1、第七章第七章 滤波器设计方法滤波器设计方法Filter Design Techniques7.0 引言引言滤波器：滤波器：一种特别重要的线性时不变系统一种特别重要的线性时不变系统 线性时不变系统线性时不变系统选频滤波器：选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统系统滤波器的广义定义：滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的能对某些频率进行修正的系统系统两点说明：两点说明：（1）重点讨论）重点讨论选频滤波器选频滤波器设计设计 - 设计方法具有广泛应用价值设计方法具有广泛应用价值（2）滤波器是因果的）滤波器是因果的 （作一些修正可以得到非因果滤
2、波器）（作一些修正可以得到非因果滤波器）滤波器内容包括：滤波器内容包括：（1）滤波器设计）滤波器设计（2）滤波器实现（结构、算法）滤波器实现（结构、算法）- 第六章第六章滤波器设计的步骤：滤波器设计的步骤：（1）给出系统所要求特性的技术指标）给出系统所要求特性的技术指标（频域）（频域）（2）用因果离散时间系统逼近这些技术指标）用因果离散时间系统逼近这些技术指标滤波器滤波器 - 离散时间系统离散时间系统 数字滤波器数字滤波器 （digital filters）对对连续时间信号连续时间信号进行进行离散时间滤波离散时间滤波的基本系统：的基本系统：技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：技术指标（有效连
3、续和离散时间滤波器）：频域的技术指标频域的技术指标如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件：如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件：输入带限；采样频率避免混叠输入带限；采样频率避免混叠即：即：有效连续滤波器指标有效连续滤波器指标 （转换为）（转换为） 离散滤波器指标离散滤波器指标 - =T离散滤波器的特性：离散滤波器的特性：jeff(e), /,(j )0, /.THTHT jeff(e )j,.HHT例例7.1 离散时间滤波器指标的确定离散时间滤波器指标的确定低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波采样频率为采样频率为10000样本样本/秒，
4、即秒，即10000 Hz （10 kHz），（），（T= 10-4s）图示系统的特性：图示系统的特性：（1）在频带在频带02(2000)内内,增益增益|Heff(j)|应当在应当在单位幅度单位幅度0.01之内之内（2）在频带在频带 2(3000)内内,增益增益|Heff(j)|应当不大于应当不大于0.001|Heff(j)|的指标如图所示：的指标如图所示：图中的具体参数为：图中的具体参数为：理想的通带增益为理想的通带增益为1通带增益：通带增益：1+1 1-1 阻带增益：阻带增益：0 2以分贝表示：以分贝表示：相应的相应的离散时间滤波器离散时间滤波器指标（图）：指标（图）：与上图基本相同，以归一
5、化频率：与上图基本相同，以归一化频率：=T， 0 其余频段：周期性导出其余频段：周期性导出相应的通带幅度：相应的通带幅度：其中其中1 = 0.01p= 2(2000)10-4 = 0.4 - 通带截止频率通带截止频率阻带幅度：阻带幅度：2 = 0.001s= 2(3000)10-4 = 0.6 - 阻带截止频率阻带截止频率实际可实现性实际可实现性 - 对理想滤波器的逼近对理想滤波器的逼近 - 过渡带（过渡带（ s - p ）从通带从通带光滑光滑过渡到阻带。虚线表示实际滤波器的幅度响应过渡到阻带。虚线表示实际滤波器的幅度响应实际数字滤波器设计，考虑到：实际数字滤波器设计，考虑到：（1）实际应用中
6、的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出；）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出；（2）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率）滤波器设计滤波器设计 - 离散频率变量离散频率变量表示的技术指标（表示的技术指标（域指标）域指标）主要的技术指标：主要的技术指标：幅度响应（幅度响应（域）域）相位响应相位响应 - 不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性要求；要求；FIR滤波器的线性相位要求）滤波器的线性相位要求）具体的滤波器设计：具体的滤波器设计：确定符合频率指标要求的确定符合频率指
