1、实验因素与水平实验因素与水平实验因素与水平实验因素与水平单因素优选法单因素优选法主要内容主要内容实验因素与水平实验因素与水平因素：在实验中，影响试验考核指标的量称为因素。因素：在实验中，影响试验考核指标的量称为因素。水平：水平是试验中各因素的不同取值。水平：水平是试验中各因素的不同取值。实际中一般试验实际中一般试验设计的因素水平设计的因素水平均取均取2 2或或3 3水平。水平。一般用一般用“+ +”，“- -”号或号或1 1，2 2，33来表示因来表示因素的不同水平。当因素只有高低两个水平时，素的不同水平。当因素只有高低两个水平时，用用“+ +”号代表高，号代表高，“- -”号代表水平。当因素
2、号代表水平。当因素有有3 3个以上水平时，用个以上水平时，用1 1，2 2，3 3来依次表示从低来依次表示从低到高的水平，在同一试验表中，只能出现同类到高的水平，在同一试验表中，只能出现同类符号，而不可混用。符号，而不可混用。因素的选取因素的选取（1 1）选择依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；）选择依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；最重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。最重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。（2 2）一般原则：尽可能全面地考虑到影响试验指标的各个）一般原则：尽可能全面地考虑到影响试验指标的各个因素，根据实验要求和尽量少选因素因素，根据实验要求
3、和尽量少选因素（3 3）首先）首先选对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其规选对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其规律的因素和未曾被考察研究过的因素律的因素和未曾被考察研究过的因素。那些对试验指标影。那些对试验指标影响较小的因素，对试验指标影响规律已完全掌握的因素，响较小的因素，对试验指标影响规律已完全掌握的因素，应当少选或不选，但要作为可控的条件因素参加试验。应当少选或不选，但要作为可控的条件因素参加试验。（4 4）在初步筛选因素时，可以考虑多安排一些因素。）在初步筛选因素时，可以考虑多安排一些因素。因因 素素p在试验设计时，试验因素（输入变量）有两种，一种是在试在试验设计时，试验因素（输
4、入变量）有两种，一种是在试验时我们可以人为进行控制的验时我们可以人为进行控制的可控因素可控因素；一种是人为无法控；一种是人为无法控制的制的噪声（随机）因素。噪声（随机）因素。p可控因素是在试验过程中我们可以设置和保持其在一个希望可控因素是在试验过程中我们可以设置和保持其在一个希望的水平上的因子，它应具有以下特征：的水平上的因子，它应具有以下特征： 1 1、根据经验和以往数据可以确信其对指标、根据经验和以往数据可以确信其对指标Y Y有重要影响。有重要影响。 2 2、在试验过程中可以比较容易地进行人为改变。、在试验过程中可以比较容易地进行人为改变。p可控因子对可控因子对Y Y的影响愈大，则潜在的改
5、善机会愈大。的影响愈大，则潜在的改善机会愈大。p噪声因素是试验过程中可使试验结果发生偏差，且无法对噪声因素是试验过程中可使试验结果发生偏差，且无法对其进行控制的因子。它具有以下特征：其进行控制的因子。它具有以下特征： 1 1、使试验结果偏离目标。、使试验结果偏离目标。 2 2、无法或很难人为控制。、无法或很难人为控制。p当试验中存在噪声因素时，有两种方法可以进行改善。当试验中存在噪声因素时，有两种方法可以进行改善。 1 1、首先确认此因素对指标、首先确认此因素对指标Y Y的影响程度，如影响大，则须对的影响程度，如影响大，则须对其进行中和（即直接控制或降低其对其进行中和（即直接控制或降低其对Y
6、Y的影响）。的影响）。 2 2、通过、通过重复精确试验重复精确试验来确定可控因素的来确定可控因素的最佳水平最佳水平，当可控因，当可控因素的水平足够好时，即可得到可靠的设计（对噪声因素不敏感）。素的水平足够好时，即可得到可靠的设计（对噪声因素不敏感）。因因 素素可控因素可控因素噪声因素噪声因素（1 1）水平有两种：量的变化（数量因素）和质的变化（质）水平有两种：量的变化（数量因素）和质的变化（质量因素）。量因素）。（2 2）数量因素水平水平范围要）数量因素水平水平范围要足够宽，否则就可出现缩小足够宽，否则就可出现缩小甚至抵削变量影响甚至抵削变量影响，同时也看不出因素间交互作用对输出，同时也看不出
7、因素间交互作用对输出的影响。的影响。（3 3）水平设置）水平设置也不可过宽，否则同样可能缩小此因素的影也不可过宽，否则同样可能缩小此因素的影响，或将其它因素的影响掩盖掉。响，或将其它因素的影响掩盖掉。过宽还可能超出允许操过宽还可能超出允许操作范围，造成意外损失。一般要求作范围，造成意外损失。一般要求3 3个以上。个以上。（4 4）依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；最重）依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；最重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。水平的选取水平的选取水水 平平确定实验因素：确定实验因素： 在对实验背景、实验条件、实
