1、第第6章地下水的非稳定渗流运动章地下水的非稳定渗流运动 随着工农业生产的不断发展，以及人口数量的不断增加，工随着工农业生产的不断发展，以及人口数量的不断增加，工业、农业及生活用水的需求量的不断增大，地下水作为重要的业、农业及生活用水的需求量的不断增大，地下水作为重要的供水水源其开采量及开采规模迅速扩大，大多数地区普遍出现供水水源其开采量及开采规模迅速扩大，大多数地区普遍出现区域地下水的持续下降，而作为地下水运动要素均不随时间发区域地下水的持续下降，而作为地下水运动要素均不随时间发生变化的稳定流理论及其裘布依（生变化的稳定流理论及其裘布依（Dupuit）水量计算公式，无）水量计算公式，无法解决和
2、预测这一现象，以及未来地下水动态的变化趋势。法解决和预测这一现象，以及未来地下水动态的变化趋势。本章主要讨论由于抽水而产生的非稳定渗流。本章主要讨论由于抽水而产生的非稳定渗流。 非稳定渗流理论所解决的主要问题非稳定渗流理论所解决的主要问题1.评价地下水的开采量评价地下水的开采量2.预报地下水位下降值预报地下水位下降值3.确定含水层的水文地质参数确定含水层的水文地质参数 泰斯以达西定律为基础，利用热传导理论提出了地下水非泰斯以达西定律为基础，利用热传导理论提出了地下水非稳定井流的计算公式，称为泰斯公式。稳定井流的计算公式，称为泰斯公式。 泰斯非稳定流理论认为在抽水过程中地下水的运动状态是泰斯非稳
3、定流理论认为在抽水过程中地下水的运动状态是随时间而变化的，即动水位不断下降，降落漏斗不断扩大，随时间而变化的，即动水位不断下降，降落漏斗不断扩大，直至含水层的边缘或补给水体，而且距抽水井越远，漏斗的直至含水层的边缘或补给水体，而且距抽水井越远，漏斗的曲率越小，扩展速度越来越缓慢。曲率越小，扩展速度越来越缓慢。6.1 非稳定渗流基本概念及其基本微分方程非稳定渗流基本概念及其基本微分方程侧向边界离井很远，可不考虑其影响时，按无越流补给时处理，侧向边界离井很远，可不考虑其影响时，按无越流补给时处理，此时越流补给强度此时越流补给强度e e =0=0。6.1.1轴对称二维不稳定潜水井流基本微分方程轴对称
4、二维不稳定潜水井流基本微分方程本节所要研究的问题是：在均质、各向同性、隔水底板水平的本节所要研究的问题是：在均质、各向同性、隔水底板水平的无限含水层中，单个完整井进行抽水的情况（考虑为二维流动）。无限含水层中，单个完整井进行抽水的情况（考虑为二维流动）。渗流遵守达西线性定律，渗入强度为渗流遵守达西线性定律，渗入强度为e e。 取一以井轴为中心的单元环柱体取一以井轴为中心的单元环柱体 作为均衡地段，以作为均衡地段，以dt为均衡时段。为均衡时段。 设断面设断面r的流量为的流量为Q，断面，断面r+dr的的 流量为流量为Q+dQ，则均衡方程为：，则均衡方程为：HhrQh+dQQdrdrre-(Q+ Q
5、)+2+Q=2ddtrdrdtdtr dr dh鬃鬃meQ=-2hrh kr鬃根据达西定律根据达西定律V=kJ可得可得上式的负号，是表示上式的负号，是表示Q与与 h/ r的方向相反，有：的方向相反，有：QQ=-2()hhddr=k rhhdrrrrr抖抖+抖抖2()2hhhk rhhdrrdrrdrrrrtm抖抖+鬃抖抖e= 1()hhhkhhrrrrt抖抖+抖抖me=简化为简化为 将上式代入式（将上式代入式（6.1）:（6.2） （6.1） 使式（使式（6.2）线性化的方法，常用的有下列两种。）线性化的方法，常用的有下列两种。第一种线性化的方法，是将式（第一种线性化的方法，是将式（6.2）左
6、端部分中作为乘数的）左端部分中作为乘数的h用平均值用平均值hm代替，并视为常量，则式（代替，并视为常量，则式（6.2）可改写为）可改写为221mkhhhhrrrt抖+抖e=当无渗入时（当无渗入时（e e =0=0），方程可写为），方程可写为221mkhhhhrrrt抖+抖=对于水平二维无压流动，令对于水平二维无压流动，令mkha =则式（则式（6.3）和（）和（6.4）可写成为）可写成为（6.3） （6.4） 221hhharrrt抖+抖e=221hhharrrt抖+抖=式中式中 a为水位传导系数，为水位传导系数，m2/d；（6.5） 第二种线性化的方法，是在式（第二种线性化的方法，是在式（6
