1、 3.2 运动学模型和约束 为整个机器人运动推导一个模型，是一个由底向上的过程。我们必须用相对清晰和一致的参考框架来表达各轮的力和约束，由于移动机器人的独立和移动本质，需要在全局和局部参考框架之间有一个清楚的映射。 3.2.1 表示机器人的位置 在整个分析过程中，我们将机器人建模成轮子上的一个刚体，运行在水平面上。为了确定机器人在平面中的位置，我们建立了平面全局参考框架和机器人局部参考框架之间的关系如图所示图3.1 全局参考框架和局部参考框架 （XI，YI）为全局参考框架 (XR，YR) 为机器人的局部参考框架，相对于机器人底盘上的点P 在全局参考框架下，P的位置由坐标x和y确定，全局框架和局
2、部框架的角度差由表示。 机器人的姿态可由这三个元素组成的向量来描述，即在全局参考框架下该姿态的基为：Ixy 为了根据分量的移动描述机器人的移动，需要将全局参考架下的移动映射到局部参考框架下的运动。该运动可由正交旋转矩阵来完成：举例（example）图3.2 与全局参考框架并排的机器人 给定在全局参考框架下某个速度 ，我们可以计算沿机器人局部参考框架轴XR和YR的运动分量。.( , , )x y 3.2.2 前向运动学模型 给定机器人的几何特征和它的轮子速度，机器人如何运动？即前向运动学模型。 该差动机器人有2个轮子，半径为r，给定中心处为两轮之间的点P，各轮距P的距离为l。 给定r,l,和各轮
3、的转速，前向运动学模型会预测全局参考框架中机器人的总速度：.12.( , , ,)Ixyf l r 图3.3在全局参考框架中差动驱动的机器人 建模策略：首先计算在局部参考框架下各轮对机器人运动的贡献，然后再将其影射到全局参考框架下。 首先，考虑在+XR方向上各轮的转动速度对点P的平移速度的贡献。 计算如果一轮旋转，而另一轮无贡献且不动，则点P的平移速度为 .1212(1/2)(1/2)rrxxrr（1） 其次，计算在YR 方向的贡献 由于没有一个轮子可以提供侧向运动，所以沿YR 方向的速度总是零。 最后，计算旋转角速度分量。可独立的计算各轮的贡献，且只要简单相加即可。 .121222rrll（
4、2） 联合式（1）和式（2）得到差动驱动机器人的运动学模型如式（3）所示：.12.1.12(1/ 2)(1/ 2)( )022IrrRrrll（3） 其中：1cossin0( )sincos0001R举例（example） 假定机器人位于/2，r1，l1，各轮转速分别为4和2，则，机器人在全局参考框架中的速度为：.010301000301111Ixy 在全局参考框架下，机器人沿着y轴，以速度1旋转的同时以速度3瞬时的移动。另外，机器人沿x轴的速度为零。 给定各轮的速度，用运动学建模的方法，可提供有关机器人移动的信息。然而，我们希望，对于机器人的地盘结构，要确定机器人可能运动的空间。所以在建立运
5、动学模型的基础上必须进一步描述各轮加到机器人运动上的约束。 3.2.3 轮子运动学约束 首先讨论单个轮子的约束，再将单独轮子的约束联合起来计算整个机器人的运动。 两点假设：1 轮子的平面总是和地面保持垂直，并且在任何时候，轮子和地面之间只有一个单独的接触点。2 该接触点无滑动，即只存在纯滚动。 标准轮分为固定标准轮和可操纵标准轮。下面首先介绍固定标准轮的运动学约束。图3.4 固定标准轮和它的参数 固定标准轮A的位置用机器人局部参考框架下的极坐标（ l ，）来表示。轮子平面相对于地盘的角度用表示，该角度为固定值。具有半径r的轮子在轮子平面内可自由转动。图3.5 约束示意图固定标准轮的滚动和滑动约