7、标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应）系统函数（频率响应、脉冲响应）即：即：H(z)，H(ej)，hn - 函数逼近问题函数逼近问题对于对于IIR滤波器滤波器 - 利用利用z的有理函数逼近的有理函数逼近对于对于FIR滤波器滤波器 - 多项式逼近多项式逼近7.1 由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器 IIR滤波器的传统设计方法：滤波器的传统设计方法：连续时间滤波器连续时间滤波器 (变换变换) 满足预定指标的离散时间滤波器满足预定指标的离散时间滤波器理由理由：连续：连续IIR滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快
8、捷 滤波器设计技术指标：滤波器设计技术指标：离散（滤波器）频率域指标离散（滤波器）频率域指标 设计过程：原型连续时间滤波器设计过程：原型连续时间滤波器(变换变换) 离散时间滤波器离散时间滤波器即：即：Hc(s) (变换变换) H(z) s域域z域的变换或映射域的变换或映射检验：检验：Hc(j) H(ej)首先需要：首先需要：离散（滤波器）频率域指标离散（滤波器）频率域指标 （转换）原型连续（滤波器）频率域指标（转换）原型连续（滤波器）频率域指标设计（变换）的两个基本要求设计（变换）的两个基本要求：（1）频率响应的一致性频率响应的一致性，即，即s平面虚轴（代表连续频率变量）必须平面虚轴（代表连续
9、频率变量）必须映射到映射到z平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对应；应；（2）因果稳定性因果稳定性，即因果，即因果稳定的稳定的Hc(s)因果稳定的因果稳定的H(z)，亦即亦即s左半平面映射到左半平面映射到z平面单位圆内平面单位圆内连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录B）u巴特沃兹滤波器（巴特沃兹滤波器（Butterworth filter）u切比雪夫滤波器（切比雪夫滤波器（Chebyshev filter）u椭圆滤波器（椭圆滤波器（elliptic filter）由模拟滤波器设计由模拟滤
10、波器设计IIR数字滤波器的主要方法：数字滤波器的主要方法：u脉冲响应不变法（脉冲响应不变法（impulse invariance）u阶跃响应不变法阶跃响应不变法（step invariance）u双线性变换法（双线性变换法（bilinear transformation）7.1.1 滤波器设计的脉冲响应不变法滤波器设计的脉冲响应不变法连续滤波器连续滤波器 （变换）（变换） 离散滤波器离散滤波器hc(t), Hc(s) hn, H(z)脉冲响应不变法：脉冲响应不变法：通过通过hc(t) hn （离散，即保持不变）（离散，即保持不变）实现实现 Hc(s) （连续系统）（连续系统） H(z) （离散
11、系统）的变换（离散系统）的变换即：即： hn = Tdhc(nTd) Td -采样间隔采样间隔H(z)hn的的z变换，设计完成？变换，设计完成？给定的滤波器设计指标给定的滤波器设计指标 - 滤波器的频率响应滤波器的频率响应设法方法必须考虑：设法方法必须考虑： Hc(j) H(ej) 之间的联系之间的联系根据以前的采样讨论，时域离散根据以前的采样讨论，时域离散 频域关系，可以得到：频域关系，可以得到：jc2(e )jj.kddHHkTT如果连续时间滤波器是带限的，则有如果连续时间滤波器是带限的，则有两者之间关系：两者之间关系：频率轴的线性关系频率轴的线性关系，即，即|时，时， = Td实际情况：
12、任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（即使低通即使低通） 因此，混叠存在。如图，因此，混叠存在。如图，jc(j )=0,/(e )j,;cddHTHHT 方法的实用性（逼近）：方法的实用性（逼近）：如果如果Hc(j) 高频部分趋近于零，则混叠很高频部分趋近于零，则混叠很小，可以忽略小，可以忽略 - - 逼近逼近 。 由由H(ej) 指标指标 Hc(j) 指标：指标： = /Td 确定出确定出Hc(j) Hc(s)，再由脉冲响应不变法，由再由脉冲响应不变法，由Hc(s) 得到得到H(z) 。具体的方法（直接，不通过具体的方法（直接，不通过hc(t)