7、.2）的两端均乘以）的两端均乘以h，并，并令势函数令势函数 22()()22HhsHs-=-=221khhrrrt抖+-抖me=得：得： 再以平均值再以平均值hm代替代替h，并将式（，并将式（6.5）代入上式，得）代入上式，得221mharrrt抖+-抖e=当当e e =0=0时：时：221arrrt抖+抖=令：令：T =kh 导水系数，表示含水层的导水性能；导水系数，表示含水层的导水性能；将将T、a代入上式则得潜水完整井非稳定流的微分方程：代入上式则得潜水完整井非稳定流的微分方程：rTrrr=122或或 rarrr=1122 6.1.2不稳定承压井流基本概念及其基本微分方程不稳定承压井流基本
8、概念及其基本微分方程1. 1.承压含水层的弹性水量承压含水层的弹性水量首先分析：在承压含水层中抽水（假定含水层的顶底板是不透水的，首先分析：在承压含水层中抽水（假定含水层的顶底板是不透水的，而且抽水时保持承压状态），抽出的水是哪里来的？而且抽水时保持承压状态），抽出的水是哪里来的？从潜水含水层中抽水，它导致含水层的疏干，表现为地下水位从潜水含水层中抽水，它导致含水层的疏干，表现为地下水位自由液面自由液面的下降，抽出的水量正是含水层被疏干部分的水量的下降，抽出的水量正是含水层被疏干部分的水量（当（当e e =0=0时）。时）。psph=p测压水头php=但是，从承压含水层中抽水，周围但是，从承压
9、含水层中抽水，周围形成的降落漏斗并不是对含水层的形成的降落漏斗并不是对含水层的疏干，而只是构成水头（压力）的疏干，而只是构成水头（压力）的降低。降低。 压力降低为什么能释放出水来？压力降低为什么能释放出水来？物体均具有可压缩性，只是程度不同物体均具有可压缩性，只是程度不同而已。当作用在物体上的压力增大时，而已。当作用在物体上的压力增大时，物体的体积缩小，密度增大；反之，物体的体积缩小，密度增大；反之，当压力减小时，其体积增大，密度减小。当压力减小时，其体积增大，密度减小。 对于承压含水层（取一处于平衡状态的地层柱体来研究，对于承压含水层（取一处于平衡状态的地层柱体来研究，见图见图6.2），含水
10、层上覆岩体外部荷载的重量和大气压力），含水层上覆岩体外部荷载的重量和大气压力由两部分力与其平衡，一是含水层多孔介质对它的反力由两部分力与其平衡，一是含水层多孔介质对它的反力ps，另一是承压水作用在隔水顶板上的浮托力另一是承压水作用在隔水顶板上的浮托力p（p=hp ， 其中其中hp是承压含水层顶面的测压高度；是承压含水层顶面的测压高度； 是水的重率）。是水的重率）。 这是抽水前的平衡状态。这是抽水前的平衡状态。 如果发生水头降低。也即含水层中每点地下水的压力如果发生水头降低。也即含水层中每点地下水的压力p减减小，它将引起下列作用：（小，它将引起下列作用：（1）由于水压的降低，地下水）由于水压的降
11、低，地下水的体积发生膨胀，从而释放出部分地下水；（的体积发生膨胀，从而释放出部分地下水；（2）水的压）水的压力力p的降低，即地下水对上覆岩体的浮托力降低，为了维的降低，即地下水对上覆岩体的浮托力降低，为了维持平衡，这部分力将转嫁到含水层多孔介质上，从而压缩持平衡，这部分力将转嫁到含水层多孔介质上，从而压缩含水层，其结果使含水层的空隙率含水层，其结果使含水层的空隙率n变小和含水层厚度变变小和含水层厚度变薄，这两个因素均使得从含水层中释放出部分地下水；薄，这两个因素均使得从含水层中释放出部分地下水；（3）由于压力的降低，组成含水层骨架的固体部分将会）由于压力的降低，组成含水层骨架的固体部分将会膨胀
12、，而这又引起含水层厚度和空隙率的变化，其关系比膨胀，而这又引起含水层厚度和空隙率的变化，其关系比较复杂。考虑到含水层固体部分的压缩性一般比水和含水较复杂。考虑到含水层固体部分的压缩性一般比水和含水层要小得多，因此，建立微分方程时可以忽略固体部分的层要小得多，因此，建立微分方程时可以忽略固体部分的压缩性，将它视为刚体。压缩性，将它视为刚体。 如果承压含水层测压水头上升，则发生相反的过程。如果承压含水层测压水头上升，则发生相反的过程。 上述分析说明：假如水头降低，承压含水层会释放出部分上述分析说明：假如水头降低，承压含水层会释放出部分地下水；如果水头升高，承压含水层也会储存部分地下水，地下水；如果
13、水头升高，承压含水层也会储存部分地下水，这就是通常所说的这就是通常所说的“弹性储量弹性储量”。 弹性储量提供承压抽水井水量的概念，是与齐姆稳定井流弹性储量提供承压抽水井水量的概念，是与齐姆稳定井流的设想不相同的。后者假设，承压抽水井全靠的设想不相同的。后者假设，承压抽水井全靠“水平补水平补给给”。可以想像，如果没有弹性储量，依据水流连续性原。可以想像，如果没有弹性储量，依据水流连续性原理，则在抽水开始的一刹那，各断面理，则在抽水开始的一刹那，各断面(包括包括r)的流量均的流量均等于抽水井的流量等于抽水井的流量Q。或者为了把矛盾暴露得更突出些，。或者为了把矛盾暴露得更突出些，考虑承压含水层中沟流