8、验预期结果充分了在对实验背景、实验条件、实验预期结果充分了解的基础上结合自身研究内容、现实条件、预期效果解的基础上结合自身研究内容、现实条件、预期效果确定实验因素。方法：确定实验因素。方法：大量阅读文献及总结大量阅读文献及总结。确定实验因素水平：确定实验因素水平： 文献结合实际文献结合实际！参考单因素优选法！参考单因素优选法！p 优选法优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，原理，合理地安排试验点，减少试验次数，迅速地找减少试验次数，迅速地找到最佳点的一类科学方法到最佳点的一类科学方法。p 优选法可以解决那些试验指标与因素间
9、优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形不能用数学形式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。 p 假定假定f(x)f(x)是定义在区间是定义在区间aa，bb上的函数，上的函数，但但f(x)f(x)的表的表达式是并不知道的达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点，只有从试验中才能得出在某一点x x0 0的数值的数值f(xf(x0 0) )。应用单因素优选法，就是用尽量少的。应用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来确定试验次数来确定f(x)f(x)的最佳点。的最佳点。 单因素优选法单因素优选法均分均分法法平分法平分法黄金分割法黄金分割法单因素优选
10、法单因素优选法分数法分数法抛物线法抛物线法分批试验法分批试验法1 1 均分法均分法n 在试验范围在试验范围a, ba, b内，根据精度要求和实际情况，均内，根据精度要求和实际情况，均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点。互比较，以求得最优点。 n 作法：作法：如试验范围如试验范围L Lb ba a，试验点间隔为，试验点间隔为N N，则试验，则试验点点n n为为( (包含两个端点包含两个端点) )：1Nab1NLn例例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为围为
11、420转转/分分720转转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。的砂轮转速值。N = 30 转转/分分 n = + 1 = +1 = 11 b - a N 720 - 420 30试验转速：试验转速：420420，450450，480480，510510，540540，570570，600600，630630，660660，690690，7207201 1 均分法均分法使用范围：使用范围： 这种方法的特点是对所试验的范围进行这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查普查”，常常常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情常应用于对目标函数的性质没有掌握
12、或很少掌握的情况。况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。于试验点数目的多少。 1 1 均分法均分法 适用于试验范围适用于试验范围(a,b)(a,b)内，目标函数为单调（连续或内，目标函数为单调（连续或间断）的情况下，求最优点的方法。间断）的情况下，求最优点的方法。 前提是有一个具体指标作为标准。前提是有一个具体指标作为标准。a bf(x)图图2-2 间断单调间断单调a b图图2-1 连续单调连续单调f(x)2 2 平分法平分法每次选取因素所在试验范围（每次选取因素所在试验范围（a, ba, b）的中点处）的中点处C C做试验
13、。做试验。计算公式：计算公式： C = （ a + b ) 2 d = （ c + b ) 2abcd每试验一次，试验范围缩每试验一次，试验范围缩小一半，重复做下去，直小一半，重复做下去，直到找出满意的试验点为止。到找出满意的试验点为止。根据试验结果，如下次试验根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半试验点（中点）以上的一半范围划去。范围划去。 2 2 平分法平分法 本方法是在试验范围本方法是在试
14、验范围a, ba, b内，首先安排两个试验内，首先安排两个试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 黄金分割黄金分割 ：510.61803398872 0.6180.618法要求试验结果目标函数法要求试验结果目标函数f(x)f(x)是是单峰函单峰函数数，即在试验范围内只有一个最优点，即在试验范围内