13、 hh的过程）：的过程）：设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：对应的脉冲响应：对应的脉冲响应：根据脉冲响应不变（采样），有根据脉冲响应不变（采样），有11 ()e e .kdk dNNns nTs Tdcddkdkkkh nT h nTT Au nT Au n11( )-e ,0,( )0,0kNkckkNs tkkcAHss sAth tt作作z反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：比较连续时间滤波器的系统函数：比较连续时间滤波器的系统函数：可见，可见，(1) s平面中的
14、极点平面中的极点s = sk变换成变换成z平面中的极点平面中的极点(2) 除了比例系数除了比例系数Td外，完全相同外，完全相同表示：可以通过极点的对应关系表示：可以通过极点的对应关系 直接由直接由Hc(s) 得到得到H(z) 几点说明：几点说明：（1）Hc(s)因果稳定（极点在左边平面）因果稳定（极点在左边平面） H(z) 因果稳定（极点在因果稳定（极点在单位圆内），因为单位圆内），因为 Resk0，；，；|zk | 1dkTsedkTskze111( )1-( )-k dNdks TkNkckkT AH zezAHss s（2）s平面与平面与z平面只有极点有对应关系，平面只有极点有对应关系，
15、 s平面与平面与z平面之间没有平面之间没有这种对应关系（这种对应关系（唯一唯一），（如系统的零点就没有这种对应关系），（如系统的零点就没有这种对应关系）表示脉冲响应不变法，表示脉冲响应不变法， 其其s平面到平面到z平面的映射关系（变换）并非是平面的映射关系（变换）并非是 的简单映射关系（的简单映射关系（单映射单映射）。）。不能直接代入不能直接代入Hc(s)得到得到H(z)例例7.2 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计Butterworth滤波器滤波器设计一低通离散时间滤波器，步骤：设计一低通离散时间滤波器，步骤：（1）由低通离散时间滤波器指标求出低通连续时间滤波器指标）由低通离散时间滤波
16、器指标求出低通连续时间滤波器指标（2）确定相应的连续时间）确定相应的连续时间Butterworth滤波器滤波器（3）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器第一步第一步，离散时间滤波器的技术指标：，离散时间滤波器的技术指标：说明：说明： 过程（过程（1）和过程（）和过程（3），），系数系数Td抵消，可选抵消，可选Td = 1， = dsTzejj0.89125(e )1,00.2(e )0.17783,0.3.HH可得连续时间可得连续时间Butterworth滤波器滤波器的技术指标为：的技术指标为：由于由于Butterworth滤波器频率响
17、应的幅度响应是单调的，则应滤波器频率响应的幅度响应是单调的，则应和和第二步第二步，Butterworth滤波器的幅度平方函数为：滤波器的幅度平方函数为：需确定出满足所需技术指标的参数需确定出满足所需技术指标的参数N和和c将上式带入指标式，并取等号，有：将上式带入指标式，并取等号，有：0.89125(j )1,00.2(j )0.17783,0.3.ccHH (j0.2)0.89125(j0.3)0.17783ccHH221(j)1/cNcH 两个方程的解为：两个方程的解为：N = 5.8858和和c = 0.70474 取取N为整数为整数6，代入方程得，代入方程得c = 0.7032 （参数选
18、取的原则：超过指（参数选取的原则：超过指标）标）幅度平方函数幅度平方函数 的的12个极点均匀分布在半个极点均匀分布在半径径c = 0.7032 的圆周上的圆周上取左半平面的三对极点：取左半平面的三对极点：21( )()1()jccNcHs Hss说明说明s = j22220.2110.891250.3110.17783NcNc作为作为Hc(s)，即，即第三步，第三步，将上式作部分分式展开，进行将上式作部分分式展开，进行极点映射极点映射，得到，得到H (z),根据上式，可以直接用并联形式实现。根据上式，可以直接用并联形式实现。设计得到的离散时间系统（滤波器）的频率响应如图：设计得到的离散时间系统