14、的情况，则在刚抽水的一瞬间，各考虑承压含水层中沟流的情况，则在刚抽水的一瞬间，各断面断面(包括包括r)的流速均相等。这显然不符合实际情况。的流速均相等。这显然不符合实际情况。因此，弹性储量必须加以考虑。因此，弹性储量必须加以考虑。 承压含水层由于水的来源是含水层的弹性压缩与水的弹性承压含水层由于水的来源是含水层的弹性压缩与水的弹性膨胀，因此其基本微分方程的建立除根据水均衡原理和渗膨胀，因此其基本微分方程的建立除根据水均衡原理和渗流基本定律外，还应与水及含水层的状态方程（体积与压流基本定律外，还应与水及含水层的状态方程（体积与压力间的关系）有关。力间的关系）有关。 2.水的状态方程水的状态方程假
15、定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 因为因为V随随p的增大而减小，即的增大而减小，即dV/dp0，而，而b bw规定为正值，所规定为正值，所以上两式右侧有一负号。以上两式右侧有一负号。b bw的物理意义是：当压力改变一个单位时，单位体积水的的物理意义是：当压力改变一个单位时，单位体积水的增量。增量。b bw的单位：压力的单位通常采用的单位：压力的单位通常采用kg/cm2（大气压），故（大气压），故b bw的单位采用的单位采用cm2/ kg。 对方程（对方程（6.12）进行积分）进行积分 1wdVdpV= -b1ipVwpVdVdpV-=蝌b()lni
16、wiVppV-=b依照马克劳林级数依照马克劳林级数:()2233111+()+() +() +2!3!wippwiwiwiepppppp-=-鬃bbbb在压力变化不大时上式可近似取头两项在压力变化不大时上式可近似取头两项, ()wippiVeV-=b（6.13） 式（式（6.13）可写成）可写成1+(-)iwiVVp p=b()iwiwVVVpppVV-D=-= -Dbb（6.14） （6.12） 压力压力p的变化引起水的体积的变化引起水的体积V的变化，但是水的质量的变化，但是水的质量m和重和重量量G是不变的。由是不变的。由Vr r =m和和V =G的关系可知：若体积的关系可知：若体积V增大，
17、增大，则密度则密度r r和重度和重度 相应减小，有相应减小，有()GddVdGV= -由式（由式（6.12）得）得1wddp=b3.岩层（多孔介质）的状态方程岩层（多孔介质）的状态方程 (1+)isMMp=DbHhhQrdrMQrr+d(Qr)e(r) t,4.轴对称二维不稳定承压井流基本微分方程轴对称二维不稳定承压井流基本微分方程这里讨论均质、各向同性、等厚的这里讨论均质、各向同性、等厚的承压含水层中完整井的抽水情况。承压含水层中完整井的抽水情况。考虑含水层底板（或顶板）为弱透水考虑含水层底板（或顶板）为弱透水层，抽水时通过它有越层渗透，其越层，抽水时通过它有越层渗透，其越流强度为流强度为e
18、 e。设断面设断面r的重量流量为的重量流量为 Qr，断面，断面r+dr的重量流量为的重量流量为 Qr+d（ Qr） ，单元环柱体中水的重量为单元环柱体中水的重量为G，则其均衡方程为，则其均衡方程为- Q( Q )2QrrrddtrdrdtdtdG+鬃= eHhhQrdrMQrr+d(Qr)e(r) t,按达西定律按达西定律Q2rhrM Kr= -鬃则则 22( Q )( Q )2()rrhhddrM K rdrrrr抖=鬃+抖均衡段内地下水的重量为均衡段内地下水的重量为2Grdr M n=鬃式中式中 n空隙率，空隙率， 1EnE=+2()1GErdrMttE抖=鬃抖+1+1+sassVMMMM
19、VVEVVV=Q2() = 2()11+GMMErdrErdrEtEtEtt抖抖=+抖221()()()wswskMhhhMnrrrMnt抖+=+抖+ebbbb可推得：可推得：此式与潜水井微分方程式（此式与潜水井微分方程式（6.3）对比，从形式上看，承压含水层）对比，从形式上看，承压含水层中的中的M (nb bw+b bs)起着潜水含水层的给水度起着潜水含水层的给水度 的作用。的作用。 自己看自己看P84P86，可推出：，可推出： （6.32） 当无越流时当无越流时e e =0时时 （6.33）221()*hhharrrt抖+=抖e221()hhharrrt抖+=抖上两式就是轴对称二维非稳定承