15、只有一个最优点 d d，其，其效果效果f(d)f(d)最好，比最好，比 d d 大或小的点都差，且距大或小的点都差，且距最优点最优点 d d 越远的试验效果越差。越远的试验效果越差。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 设设x x1 1 和和x x2 2 是因素范围是因素范围a,ba,b内的任意两个试点，内的任意两个试点，C C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称为为好点好点，把效果较差的点称为，把效果较差的点称为差点差点。则：。则：最优点与好最优点与好点必在差点同侧点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成
16、，因而我们把因素范围被差点所分成的两部分中好点所在的那部分称为的两部分中好点所在的那部分称为存优范围存优范围。即可以。即可以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。 如何安排两个试验点？如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围合理地缩小存优范围 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）由由来来 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点对称对称-对称原则对称原则。 则无论哪点差，划去的长度都一样。则无论哪点差，划去的长度都一样。 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例最好每次舍去的
17、区间都能占舍去前全区间同样的比例数（数（“成比例地舍去成比例地舍去”原则原则）。）。 由由来来3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 两个试验点位置的确定：两个试验点位置的确定： 设第一次舍去的长度为设第一次舍去的长度为 x x ，则：，则：)( 21度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度即第二次舍去的长度即第一次总长度即第一次舍去的长度x)ab(xx)xa ()xb(axxxabx1213 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）由由来来)(x)ab(xx)xa ()xb(abx21度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度即第二次舍去的长度即第一次总长度即第一
18、次舍去的长度 它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。对这个等式进行变形可得去的比例数。对这个等式进行变形可得0)()(322abxabx整理可得整理可得 x x0.382(b0.382(ba) a) 0.6180.618或或(1(10.618)0.618)0.3820.382这正是黄金分割常数。这正是黄金分割常数。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）由由来来 第一个试验点第一个试验点x x1 1设在范围（设在范围（a a，b b）的）的0.6180.618位置上，第位置上，第二个试验点二个试验点x x2 2
19、取成取成x x1 1的对称点，则：的对称点，则： x x1 1( (大小大小) )0.6180.618小小(b(ba)a)0.6180.618a a x x2 2( (大小大小) )第一点第一点( (即前一点即前一点) )(b(ba)a)x x1 1 第三个试验点的安排有三种情形：第三个试验点的安排有三种情形：3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）做做法法 (1)(1) x x1 1是好点是好点 ，则划去（，则划去（a,xa,x2 2），保留（），保留（x x2 2,b,b）。）。x x1 1的对称点的对称点x x3 3，在，在x x3 3安排第三次试验。安排第三次试验。
20、x x3 3大小前一点大小前一点 b bx x2 2x x1 1 由由来来3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）26 (2)(2) x x2 2是好点是好点 ，则划去（，则划去（x x1 1,b,b），保留（），保留（a,xa,x1 1）。）。第三个试验点第三个试验点x x3 3应是好点应是好点x x2 2的对称点。的对称点。 x x3 3大小前一点大小前一点 x x1 1a ax x2 2 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） (3)(3) 如果如果f(xf(x1 1) )和和f(xf(x2 2) )一样，则应该具体分析，看最一样，则应该具体分析