19、（滤波器）的频率响应如图：通带边缘满足指标通带边缘满足指标阻带边缘超过指标阻带边缘超过指标混叠基本没有影响混叠基本没有影响有混叠情况：调整参数；高阶有混叠情况：调整参数；高阶脉冲响应不变法的讨论（连续滤波器变换为离散滤波器）：脉冲响应不变法的讨论（连续滤波器变换为离散滤波器）：（1）时域逼近较好，脉冲响应波形是连续与离散的关系；）时域逼近较好，脉冲响应波形是连续与离散的关系；（2）频率成线性关系频率成线性关系，频率响应，频率响应形状形状基本保持不变基本保持不变（3）保持保持相位的线性特性，相位的线性特性，（4）频域有混叠频域有混叠，只适用，只适用带限带限滤波器设计（如低通，带通）滤波器设计（如
20、低通，带通）（5）频域的混叠不能通过减少采样周期）频域的混叠不能通过减少采样周期Td消除消除若离散低通滤波器的截止频率给定若离散低通滤波器的截止频率给定c连续低通滤波器的截止频率为连续低通滤波器的截止频率为c = c/Td频率频率的的频带范围为：频带范围为： -/ /Td, , / /Td Td减小，减小， 的的频带范围频带范围增加增加保持保持c不变，不变， Td减小时，减小时， c也应增加也应增加c增加表示原有的混叠仍然存在增加表示原有的混叠仍然存在（6）映射关系，）映射关系， 只是针对极点，只是针对极点，s与与z平面之间的映射关系平面之间的映射关系是一个多重映射关系，即：是一个多重映射关系
21、，即：dsTzel s平面虚轴平面虚轴j上长度为上长度为2/Td的每一段映射到的每一段映射到z平面单位圆一周，平面单位圆一周，如如-/Td, /Td 映射到单位圆一周（映射到单位圆一周（- ）l s平面每一条宽度为平面每一条宽度为2/Td的横条的横条 映射到整个映射到整个z平面平面l s平面宽度为平面宽度为-/Td, /Td的左半横条的左半横条 映射到映射到z平面单位圆内平面单位圆内l 多重映射多重映射 - 混叠（系统函数，频率响应）混叠（系统函数，频率响应）7.1.2 双线性变换法双线性变换法解决混叠解决混叠 - 改变映射关系，即改变映射关系，即- （单）映射到（单）映射到 - s左边平面左
22、边平面 z平面单位圆内平面单位圆内 （单映射）（单映射）整个整个s平面平面 整个整个z平面（单映射）平面（单映射）频率的映射关系频率的映射关系 非线性（频率变换）非线性（频率变换）双线性变换法定义双线性变换法定义设设s与与z的映射关系为：的映射关系为：离散系统与连续系统之间的变换关系为：离散系统与连续系统之间的变换关系为：表示可以直接将表示可以直接将s与与z的映射关系代入连续滤波器系统函数。的映射关系代入连续滤波器系统函数。讨论讨论s平面平面z平面的映射关系平面的映射关系s与与z的映射关系也可写为：的映射关系也可写为：将将s =+j代入上式，得代入上式，得双线性双线性1121;1dzsTz11
23、21( ).1cdzH zHTz1(/ 2),1(/ 2)ddTszTs1/ 2j/ 2,1/ 2j/ 2ddddTTzTT 0 |z|1 ，对于所有，对于所有 - s左边平面左边平面 映射到映射到 z平面单位圆内平面单位圆内0 |z| 1 ，对于所有，对于所有 - s右边平面右边平面 映射到映射到 z平面单位圆外平面单位圆外分析分析频率映射频率映射关系，将关系，将s =j代入，可得代入，可得对于所有的对于所有的值，值，|z| = 1 - j 轴（轴（s平面虚轴）映射到平面虚轴）映射到 z平面单位圆平面单位圆即有即有z = rej，r = 11/ 2j/ 2,1/ 2j/ 2ddddTTzTT
24、 1j/ 2,1j/ 2ddTzT j1j/ 2e,1j/ 2ddTT 与与的关系的关系，将，将z = ej代入代入s与与z的双线性关系式，得的双线性关系式，得等式两边实部与虚部相等，有等式两边实部与虚部相等，有 和和或或归纳：归纳：（1）s平面与平面与z平面关系平面关系频率的非线性关系频率的非线性关系j /2j /222e( sin/ 2)2jjtan(/ 2),2e(cos/ 2)ddjsTT 02tan(/ 2)2arctan(/ 2)ddTT （2）连续滤波器频率与离散滤波器频率关系）连续滤波器频率与离散滤波器频率关系非线性关系非线性关系 - 连续频率轴被压缩连续频率轴被压缩 - 避免