20、压井流的基本微分方程。上两式就是轴对称二维非稳定承压井流的基本微分方程。对比式对比式（6.33）和）和（6.10），如果令），如果令 = =M(Hh)=Ms （6.34） 则式则式（6.33）可写成）可写成 （6.35） 221()arrrt抖+=抖 式式（6.35）和（）和（6.10）的形式完全相同，只是其中的势函数）的形式完全相同，只是其中的势函数 不同。不同。对非完整井，可推导出均质各向异性介质中地下水三维流动的对非完整井，可推导出均质各向异性介质中地下水三维流动的微分方程为：微分方程为：tayx=1z222222或或 tarrr=1z12222 6.2无越流含水层中的单个定流量完整井流
21、无越流含水层中的单个定流量完整井流 因为无越流故无垂向渗流所以：因为无越流故无垂向渗流所以：e e =0。 6.2.1无限承压含水层中单个定流量完整井流无限承压含水层中单个定流量完整井流 含水层均是有限的。如果含水层是如此之大，以致边界对于含水层均是有限的。如果含水层是如此之大，以致边界对于含水层研究区段的水头分布没有明显的影响，则可称它为无含水层研究区段的水头分布没有明显的影响，则可称它为无限含水层。对于压力传导系数小的含水层进行短时间抽水的限含水层。对于压力传导系数小的含水层进行短时间抽水的情况，可视为无限的含水层。情况，可视为无限的含水层。 1.承压含水层定流量抽水时的承压含水层定流量抽
22、水时的Theis（泰斯）公式。（泰斯）公式。 承压含水层中单个井定流量抽水的数学模型是在下列假设条承压含水层中单个井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的：件下建立的： （1）含水层为均质各向同性、等厚、侧向无限延伸，产状水）含水层为均质各向同性、等厚、侧向无限延伸，产状水平、导水系数平、导水系数T为常数；为常数； （2）抽水前地下水的水头面水平；）抽水前地下水的水头面水平； （3）定流量抽水井，井径无限小；）定流量抽水井，井径无限小； （4）含）含水层中水流服从达西定律；水层中水流服从达西定律；（5）抽水后，水头下降引起地下水从贮存量中的释放是瞬时完成）抽水后，水头下降引起地下水从贮存
23、量中的释放是瞬时完成的，储水系数的，储水系数 *为常数为常数储水系数是常数，故承压含水层的压力储水系数是常数，故承压含水层的压力传导系数传导系数a=T/ *是常数，其中是常数，其中 *是释水系数。所以：导水系数是释水系数。所以：导水系数T=kM，式中，式中M为含水层的厚度。为含水层的厚度。（6）承压井流要保持承压状态，则水位降深）承压井流要保持承压状态，则水位降深s不得大于（不得大于（H-M）。）。 （7）承压井按泰斯理论，抽出的水来自含水层储存量的弹性释放，承压井按泰斯理论，抽出的水来自含水层储存量的弹性释放，并且是瞬时完成，所以并且是瞬时完成，所以T=kM为常数。为常数。抽水井抽水时，抽水
24、量完全是来自含水层中的储存量，随着抽水抽水井抽水时，抽水量完全是来自含水层中的储存量，随着抽水时间的延续，以井轴为对称的下降漏斗不断的扩展，水流始终时间的延续，以井轴为对称的下降漏斗不断的扩展，水流始终是非稳定渗流状态。是非稳定渗流状态。在上述假设条件下，将坐标原在上述假设条件下，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为轴处，井轴为z轴，如右图所示。轴，如右图所示。tHQ时水面线MZohsrr0根据上述假设条件根据上述假设条件(1)和和(5)可以应用可以应用不稳定承压井流基本微分方程（不稳定承压井流基本微分方程（6.6）,(2)是初始条件是初始条件,(3)和含水
25、层侧向无限和含水层侧向无限延伸是内外边界条件。令延伸是内外边界条件。令 =kMH+C=M1(Hh)=M1s 因此，该定解问题可写成为：因此，该定解问题可写成为： 221arrrte=抖+抖jjj0(,0)rrt221arrrt=抖+抖jjj（e e =0时）时） ( ,0)0r=0()rr ( , )0t=(0)t 0lim2Qrr kr-=jp（常数）（常数） (0)t 该定解问题可用积分变换法，分离变量法或博尔兹门变换法求解，该定解问题可用积分变换法，分离变量法或博尔兹门变换法求解，它的解是它的解是Q4uuedukup-=其中其中 22*44rruTtat=m令令 ( )uueduW uu