21、，看最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉（时划掉（a,xa,x2 2）和（）和（x x1 1,b,b），仅留中点的），仅留中点的(x(x2 2,x,x1 1) )，把，把x x2 2看成新看成新a a，x x1 1看成新看成新b b，然后在范围（，然后在范围（x x2 2,x,x1 1）内）内0.3820.382、0.6180.618处重新安排两次试验试验。处重新安排两次试验试验。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可
22、以比较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。 这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比较好的试验结果；较好的试验结果； 或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不大时也可终止试验。大时也可终止试验。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度
23、，加入范围是入范围是1000100020002000克，求最佳加入量。克，求最佳加入量。 第一步第一步 先在试验范围长度的先在试验范围长度的0.6180.618处做第（处做第（1 1）个试验）个试验x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.61810001000(2000(20001000)1000)0.6180.61816181618克克 第二步第二步 第（第（2 2）个试验点由公式）个试验点由公式x x2 2大小第一点大小第一点20002000100010001618161813821382克克3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.618
24、0.618法）法）x x1 116181618克克x x2 213821382克克 第三步第三步 比较（比较（1 1）与（）与（2 2）两点上所做试验的效果，现在）两点上所做试验的效果，现在假设第（假设第（1 1）点比较好，就去掉第（）点比较好，就去掉第（2 2）点，即去掉）点，即去掉1000,13821000,1382那一段范围。留下那一段范围。留下1382,20001382,2000，则：，则：x x3 3大小第一点大小第一点13821382200020001618161817641764克克 第四步第四步 比较在上次留下的好点，即第（比较在上次留下的好点，即第（1 1）处和第（）处和第（
25、3 3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，范围作为新的试验范围，如此反复，直到得到较好如此反复，直到得到较好的试验结果为止。的试验结果为止。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法） 可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.6180.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可。到达
26、到所需精度即可。 3 3 黄金分割法（黄金分割法（0.6180.618法）法）适用范围适用范围： 试验要求预先给出试验总数试验要求预先给出试验总数( (或者知道或者知道试验范围和精试验范围和精确度确度，这时试验总数就可以算出来，这时试验总数就可以算出来) )。在这种情况下。在这种情况下，用分数法比，用分数法比0.6180.618法方便，且同样适合单峰函数的法方便，且同样适合单峰函数的方法。方法。 裴波那契数列裴波那契数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 用用F F0 0、F F1 1、F F2 2、
27、依次表示上述数串，它们满足递推依次表示上述数串，它们满足递推关系：关系：F Fn nF Fn-1n-1F Fn-2n-2 (n2) (n2)4 4 分数法分数法 所有可能的试验总数正好是某个所有可能的试验总数正好是某个F Fn n-1-1： 第一步第一步：先在第先在第F Fn-1n-1、F Fn-2n-2点上做试验。点上做试验。 比较这两个试验的结果，如果第比较这两个试验的结果，如果第F Fn-1n-1点好，划去第点好，划去第F Fn-2n-2点以下的试验范围；点以下的试验范围；如果第如果第F Fn-2n-2点好，划去点好，划去F Fn-1n-1点以上的试验范围。点以上的试验范围。 4 4 分
28、数法分数法 所有可能的试验总数正好是某个所有可能的试验总数正好是某个F Fn n-1-1： 第二步第二步：在留下的试验范围中，还剩下在留下的试验范围中，还剩下F Fn-1n-11 1个试验点，个试验点，重新编号，其中第重新编号，其中第F Fn-2n-2和和F Fn-3n-3个分点，有一个是刚好留个分点，有一个是刚好留下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试验范围