25、了混叠避免了混叠避免混叠是以频率非线性为代价避免混叠是以频率非线性为代价频率非线性频率非线性 频率响应的变形频率响应的变形应用范围：频率响应形状要求不高的情况，（如分段恒定幅度）应用范围：频率响应形状要求不高的情况，（如分段恒定幅度） 设计中特殊频率点（如截止频率）须预畸变设计中特殊频率点（如截止频率）须预畸变双线性变换法在连续滤波器到离散滤波器变换中频率响应的畸变双线性变换法在连续滤波器到离散滤波器变换中频率响应的畸变频率非线性造成的相位响应畸变频率非线性造成的相位响应畸变线性相位因子线性相位因子e-s的双线性变换结果的双线性变换结果离散相位函数为离散相位函数为-(2/Td)tan(/2)双
26、线性变换方法讨论双线性变换方法讨论（1）s平面与平面与z平面单映射关系平面单映射关系（2）s左半平面映射到左半平面映射到z平面单位圆内平面单位圆内（3）s右半平面映射到右半平面映射到z平面单位圆外平面单位圆外（4）连续因果稳定系统）连续因果稳定系统 离散因果稳定系统离散因果稳定系统（5）s平面整个虚轴单值映射到平面整个虚轴单值映射到z平面单位圆一周平面单位圆一周（6）连续频率）连续频率与离散频率与离散频率之间成非线性关系之间成非线性关系（7）避免了频率响应的混叠现象）避免了频率响应的混叠现象（图示说明）（图示说明）（8）频率响应形状畸变，线性相位特性破坏）频率响应形状畸变，线性相位特性破坏（9
27、）适合分段恒定幅度响应的滤波器（低通、高通、带通、带阻）适合分段恒定幅度响应的滤波器（低通、高通、带通、带阻）（10）设计中需要预畸（截止频率点等）设计中需要预畸（截止频率点等）7.1.3 双线性变换法设计举例双线性变换法设计举例例例7.3 用双线性变换法设计用双线性变换法设计Butterworth滤波器滤波器同例同例7.2脉冲响应不变法设计低通离散滤波器，技术指标：脉冲响应不变法设计低通离散滤波器，技术指标：求得连续滤波器指标时，须对上述两个截止频率进行求得连续滤波器指标时，须对上述两个截止频率进行预畸变预畸变处理：处理：即即=0.2 =(2/Td)tan(0.2/2)=0.3 =(2/Td
28、)tan(0.3/2)连续滤波器的技术指标：连续滤波器的技术指标：2tan(/ 2)dT jj0.89125(e )1,00.2(e )0.17783,0.3.HH0.20.89125(j)1,0tan220.3(j)0.17783,tan.2ccdHHT 与例与例7.2相同，取相同，取Td = 1，并根据，并根据Butterworth滤波器的幅度响应滤波器的幅度响应Butterworth滤波器的平方幅度函数：滤波器的平方幅度函数：由前两式中取等号，得由前两式中取等号，得(j2tan(0.1)0.89125(j2tan(0.15)0.17783ccHH221(j)1/cNcH 22222tan
29、(0.1)110.892tan(0.15)110.178NcNc解出解出N取整数，取整数， N = 6，代入阻带方程可得，代入阻带方程可得c = 0.766 （超过通带指标）（超过通带指标）幅度平方函数的极点分布：幅度平方函数的极点分布：12个极点，半径个极点，半径0.766，均匀分布，均匀分布2211log1 /10.1780.895.3052log tan(0.15) / tan(0.1)N 同样，取左半平面中的三对极点，得连续同样，取左半平面中的三对极点，得连续Butterworth低通滤波器低通滤波器的系统函数：的系统函数：同双线性变换公式代入，得离散连续同双线性变换公式代入，得离散连
30、续Butterworth低通滤波器的系低通滤波器的系统函数：统函数：六阶六阶Butterworth低通滤波器频率响应：低通滤波器频率响应：=0.2 -0.56dB (0.937)=0.3 -15dB (0.1778)阻带比连续滤波器下降快阻带比连续滤波器下降快 = = 频率轴被压缩频率轴被压缩连续连续Butterworth滤波器幅度平方函数：滤波器幅度平方函数：可用双线性变换的频率关系式：可用双线性变换的频率关系式：直接代入得到离散直接代入得到离散Butterworth滤波器幅度平方函数：滤波器幅度平方函数：式中式中实际设计并不首先用，因为上式无法获得在实际设计并不首先用，因为上式无法获得在z
31、平面的极点，从而得平面的极点，从而得到单位圆内的极点到单位圆内的极点 滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z)221(j)1/cNcH 2tan(/ 2)dT 2j21(e )tan(/ 2)1tan(/ 2)NcHtan(/ 2)/ 2ccdT 双线性变换法的双线性变换法的Butterworth，Chebyshev, elliptic滤波器逼近例子滤波器逼近例子所设计低通离散滤波器的技术指标：所设计低通离散滤波器的技术指标：即即1=0.01， 2=0.001， p=0.4， s=0.6例例7.4 Butterworth逼近逼近省去具体计算过程，可得省去具体计算过程，可得N=14，频率响应如图