26、-= =M(Hh)=Ms( )( )QQ44sW uW ukMTpp=4Q( )TsW up=)Q4(412TsaWrt=式（式（6.45）、）、式（式（6.46）和）和式（式（6.47）称为泰斯公式。）称为泰斯公式。 W（u）称为承压水定流量的井函数。）称为承压水定流量的井函数。右端为指数积分，将其展成幂级数并逐项积分。右端为指数积分，将其展成幂级数并逐项积分。W（u）可）可表示为下列无穷级数的形式表示为下列无穷级数的形式因为因为0.577216=ln1.78107，当抽水时间当抽水时间t 较长、抽水井较长、抽水井u0.01或观测井或观测井u0.05时，时，式（式（6.48）第二项以后（不包
27、括第二项）第二项以后（不包括第二项）可忽略不计，则可忽略不计，则式（式（6.45）、式（）、式（6.46）和式（）和式（6.47）可）可简化为简化为见见P89表表6.1、P91例例6.1 。2.对泰斯公式的简要分析见对泰斯公式的简要分析见P91,属于了解的范畴。属于了解的范畴。duueuWuu=)(=11!) 1(ln577216. 0)(nnnnnuuuW225. 2ln4QratTs225. 2ln4QratTs=Q42445. 0Tseart= 6.2.2无限潜水含水层中单个定流量完整井流无限潜水含水层中单个定流量完整井流 在潜水含水层中抽水时，潜水面是随时间不断变化的上界面。在潜水含水
28、层中抽水时，潜水面是随时间不断变化的上界面。 1.地下水向潜水井的非稳定渗流的主要表现以及与承压井的非地下水向潜水井的非稳定渗流的主要表现以及与承压井的非稳定渗流的比较：稳定渗流的比较： （1）潜水井的导水系数）潜水井的导水系数T=kh是随时间和距离而变化的，而承是随时间和距离而变化的，而承压井的压井的T=kM为常数；为常数； （2）潜水井降深较大时，垂直分速度不可忽略，在井附近为）潜水井降深较大时，垂直分速度不可忽略，在井附近为三维流。水平含水层中的承压井可作为二维流处理；三维流。水平含水层中的承压井可作为二维流处理； （3）潜水井中抽出的水量主要来自含水层的重力疏干。考虑）潜水井中抽出的水
29、量主要来自含水层的重力疏干。考虑疏干的滞后性时，虽然潜水面下降了，而潜水面以上新形成疏干的滞后性时，虽然潜水面下降了，而潜水面以上新形成的饱和带中仍有水继续向下排水，补给潜水层。这时，潜水的饱和带中仍有水继续向下排水，补给潜水层。这时，潜水层的给水度是变化的，故潜水含水层的水位传导系数层的给水度是变化的，故潜水含水层的水位传导系数a=T/ 是是变化的。变化的。给水度给水度 是随着抽水时间的增加而逐渐趋向于稳定的是随着抽水时间的增加而逐渐趋向于稳定的最大值，一般提供的给水度值，便是这个最终值。导水系最大值，一般提供的给水度值，便是这个最终值。导水系数数 ，式中：，式中： 。HkT =2)(max
30、sHHH=从实测的水头降深从实测的水头降深s和和t时间的关系曲线分析，潜水含水层存在滞时间的关系曲线分析，潜水含水层存在滞后疏干的现象，后疏干的现象，st曲线反映出抽水过程三阶段：曲线反映出抽水过程三阶段：抽水初期抽水初期st曲线与承压井的泰斯曲线一致。这时主要为弹性释曲线与承压井的泰斯曲线一致。这时主要为弹性释放，可以储水系数表示。潜水位下降了，重力疏干因滞后反应放，可以储水系数表示。潜水位下降了，重力疏干因滞后反应所引起的作用还很小。所以，含水层的作用相当于贮水系数小所引起的作用还很小。所以，含水层的作用相当于贮水系数小的承压含水层。这阶段的时间很短，也许只有几分钟。的承压含水层。这阶段的
31、时间很短，也许只有几分钟。抽水中期抽水中期st曲线的变化很象有越流补给时半承压含水层的情况，曲线的变化很象有越流补给时半承压含水层的情况，明显偏离泰斯曲线，曲线斜率变小，甚至出现短时间的假稳定。此明显偏离泰斯曲线，曲线斜率变小，甚至出现短时间的假稳定。此时，重力疏干的作用逐渐明显，贮存的重力水逐步释放出来，起到时，重力疏干的作用逐渐明显，贮存的重力水逐步释放出来，起到连续再补给的作用。弹性释放的作用依然存在，但所占比例已逐渐连续再补给的作用。弹性释放的作用依然存在，但所占比例已逐渐减弱。此时给水度的数值逐级增大而趋向潜水含水层的最大值。这减弱。此时给水度的数值逐级增大而趋向潜水含水层的最大值。