29、就只有验范围就只有F Fn-2n-21 1试验点。试验点。 以后以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试验范围内没有应该做的好点为止。验范围内没有应该做的好点为止。 4 4 分数法分数法 例：卡那霉素生物测定培养温度试验。例：卡那霉素生物测定培养温度试验。 卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为373711，培养时间在，培养时间在16h16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为试验，试验范围为29295050，精确度要求，精确度要求11，中间试，中间试验
30、点共有验点共有2020个，用分数法安排试验。个，用分数法安排试验。 解：由题意可知，试验总次数为解：由题意可知，试验总次数为2020次，正好等于次，正好等于F F7 71 1。4 4 分数法分数法卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为3737 11，培养时间在，培养时间在16h16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为29502950，精确度要求，精确度要求 11，中间试验点共有，中间试验点共有2020个，用分数法安排试验。个，用分数法安排试验。 (1) (1) 第个试验点选在第个试验
31、点选在1313个分点个分点4242；第个试验点在第；第个试验点在第8 8个个分点分点3737。发现点好，划去。发现点好，划去8 8分点以下的，再重新编号；分点以下的，再重新编号；(2) (2) 和比较，好，划去和比较，好，划去8 8分点以上的，再重新编号；分点以上的，再重新编号；(3) (3) 和比较，好，划去和比较，好，划去3 3分点以下的，再重新编号；分点以下的，再重新编号；(4) (4) 和比较，好，划去和比较，好，划去2 2分点以下的，再重新编号；分点以下的，再重新编号；(5) (5) 和比较，好，试验结束，定下和比较，好，试验结束，定下434311，只需，只需8 810h10h。说明
32、：说明：F F7 72121，因而最多只需做，因而最多只需做7 71 16 6次试验。次试验。 4 4 分数法分数法 所有可能的试验总数大于某个所有可能的试验总数大于某个F Fn n-1-1而小于而小于F Fn+1n+1-1-1： 只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成F Fn+1n+11 1个个试验。试验。 对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并不增加实际试验次数。不增加实际试验次数。4 4 分数法分数法 例例
33、 假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离子假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离子型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为10mg/L10mg/L，而某阳离子聚合物的可能投加量分别为而某阳离子聚合物的可能投加量分别为0.100.10、0.150.15、0.200.20、0.250.25、0.30mg/L0.30mg/L，试利用分数法来安排试验，试利用分数法来安排试验，确定最佳阳离子型聚合物的投加量。确定最佳阳离子型聚合物的投加量。 4 4 分数法分数法 解：根据题意可知，可能的试验总次数为解：根据题意可知，可能的试验总次数为5 5次。由裴波次。由裴波那契
34、数列可知，那契数列可知， F F5 51 18 81 17 7 F F4 41 15 51 14 4 故故F F4 41 14 4 5 5 F F5 51 17 7 (1)(1)首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次数首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次数为为7 7次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。假次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。假设安排在两端，即一端一个虚设点，如下图所示。设安排在两端，即一端一个虚设点，如下图所示。4 4 分数法分数法4 4 分数法分数法 (2)(2)第个试验点选在第第个试验点选在第5 5个分点个分点0.25mg/L0.25mg/L；第个试；第
35、个试验点在第验点在第3 3个分点个分点0.15mg/L0.15mg/L。假设点好，划去。假设点好，划去3 3分点分点以下的，再重新编号；以下的，再重新编号； (3)(3)和比较，假设好，划去和比较，假设好，划去2 2分点以下的，再重分点以下的，再重新编号；新编号； (4)(4)此时第个试验点为虚设点，直接认定它的效果此时第个试验点为虚设点，直接认定它的效果比差，即好。试验结束，定下该阳离子型聚合物比差，即好。试验结束，定下该阳离子型聚合物的最佳投加量为的最佳投加量为0.30mg/L0.30mg/L。 分数法与分数法与0.6180.618法的区别只是用法的区别只是用F Fn-1n-1和和F Fn
