , , .0124如何
26、求 ，124 一般情形4选择证券组合 ，使其成本为4回报率为ikikiiiiiiipFbFbrr1101niiniiie1Tn,1 为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求： ）所选的每个权充分小； ）所包括的证券种类尽量多； ）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。 用数学式子表示，这些条件是 是一个很大的数 对每个因子而言， ni1n0iikib 因为随机项是独立的，由大数定律，当 越来越大时，随机项的加权和趋向于零。换言之，通过分散化，不需要花任何成本就能消去非因子风险。因此，我们得到 nikikiiiiiiipFbFbrr1
27、1 在形式上看起来，这是一个随机量。但是，由()式，证券组合的每个因子敏感度为零，所以，所有的因子风险为零。由于我们选择的权消除了所有的风险，最后，证券组合的回报率变成了一个常数。()式变成了 ()iiiprr 在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此，满足条件()()的证券组合，其回报率一定为零，即， ()0iiiprr4证券市场无套利时，证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：4对任何向量 ，4如果它既垂直于单位常向量，4又垂直于每个因子敏感度向量，4则它一定垂直于期望回
28、报率向量，4由引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合，即，存在个 常数，使得4 4 ()Tn,1ikkiibbr110 在投资组合策略中的应用4投资组合构建的决策4套利定价理论对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。4投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。 例子4假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。IPAUB114投资组合的策略分析4投资基金是一
29、种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，而这又取决于他们所处的市场环境。 与的区别和联系4区别4假设4利用的经济学原理4结论4因子模型与的区别4因子模型不是均衡模型4在中，值相同的证券回报率相同4在因子模型中， 相同的证券回报率不一定相同 4例子：FbariiifMifirrrrib4如果和假设均成立4因子是市场证券组合fMifirrrr11iffifibrrbrriibMr1 因子不是市场证券组合iMFiMMiMibbrerF121),cov(),cov(MFfMrr11因子的识别4要
30、利用来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。经验证明，这些因子具有以下特征：4（）它们应该包含表明总的经济行为的指标；4（）它们应该包含通货膨胀；4（）它们应该包含某种利率。4直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。4到个因子4例子：4工业生产的增长率4通货膨胀率4长短期利率差4优劣债券回报率之差4例子4增长率4利率4石油价格变化率4国防开支增长率4宏观经济学，微观经济学，产业组织，基础分析 因子模型的估计4时间序列方法( )4最直观的方法4假设投资者事先知道影响证券回报率的因子4准确度量因子值是关键4因子体现的是没有预测到的变化4横截面方法( )4先估计敏感度，再估计因子的值4与时间序列方法的区别4经验因子、基本因子4因子分析方法( )4既不知道因子的值，也不知道对因子的敏感度 对套利模型的实证研究4验证影响证券收益的因素是否只有一个；4到底是哪些因素影响证券的收益。4公司规模，股票帐面价值于市场价值之比，市场超额收益4 4 . . () ()PsizeiifisizekBMkEPkrrBMEP