32、这个阶段，由于潜水层性质的不同，可能是几分钟，也可能是几天。个阶段，由于潜水层性质的不同，可能是几分钟，也可能是几天。 抽水后期抽水后期st曲线又与泰斯曲线相一致，水头下降速度增大，降曲线又与泰斯曲线相一致，水头下降速度增大，降落漏斗扩展，这时主要为重力疏干作用，由于抽水时间的增长，重落漏斗扩展，这时主要为重力疏干作用，由于抽水时间的增长，重力排水已跟得上水位的下降，滞后作用可忽略不计，此时的给水度力排水已跟得上水位的下降，滞后作用可忽略不计，此时的给水度达到最大值。达到最大值。 （4）当降深不大时，含水层为无限含水层时潜水完整井单井抽）当降深不大时，含水层为无限含水层时潜水完整井单井抽水非稳
33、定流运算模型参照承压水完整井的方式进行一系列代换导出水非稳定流运算模型参照承压水完整井的方式进行一系列代换导出时，将式（时，将式（6.5）代入式（）代入式（6.43），则得计算潜水井流的基本方程），则得计算潜水井流的基本方程： 上三式也称为泰斯公式。上三式也称为泰斯公式。 )(2Q2uWkHHs=)()2(2Q00uWssHk=Q)2(2412ssHkaWrt=所以泰斯公式有所以泰斯公式有6个式子，即：公式（个式子，即：公式（6.45）、）、式（式（6.46）、）、式（式（6.47）、）、式（式（6.58）、式（）、式（6.59）和式（）和式（5.60）。）。式中式中W（u）的求解与承压水完整
34、井非稳定流时相同。）的求解与承压水完整井非稳定流时相同。 当抽水时间当抽水时间t较长、抽水井较长、抽水井u0.01或观测井或观测井u0.05时，式（时，式（6.48）第二项（不包括第二项）以后可忽略不计，则式（第二项（不包括第二项）以后可忽略不计，则式（6.58）、式）、式（6.59）和式（）和式（6.60）可简化为）可简化为2225.2ln2QratkHHs20025. 2ln)2(2QratssHk=Q)2(22445. 0ssHkeart=2.博尔顿法数学模型及其解博尔顿法数学模型及其解*),(DruWyaaauDruW1),(井函数井函数的数值解在双对数坐标纸上绘得曲线簇的数值解在双对
35、数坐标纸上绘得曲线簇, ,曲线，适用于曲线，适用于抽水初期；抽水初期； 它包括两组曲线，它包括两组曲线， 左边为左边为A组组 右边为右边为B组组 曲线，适用于抽水后期。因式曲线，适用于抽水后期。因式 （6.63）的条件是）的条件是h h ，两组曲线的中间部分为一水平，两组曲线的中间部分为一水平线，可用式（线，可用式（6.65）表示。当）表示。当h h 100时，曲线中间部分仍时，曲线中间部分仍趋近于一水平线，如趋近于一水平线，如h h 100时，曲线中间部分就不是水平时，曲线中间部分就不是水平线了，而是一条比抽水初期和后期的斜率小得多的曲线，线了，而是一条比抽水初期和后期的斜率小得多的曲线，可
36、用两组曲线间它们的共同切线连接。可用两组曲线间它们的共同切线连接。 曲线簇说明：抽水初期以弹性释放为主，水头降深与左边曲线簇说明：抽水初期以弹性释放为主，水头降深与左边的泰斯曲线吻合；中期滞后重力排水的影响曲线簇偏离泰的泰斯曲线吻合；中期滞后重力排水的影响曲线簇偏离泰斯曲线，水头下降速度变小，并随不同的斯曲线，水头下降速度变小，并随不同的r/D，以不同方，以不同方式向水平线趋近；后期滞后重力排水影响逐渐减弱，水头式向水平线趋近；后期滞后重力排水影响逐渐减弱，水头下降速度又由小变大。滞后重力排水影响基本结束时，曲下降速度又由小变大。滞后重力排水影响基本结束时，曲线簇与右边的泰斯曲线趋近。线簇与右
37、边的泰斯曲线趋近。yyuDruW1),(Ttruy42=Ttrua4*2=； 6.3有越流补给时承压含水层中的单个定流量完整井流有越流补给时承压含水层中的单个定流量完整井流 如果抽水层的顶板或底板不是隔水层，而是弱透水层或弱含如果抽水层的顶板或底板不是隔水层，而是弱透水层或弱含水层，那么当抽水层抽水时，水位下降，抽出的水除了抽水水层，那么当抽水层抽水时，水位下降，抽出的水除了抽水层本身的弹性释放之外，还得到弱透水层的弹性释放补给和层本身的弹性释放之外，还得到弱透水层的弹性释放补给和相邻含水层通过弱透水层的补给。这种含水层系统称为越流相邻含水层通过弱透水层的补给。这种含水层系统称为越流系统。它包
38、括抽水含水层和相邻含水层。见下图。系统。它包括抽水含水层和相邻含水层。见下图。 越流系统可分为三种类型：越流系统可分为三种类型： （1）弱透水层的弹性储量很小，可忽略不计，而且在抽水含）弱透水层的弹性储量很小，可忽略不计，而且在抽水含水层抽水期间，相邻含水层的水位不变。水层抽水期间，相邻含水层的水位不变。hshk/k/相邻含水层抽水含水层弱透水层MMH （2）弱透水层中释放出来的水量相当大，甚至是越流补给的）弱透水层中释放出来的水量相当大，甚至是越流补给的主要来源，相邻含水层的水位保持不变；所以应考虑弱透水主要来源，相邻含水层的水位保持不变；所以应考虑弱透水层的弹性储量。层的弹性储量。 （3）