36、-2n-2代替代替0.6180.618和和0.3820.382来确定试验点，以后的步骤相同。来确定试验点，以后的步骤相同。 一旦用一旦用F Fn-1n-1确定了第一个试验点，则以后根据公式确确定了第一个试验点，则以后根据公式确定其余的试验点，也会得出完全一样的试验序列来。定其余的试验点，也会得出完全一样的试验序列来。 4 4 分数法分数法 不管是不管是0.6180.618法，还是分数法，都只是比较两个试验法，还是分数法，都只是比较两个试验结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值目标函数值。抛物线法是根据已得的三个试验数据，找到这三点。抛物线法是根据已得
37、的三个试验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次试验的根据。次试验的根据。 5 5 抛物线法抛物线法 (1) (1) 在三个试验点：在三个试验点：x x1 1、x x2 2、x x3 3，且，且x x1 1x x2 2x x3 3，分别，分别得试验值得试验值y y1 1、y y2 2、y y3 3，根据拉格朗日插值法可以得到，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数。一个二次函数。 (2) (2) 设上述二次函数在设上述二次函数在x x4 4取得最大值，这时：取得最大值，这时： 323132123212311312132y)
38、xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y21x21313232122213212322322145 5 抛物线法抛物线法 (3) (3) 在在x xx x4 4处做试验，得试验结果处做试验，得试验结果y y4 4。如果假定。如果假定y y1 1，y y2 2，y y3 3，y y4 4中的最大值是由中的最大值是由x x4 4给出的，除给出的，除x x4 4之外，在之外，在x x1 1，x x2 2，x x3 3和和x x4 4中取较靠近中取较靠近x x4 4的左右两点，将这三
39、点记为的左右两点，将这三点记为x x1 1 ，x x2 2 ，x x3 3 ，此处，此处x x1 1 x x2 2 x x3 3 ，若在，若在x x1 1 ，x x2 2 ，x x3 3 处的函数值分别为处的函数值分别为y y1 1 ，y y2 2 ，y y3 3 ，则根据这三点又，则根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数的极大点数的极大点( (或它的充分邻近的一个点或它的充分邻近的一个点) )被找到为止。被找到为止。 5 5 抛物线法抛物线法47 某离心泵效率与流量之间关系曲线的试验中，已经测某离心泵效率与流量之间关系曲线的
40、试验中，已经测得三组数据如下表所示，求流量为多大时，效率最高得三组数据如下表所示，求流量为多大时，效率最高？ 看抛物线法做的过程：看抛物线法做的过程：流量流量Q(L/s)82032效率效率(%)5075705 5 抛物线法抛物线法三个试验点得到一条抛物线三个试验点得到一条抛物线49该抛物线有一极值点，可根据抛物线方程求出该极值点该抛物线有一极值点，可根据抛物线方程求出该极值点X X座标：座标：X X4 4，该流量处对应效率，该流量处对应效率可能可能是最大的。是最大的。50在在X X4 4对应流量处安排试验，测定其效率。假定测得效率对应流量处安排试验，测定其效率。假定测得效率值为值为78%78%
41、，即，即X X4 4流量对应效率最大，则流量对应效率最大，则下一步试验下一步试验？X X4 4对应流量最大，因而取较靠近对应流量最大，因而取较靠近X X4 4的左右两点，再做抛的左右两点，再做抛物线，即以三点物线，即以三点(20(20，75)(24,78)(32,70)75)(24,78)(32,70)做抛物线。做抛物线。求得一极值点。求得一极值点。 何时试验结束？何时试验结束？ 粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验）粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验）需要做需要做n n次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要数量级数量级lgnlgn次就可
42、以达到，抛物线法，效果更好些，次就可以达到，抛物线法，效果更好些，只要数量级只要数量级lglgnlglgn次。原因就在于黄金分割法没有较次。原因就在于黄金分割法没有较多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，就把它舍掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方就把它舍掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方面的分析。面的分析。5 5 抛物线法抛物线法 抛物线法常常用在抛物线法常常用在0.6180.618法或分数法取得一些数据的法或分数法取得一些数据的情况，这时能收到更好的效果。情况，这时能收到更好的效果。 此外，建议做完了此外，建议做完了0.6180.