32、：，频率响应如图：对数幅度图对数幅度图jj0.99(e )1.01,0.4(e )0.001,0.6.HH通带的幅度图：通带的幅度图：群延迟图：群延迟图：例例7.5 Chebyshev逼近逼近Chebyshev的类型：的类型：I型：频率响应型：频率响应 - 通带呈纹波特性，阻带单调通带呈纹波特性，阻带单调II型：频率响应型：频率响应 - 阻带呈纹波特性，通带单调阻带呈纹波特性，通带单调两种类型逼近阶数两种类型逼近阶数N均为八阶（比均为八阶（比Butterworth要低）要低）I型逼近的频率响应图：型逼近的频率响应图：通带中幅度细节图：通带中幅度细节图：群延迟图：群延迟图：II型逼近的频率响应图
33、型逼近的频率响应图通带中的细节图：通带中的细节图：群延迟图：群延迟图：若通带和阻带均容许纹波若通带和阻带均容许纹波滤波器的阶数可以减少滤波器的阶数可以减少两种类型逼近的零极点分布两种类型逼近的零极点分布（I型零点对应于连续滤波器型零点对应于连续滤波器s = ）I型型II型型例例7.6 elliptic逼近逼近满足指标的有理函数最低阶逼近，满足指标的有理函数最低阶逼近，N=6通带中的细节图：通带中的细节图：群延迟图：群延迟图：零极点分布：零极点分布：讨论：讨论：（1）各种滤波器逼近的双线性变换法是）各种滤波器逼近的双线性变换法是IIR滤波器设计标准方法滤波器设计标准方法（2）H(z)的极点在单位
34、圆内（稳定性），零点在单位圆上的极点在单位圆内（稳定性），零点在单位圆上（3）非线性频率响应特性，非线性群延迟）非线性频率响应特性，非线性群延迟（4）通带边缘处或过渡带出现最大群延迟（其它频带中群延迟变）通带边缘处或过渡带出现最大群延迟（其它频带中群延迟变化较小）化较小）（5）II型型Chebyshev具有最小的群延迟以及相应群延迟近似为常数具有最小的群延迟以及相应群延迟近似为常数的最宽通带区域的最宽通带区域（6）elliptic逼近具有最低阶次的系统函数，因此计算量也最少。逼近具有最低阶次的系统函数，因此计算量也最少。7.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器IIR滤波器设计滤波
35、器设计 - 连续滤波器变换连续滤波器变换 （1）连续滤波器设计方法成熟）连续滤波器设计方法成熟（2）IIR滤波器直接设计困难（在离散域）滤波器直接设计困难（在离散域）FIR滤波器设计滤波器设计 - 可以直接在离散域进行（频率域逼近）可以直接在离散域进行（频率域逼近）线性相位条件线性相位条件 避免了直接设计的复杂性避免了直接设计的复杂性最简单的方法：最简单的方法：窗函数法（窗函数法（window method）基本思想：对理想滤波器的脉冲响应基本思想：对理想滤波器的脉冲响应hdn（无限长，非因果序列）（无限长，非因果序列） 截断，得到具有对称性的有限长因果序列截断，得到具有对称性的有限长因果序列
36、hn FIR滤波器（线性相位、因果）滤波器（线性相位、因果）- 逼近逼近问题：时域截断问题：时域截断 频域逼近（关系、影响）频域逼近（关系、影响） ？即，即， hdn hn Hd(ej) H(ej) 理想滤波器的频率响应：理想滤波器的频率响应：脉冲响应：脉冲响应：- 非因果、无限长序列非因果、无限长序列 频率响应的不连续性频率响应的不连续性实际因果实际因果FIR滤波器的脉冲响应（因果、有限长）：滤波器的脉冲响应（因果、有限长）：相当于：相当于：其中窗函数：其中窗函数：矩形窗矩形窗j-jjj(e ) e1 (e )ed2nddnnddHh nh nH ,0, 0,dh nnMh n其它 n,1,
37、0, =0,dh nh n wnMw n其它时域处理简单，讨论频域关系：时域处理简单，讨论频域关系：由傅立叶变换性质：时域相乘由傅立叶变换性质：时域相乘 频域卷积频域卷积得：得：如图所示如图所示（周期性）（周期性）若若wn=1, 对于所有对于所有n, 即没有截断即没有截断则则 W(ej) 是周期为是周期为2的的函数（周期脉冲串）函数（周期脉冲串）并有并有 H(ej) = Hd(ej) 可见，可见，W(ej)（频域）能量集中（波形窄）（频域）能量集中（波形窄）- 逼近性越好逼近性越好但，但， W(ej) 越窄越窄 wn（时域）越长（时域）越长 - 矛盾性矛盾性jjj( - )1(e )(e )(