39、补给层的水头随主含水层的抽水情况而变化，这种类型）补给层的水头随主含水层的抽水情况而变化，这种类型的计算很复杂，本书不讨论此类问题。的计算很复杂，本书不讨论此类问题。 本书只介绍第一类及第二类特定条件下的计算公式。本书只介绍第一类及第二类特定条件下的计算公式。 越流系统中常用的三个系数越流系统中常用的三个系数 （1）弱透水层越流系数）弱透水层越流系数b：其含义为，水头降低一个单位时，：其含义为，水头降低一个单位时，单位时间内，单位水平面积上，相邻含水层通过弱透水层补单位时间内，单位水平面积上，相邻含水层通过弱透水层补给抽水含水层的水量。给抽水含水层的水量。Mkb=（2）阻越流系数）阻越流系数B
40、kMTB=阻越流系数阻越流系数B表示越流补给量大小，表示越流补给量大小，B愈大则渗透系数愈大则渗透系数就愈小，故垂直补给量愈小。就愈小，故垂直补给量愈小。k （3）越流补给强度）越流补给强度e e 越流补给强度是单位时间通过单位水平面积补给抽水含水层的越流补给强度是单位时间通过单位水平面积补给抽水含水层的水量，（水量，（m/d） （6.68） 式中式中 s 抽水含水层水头降深。抽水含水层水头降深。sMk=e一、第一类越流系统地下水流向承压完整井的非稳定运动一、第一类越流系统地下水流向承压完整井的非稳定运动1.汉土斯假设：汉土斯假设： （1）越流系统中每层都均质各向同性、产状水平、）越流系统中每
41、层都均质各向同性、产状水平、等厚、侧向无限延伸；等厚、侧向无限延伸；（2）抽水含水层和相邻含水层初始水位水平且相等，抽水后，抽水）抽水含水层和相邻含水层初始水位水平且相等，抽水后，抽水层中水流为平面径向流；层中水流为平面径向流；（3）抽水后相邻含水层越流补给抽水层，但其中水位保持不变；）抽水后相邻含水层越流补给抽水层，但其中水位保持不变；（4）抽水层中水流服从达西定律；）抽水层中水流服从达西定律；（5）水和含水层均为弹性体，储水量的释放是瞬时完成的；）水和含水层均为弹性体，储水量的释放是瞬时完成的；（6）抽水井以定流量抽水为井径无限小的完整井；）抽水井以定流量抽水为井径无限小的完整井；（7）弱
42、透水层的弹性释放水量可忽略不计，通过其中的水流为垂向）弱透水层的弹性释放水量可忽略不计，通过其中的水流为垂向一维流。一维流。 在上述水文地质条件下抽水时，井的抽水量在上述水文地质条件下抽水时，井的抽水量Q由二部分组成：由二部分组成：一是由于水位降低，抽水含水层本身的弹性释放量；二是在抽一是由于水位降低，抽水含水层本身的弹性释放量；二是在抽水含水层与相邻含水层之间的水位差作用下，来自相邻含水层水含水层与相邻含水层之间的水位差作用下，来自相邻含水层的越流补给量。随着抽水时间的延续，水位差增大，降落漏斗的越流补给量。随着抽水时间的延续，水位差增大，降落漏斗扩展，使越流补给量在井的抽水量中所占比重也逐
43、渐增大。当扩展，使越流补给量在井的抽水量中所占比重也逐渐增大。当井的抽水量与越流补给量相等时，抽水含水层的降落漏斗达到井的抽水量与越流补给量相等时，抽水含水层的降落漏斗达到稳定，抽水含水层不再释放储存量。稳定，抽水含水层不再释放储存量。2.汉土斯数学模型及其解汉土斯数学模型及其解在上述假设条件下，可应用承压二维渗流的微分方程，结合相应在上述假设条件下，可应用承压二维渗流的微分方程，结合相应的初始条件和边界条件，构成一个理想的数学模型：的初始条件和边界条件，构成一个理想的数学模型： s（r，0）=0 =0 这一数学模型有非稳定流和稳定流的解。这一数学模型有非稳定流和稳定流的解。 （1）有越流补给
44、时非稳定流的解）有越流补给时非稳定流的解 将上式将上式积分变换，得：积分变换，得： 解得：解得： tsatsTTrsrrs=11*22e),(ts Trsrr2Qlim0=dyyBryyTtrsu)4exp(14Q),(22=hHBruWTtrs=),(4Q),(为不考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数，其值为不考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数，其值),(BruW见见P101表表6.2。 （2）有越流补给时非稳定流的解的分析）有越流补给时非稳定流的解的分析 有越流时的降深比无越流时小有越流时的降深比无越流时小 将有越流时的解式将有越流时的解式（6.71）和泰斯的解式（）和泰斯的解式（6