43、618法或分数法的试验后，用最法或分数法的试验后，用最后三个数据按抛物线法求出后三个数据按抛物线法求出x x4 4，并计算这个抛物线在，并计算这个抛物线在点点x xx x4 4处的数值，预先估计一下在点处的数值，预先估计一下在点x x4 4处的试验结果处的试验结果，然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此，然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此作为是否在点作为是否在点x x4 4处再做一次试验的依据。处再做一次试验的依据。5 5 抛物线法抛物线法 在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用一批同时做几个试验的方法，即一批同时做几个试验
44、的方法，即分批试验法分批试验法。 若可同时做多个试验，则一次做一个好，还是一次同若可同时做多个试验，则一次做一个好，还是一次同时做几个好？一个试验后试验范围缩小多少？时间时做几个好？一个试验后试验范围缩小多少？时间？成本？成本？ 以下介绍的几种方法同样适用于单峰函数以下介绍的几种方法同样适用于单峰函数6 6 分批实验法分批实验法（1 1）预给要求法）预给要求法 预给要求法是分批试验的一种方法。如能预先确定总预给要求法是分批试验的一种方法。如能预先确定总的可能的试验个数的可能的试验个数( (换句话说，知道了试验范围和要换句话说，知道了试验范围和要求的精密度求的精密度) )，或事先限定试验的批数和
45、每批的个数，或事先限定试验的批数和每批的个数，就可以采用这种方法。，就可以采用这种方法。 （1 1）预给要求法）预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 若只做一批试验，每批两个试验，把试验范围平分若只做一批试验，每批两个试验，把试验范围平分3 3等份，在每个分点上做试验，如下所示：等份，在每个分点上做试验，如下所示： 若做两批试验，每批两个试验，把试验范围分为若做两批试验，每批两个试验，把试验范围分为7 7等等份，在第份，在第3 3、4 4两点做第一批试验。如第两点做第一批试验。如第4 4点好，再做点好，再做5 5、6 6两点；如第两点；如第3 3点好，则做点好，则做1 1、2 2两点。两
46、点。 若做三批试验，每批两个试验，把试验范围分为若做三批试验，每批两个试验，把试验范围分为1515等等份，在第份，在第7 7、8 8两点做第一批试验。如第两点做第一批试验。如第7 7点好，则把点好，则把第第8 8点以上的范围划去；如第点以上的范围划去；如第8 8点好，则把点好，则把7 7点以下的点以下的划去，在余下的部分做第二批试验，如下所示：划去，在余下的部分做第二批试验，如下所示： 依此可以推出做更多批数试验的情形来。依此可以推出做更多批数试验的情形来。 （1 1）预给要求法）预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 每批做每批做4 4个、个、6 6个或更多个试验的情形原理相同。容易推个
47、或更多个试验的情形原理相同。容易推出，若每批做出，若每批做2k2k个试验，共作个试验，共作 n n 批，则应将试验范围批，则应将试验范围等分等分 份。份。 第一批试验点是：第一批试验点是： , , , , , , ， , , 。 试验结果的精确度是试验结果的精确度是 ，L Lb ba a，是试验的长度。，是试验的长度。 1) 1k(2Lnk2nk2nL/Lk21nL1Lk21n1L2k21n) 1k(kLk21nkkLk21n2L2k21n（1 1）预给要求法）预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 画出画出k=2k=2时，即每批做时，即每批做4 4个试验时的做法：个试验时的做法： 做做1
48、 1批，即批，即n=1n=1。则将试验范围划分的份数为：。则将试验范围划分的份数为： 做做2 2批，则划分份数为：批，则划分份数为：1) 1k(2Lnk2n51) 12(2L1221171) 12(2L2222（1 1）预给要求法）预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 例例 弹片老化处理。弹片老化处理。某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，他们对温度进行优选，试验范围，他们对温度进行优选，试验范围220
49、220 320320，每批做两个试验，每批做两个试验，只做了三批共，只做了三批共6 6个试验，终于找到最适宜的温度个试验，终于找到最适宜的温度280280，解决，解决了生产难点。了生产难点。 ：8 8点好。点好。 ：1111点好。点好。 ：1010点好，选择点好，选择1010点处的温度。点处的温度。(9-11(9-11点范围点范围) )（1 1）预给要求法）预给要求法 例例 弹片老化处理。弹片老化处理。某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，由于老化处理问题未解决，
50、有时停工待料。为了解决这一问题，他们对温度进行优选，试验范围，他们对温度进行优选，试验范围220220 320320，每批做两个试验，每批做两个试验，只做了三批共，只做了三批共6 6个试验，终于找到最适宜的温度个试验，终于找到最适宜的温度280280，解决，解决了生产难点。了生产难点。 此题与分数法比较：做此题与分数法比较：做6 6次试验，则在分数法中次试验，则在分数法中6=7-16=7-1，而，而F F7 7=21=21，所以可分，所以可分2121等份，最终试验精度分数法要等份，最终试验精度分数法要高些。高些。（1 1）预给要求法）预给要求法 每批做每批做3 3个试验时，做个试验时，做n n