38、e)d2dHHW 可求出矩形窗的频率响应：可求出矩形窗的频率响应：线性相位特性（满足对称性），当线性相位特性（满足对称性），当M = 7时的幅度：时的幅度：主瓣宽度主瓣宽度4/(M+1)第一旁瓣第一旁瓣-j(1)j-j-j/2-j01esin (1) / 2(e )ee1esin(/ 2)MMnMnMWM增大增大 主、旁瓣主、旁瓣宽度宽度减小减小主、旁瓣主、旁瓣幅度幅度增大，主、旁瓣增大，主、旁瓣相对幅度相对幅度不变不变M增大增大 主、旁瓣的面积为常量主、旁瓣的面积为常量 对理想滤波器加窗后的逼近（频率响应）（卷积结果）：对理想滤波器加窗后的逼近（频率响应）（卷积结果）：频率响应产生的波动现象
39、频率响应产生的波动现象- 吉布斯现象（吉布斯现象（Gibbs phenomenon）理论上理论上 - 傅立叶级数的非一致收敛性（作为傅立叶级数系数傅立叶级数的非一致收敛性（作为傅立叶级数系数hd(t)的截断）的截断）实际上实际上 - 窗函数的锐截止性（尤其是矩形窗）窗函数的锐截止性（尤其是矩形窗）窗函数对滤波器幅频特性的影响：窗函数对滤波器幅频特性的影响：（1）主瓣越宽）主瓣越宽 过渡带越宽过渡带越宽 - M大大 过渡带窄过渡带窄（2）旁瓣相对主瓣（幅度）越大）旁瓣相对主瓣（幅度）越大 通带和阻带的通带和阻带的波动也越大波动也越大（3）波动大小与）波动大小与M无关，取决于窗函数无关，取决于窗函
40、数减小波动减小波动 减小旁瓣幅度减小旁瓣幅度 窗函数平滑窗函数平滑 增加主瓣宽度增加主瓣宽度增加过渡带宽度增加过渡带宽度FIR滤波器设计：滤波器设计：波动与过渡带的折中选择波动与过渡带的折中选择7.2.1 常用窗函数的性质常用窗函数的性质矩形窗：矩形窗：Barlett窗（三角窗）窗（三角窗）汉宁窗（汉宁窗（Hanning）：）：海明窗（海明窗（Hamming）：）：Blackman窗：窗函数主要用途：（窗函数主要用途：（1）FIR滤波器设计滤波器设计 （2）谱分析（用于对待分析时域信号的截断）谱分析（用于对待分析时域信号的截断）各窗函数的对数幅度图（各窗函数的对数幅度图（m=50）矩形窗矩形窗
41、主瓣最窄主瓣最窄 - 过渡带窄过渡带窄旁瓣幅度大旁瓣幅度大 - 波动大波动大-13dB三角窗三角窗主瓣宽度增加主瓣宽度增加2倍倍旁瓣幅度减小（旁瓣幅度减小（-25dB）汉宁窗汉宁窗主瓣宽度增加主瓣宽度增加2倍倍旁瓣幅度明显减小（旁瓣幅度明显减小（-31dB）海明窗海明窗主瓣宽度增加主瓣宽度增加2倍倍旁瓣幅度明显减小旁瓣幅度明显减小（-41dB）Blackman窗窗主瓣宽度增加主瓣宽度增加3倍倍旁瓣幅度明显减小旁瓣幅度明显减小（-57dB）阻带最小衰减阻带最小衰减7.2.2 广义线性相位的合并广义线性相位的合并线性相位的条件：时域对称性线性相位的条件：时域对称性窗函数窗函数wn，脉冲响应脉冲响应
42、hn - 对称性对称性上述的窗函数均满足：上述的窗函数均满足：关于关于M/ /2点对称性点对称性频率响应频率响应 - - 线性相位特性：线性相位特性：We(ej) - 的实偶函数。的实偶函数。上述窗函数的性质上述窗函数的性质 滤波器因果性滤波器因果性 滤波器的线性相位性？滤波器的线性相位性？hn=hM-n ?很显然，若理想滤波器是关于很显然，若理想滤波器是关于M/2点对称，点对称， hdn=hdM-n 则加窗后的则加窗后的hn满足：满足：hn=hM-n jj/2(e )(e)ejMeWW,0, 0,w MnnMw n其它其频率响应为：其频率响应为：或或其中其中Ae(ej) - 的实偶函数的实偶
43、函数 Ao(ej) - 的实奇函数的实奇函数证明：假设证明：假设hdn=hdM-n ，有，有He(ej) - 的实偶函数的实偶函数若窗函数对称，则有：若窗函数对称，则有：滤波器是广义线性相位的，其幅度是滤波器是广义线性相位的，其幅度是He(ej) 与与We(ej) 的卷积的卷积:hdn偶对称偶对称hdn奇对称奇对称jjj/2j()j()/2j/21(e )(e )e(e)ed(e)e2MMjMeeeHHWA jjj()1(e )(e )(e)d2eeeAHW jj/2(e )(e)ejMdeHHjj/2(e )(e)ejMeHAjj/2(e )j(e)ejMoHA例例 7.7 线性相位低通滤波
44、器线性相位低通滤波器所要求低通滤波器的频率响应：所要求低通滤波器的频率响应：（线性相位）（线性相位）相应的理想脉冲响应（对应于相应的理想脉冲响应（对应于-n ）:容易证明：容易证明：hlpM-n=hlpn对对hlpn应用对称窗函数（关于应用对称窗函数（关于M/2对称），就可得：对称），就可得：因果、有限长、线性相位（因果、有限长、线性相位（关于关于M/2对称对称）的低通滤波器。）的低通滤波器。j/2jlpe,(e)0,MccHccj/2jclp1sin(/ 2) eed2(/ 2)MnnMhnnMcsin(/ 2) (/ 2)nMh nw nnM理想滤波器频率响应与所设计滤波器频率响应（应用各