45、.45）对比可看）对比可看出，当出，当u值相同时，因为值相同时，因为 恒为正值，故积分恒为正值，故积分 较较 为小。因此，该含水层的为小。因此，该含水层的降深降深s比无越流的承压含水层的降深值要小。这是因为在越流比无越流的承压含水层的降深值要小。这是因为在越流时，水井中抽出的水，一部分来自越流补给，抽水含水层可时，水井中抽出的水，一部分来自越流补给，抽水含水层可以少释放一些弹性储量造成的。以少释放一些弹性储量造成的。 当当k/=0时，弱透水层变为不透水层，越流因素时，弱透水层变为不透水层，越流因素B，没有越，没有越流补给。式中的流补给。式中的 0，则变成泰斯公式。，则变成泰斯公式。 时，时，就
46、是泰斯曲线。就是泰斯曲线。 st曲线的形状曲线的形状按表按表6.2有越流井函数绘制有越流井函数绘制 标准曲线，见下图。标准曲线，见下图。atrTtru44*22=yBr224dyyBryyu)4exp(122dueuuyBr2240Br),(BruWu1),(BruWBrBrkMTB=Br此曲线相当于此曲线相当于st曲线。抽水初期，曲线。抽水初期，降深较小，越流尚未进入抽水层，降深较小，越流尚未进入抽水层，井中抽水的水量几乎全部是消耗井中抽水的水量几乎全部是消耗抽水层的贮存量，抽水层的贮存量，可看出可看出这时的这时的降深曲线与泰斯曲线一致。降深曲线与泰斯曲线一致。在理论上即越流量等于在理论上即
47、越流量等于0，或或B，W(u)，降深曲线与泰斯曲线一致。，降深曲线与泰斯曲线一致。值时的曲线形状。在其他条件和值时的曲线形状。在其他条件和越小，与泰斯曲线一致的过程越长，相邻含水层的越小，与泰斯曲线一致的过程越长，相邻含水层的分析，分析，小，即小，即B大，则透弱水层的渗透性小，厚度大，大，则透弱水层的渗透性小，厚度大，标准曲线标准曲线中表示了不同中表示了不同r相同时相同时,越流量进入抽水含水层的时间越迟。从越流量进入抽水含水层的时间越迟。从所以越流发生得迟。所以越流发生得迟。 抽水中期抽水中期，降深曲线变缓，偏离泰斯曲线。这说明越流开始，降深曲线变缓，偏离泰斯曲线。这说明越流开始进入抽水层，这
48、时抽水量由两部分组成：一是来自抽水层的弹进入抽水层，这时抽水量由两部分组成：一是来自抽水层的弹性释放，二是来自相邻含水层的越流补给。其他条件和性释放，二是来自相邻含水层的越流补给。其他条件和r相同相同时时, 大，越流补给量大，消耗抽水层的储大，越流补给量大，消耗抽水层的储 存量小，所以抽存量小，所以抽水层的降深也小，偏离泰斯曲线早。水层的降深也小，偏离泰斯曲线早。 抽水后期抽水后期，降深曲线趋向水平直线，也就是说水头不再下，降深曲线趋向水平直线，也就是说水头不再下降，抽水量等于越流补给量，流水由非稳定流变为稳定流。降，抽水量等于越流补给量，流水由非稳定流变为稳定流。 水头下降速度水头下降速度
49、当存在越流时，含水层中水头下降速度为当存在越流时，含水层中水头下降速度为 Br)4(exp14Q22BatatrtTts= 与泰斯公式的水头下降速度对比看出，与泰斯公式的水头下降速度对比看出， 恒为正值，故恒为正值，故有越流时水头下降速度比无越流的承压含水层为小。有越流时水头下降速度比无越流的承压含水层为小。 t 足够足够大时，井周围的降落漏斗等速下降。大时，井周围的降落漏斗等速下降。)(2Bat2)(05. 0Br)(2),(0BrkBruW=（3）有越流补给时的稳定流解）有越流补给时的稳定流解当当t足够大时，足够大时，u便很小。实用上只要便很小。实用上只要u导，井函数部分为：导，井函数部分
50、为： ，经数学推，经数学推一般越流含水层的阻越流系数一般越流含水层的阻越流系数B都相当大，故都相当大，故 1，上式要求上式要求注：见表注：见表5.5， 大，则大，则 小小 。稳定时的降深。稳定时的降深即最大降深，可表示为：即最大降深，可表示为：Br0)(2Q0BrkTsmax=式中式中 )(0Brk为零阶第二类虚宗量塞尔函数，见为零阶第二类虚宗量塞尔函数，见P103表表6.3。 能满能满足足Br)(0Brk 当当 0.05时，在抽水井附近，则按贝塞尔函数性质：时，在抽水井附近，则按贝塞尔函数性质： 则则 稳定流中求得的裘布依公式为稳定流中求得的裘布依公式为 对比上两式得对比上两式得:R=1.1