45、种窗函数）：理想滤波器频率响应与所设计滤波器频率响应（应用各种窗函数）：He(ej) - 理想滤波器理想滤波器Ae(ej) - 设计滤波器设计滤波器We(ej) - 窗函数窗函数Ae(ej) = He(ej) * We(ej)卷积过程卷积过程 波动波动最大正峰、负峰产生最大正峰、负峰产生最大正峰、负峰之间距离最大正峰、负峰之间距离= =m = 主瓣宽带主瓣宽带= = 过渡带过渡带 (定义定义)峰对称性（通带、阻带峰对称性（通带、阻带）滤波器特性的调整：滤波器特性的调整：（1）窗函数的长度）窗函数的长度 - 主要影响过渡带主要影响过渡带（2）窗函数的形状）窗函数的形状 - 主要影响逼近精度（波动
46、）主要影响逼近精度（波动）反复调整的不便性，探讨窗函数参数反复调整的不便性，探讨窗函数参数 滤波器性能指标滤波器性能指标 （直接直接）7.2.3 Kaiser窗滤波器设计法窗滤波器设计法窗函数窗函数 - 在频域，能量最大限度集中在在频域，能量最大限度集中在 = 0附近附近 主瓣宽度主瓣宽度 旁瓣面积旁瓣面积 - 选择（调整）选择（调整）Kaiser窗定义：窗定义：式中：式中： = M/2I0() - 第一类零阶修正第一类零阶修正Bessel函数函数2 1/200 (1-( -) / ),0( ) 0,InnMIw n其它两个参数两个参数： -（M+1） - 长度参数长度参数 - 形状参数形状参
47、数主瓣宽度与旁瓣幅度之间调整2 1/200 (1-( -) / ),0( ) 0,InnMIw n其它Kaiser窗函数的频率响应幅度与参数窗函数的频率响应幅度与参数M，的关系：的关系： - 旁瓣幅度（主要）旁瓣幅度（主要）M - 主瓣宽度主瓣宽度滤波器指标与窗函数参数的关系：滤波器指标与窗函数参数的关系：过渡带宽度：过渡带宽度： = s p定义：定义：A = -20log10 - 波动幅度波动幅度有：有：M满足：满足：例例 7.8 用用Kaiser窗法设计低通滤波器窗法设计低通滤波器设计步骤：设计步骤：（1）给出技术指标）给出技术指标p = 0.4, s = 0.6, 1= 0.01, 2=
48、 0.001, = 1= 2 = 0.001（2）求出理想低通滤波器截止频率）求出理想低通滤波器截止频率（3）确定窗参数）确定窗参数由由得到：得到：（4）计算滤波器的脉冲响应）计算滤波器的脉冲响应脉冲响应：脉冲响应：M = 37为奇数，为奇数，第二类线性相位滤波器第二类线性相位滤波器频率响应：频率响应：通带和阻带的逼近误差通带和阻带的逼近误差误差定义：误差定义：误差对称性，最大误差略大于误差对称性，最大误差略大于0.001，取，取M=38，最大误差，最大误差0.00087.2.4 Kaiser窗与其它窗之间的关系窗与其它窗之间的关系窗函数设计法的基本原理：窗函数设计法的基本原理：用一个有限长窗
49、函数去截取理想脉冲响应（时域）用一个有限长窗函数去截取理想脉冲响应（时域）相应在频域产生的结果：相应在频域产生的结果：理想频率响应与窗函数的傅立叶变换进行了卷积理想频率响应与窗函数的傅立叶变换进行了卷积直接的效果：模糊了理想滤波器频率响应的间断特性直接的效果：模糊了理想滤波器频率响应的间断特性方法的特性：方法的特性：过渡带的带宽由窗函数傅立叶变换的主瓣确定过渡带的带宽由窗函数傅立叶变换的主瓣确定通带与阻带的波纹由窗函数旁瓣的积分（卷积计算）产生通带与阻带的波纹由窗函数旁瓣的积分（卷积计算）产生通带与阻带的波纹近似相等（窗函数的对称性）通带与阻带的波纹近似相等（窗函数的对称性）逼近指标（最大通带
50、和阻带的偏差）不取决窗长逼近指标（最大通带和阻带的偏差）不取决窗长M只取决窗函数的形状只取决窗函数的形状Kaiser窗与其它窗的比较：窗与其它窗的比较：7.3 Kaiser窗法设计窗法设计FIR滤波器举例滤波器举例用窗函数截取任何理想脉冲响应（高通、带通、带阻等）用窗函数截取任何理想脉冲响应（高通、带通、带阻等） 相应任何的因果相应任何的因果FIR滤波器滤波器 （逼近）（逼近）7.3.1 高通滤波器高通滤波器线性相位的理想高通滤波器频率响应：线性相位的理想高通滤波器频率响应：比较于理想低通，可以看出：比较于理想低通，可以看出：得到：得到：积分区间（积分区间（-， ）chpsin(/ 2)sin