6、束方程：（1）（2） 由于所有在方程中的其他参数、等均是依据机器人的局部参考框架，所以必须将全局参考框架下的运动变换到机器人局部参考框架内的运动。举例（example） 假定轮A处在一个位置使得90，0，如果0，那么滑动约束方程（2）可简化为：.10 00 1 0 01 00 1 0000 1xxyy 这里限定沿YI的运动分量为零，由于YR 和YI在本例中平形，所以轮子不会侧向滑动。如果不是特殊情况，则会形成全局参考框架下的轨迹（速度）约束方程。可操纵标准轮的运动学约束： 可操纵的标准轮的滚动和滑动约束方程： 式中 (t)。小脚轮运动学约束：小脚轮的滚动和滑动约束方程：上式表明：任何正交于轮子
7、平面的运动必须被一个等效的且相反的小脚轮操纵运动量所平衡，这对小脚轮的成功是至关重要的，因为通过设置操纵量，任意的横向运动是可以被接受的（即使得约束被满足）。所以只带有小脚轮的机器人可按任意的速度在可能的机器人运动空间中运动，我们称此系统为全向的。瑞典轮运动学约束：瑞典轮的滚动和滑动约束方程为：90度瑞典轮时，滚动方程简化为固定标准轮的滚动约束。但由于滚柱，正交于轮子平面没有滑动约束。改变主动轮的转速可以产生任何期望的运动向量以满足滚动约束方程，所以轮子是全向的。0度瑞典轮时，滚柱有一个平行于主轮旋转轴的转动轴。若将该值代入滚动约束方程，则得到的却是固定标准轮的滑动约束方程，即瑞典轮的滚动约束
8、消失（主轮不需要旋转）。 小结：对于小脚轮、瑞典轮和球形轮，由于其内部的自由度，并未对机器人的运动施加实质上的约束，即机器人可在全局参考框架下自由运动。也就是说，只有固定标准轮和可操纵标准轮会对机器人的运动施加约束。 3.2.4 机器人运动学约束 给定一个具有M个轮子的机器人，将全部由所有轮子引起的运动学约束适当的联合起来，以此来描述机器人的运动学约束。 假定机器人总共有N个标准轮，由Nf个固定标准轮和Ns个可操纵标准轮组成。s(t)表示可操纵标准轮的可变操纵角。f表示固定标准轮的方向。滚动约束：滑动约束： 上述表达式对单个轮子的滚动和滑动约束具有强的相似性，但矩阵代替了单个值，因此把全部轮子
9、的约束都考虑进去了， 表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到沿着各个轮子平面上的运动。 也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到各个轮子的法平面内。1()sJ1()sC举例（example） 一个差动驱动机器人（针对图3.3所示机器人） 将滚动约束和滑动约束方程联合起来可得到式： 121()( )()0sIsJJRC 由于小脚轮无动力，并可在任何方向自由运动，因此可忽略第三个接触点。其余两个轮不可操纵，因此 和 分别简化为 和首先辨识各轮和的值。对图3.1，右轮/2， ；左轮/2， 0。由于，两个标准轮是平行的，所以，只有一个独立的滑动约束方程总的运动约束方程如
10、式：1()sJ1()sC1fJ1fC21 01 0( )00 10IlJlR 将上式求逆，得到特定的差动驱动机器人的运动学方程： 对于简单的差动驱动情况，上式展示了轮子滚动和滑动约束的联合描述了运动学的行为。另外，上式与图3.1所对应的运动学模型表示完全一致。111221101 022( )1 0( )001000 1011022IlJJRlRll 一个有3个90度瑞典轮的全向机器人对所有轮子和。机器人的局部参考框架和全局参考框架是一致的，即夹角为0。如果轮1，2，3分别以速度4，1，2旋转，那么整个机器人的最终运动会是什么样呢？ 1112( )IfRJJ.234373Ixy 3.3移动机器人
11、的机动性 机器人可操纵的总自由度，包括通过改变轮子的速度，机器人直接操纵的自由度（活动性）和通过改变操纵的配置和运动，间接操纵的自由度（可操纵度）两个方面。 3.3.2 活动性的程度 活动性表示机器人在环境中直接运动的能力。限制活动性的基本约束就是加在轮子上的滑动约束。 滑动约束如前所示为： 在数学上， 的零空间是空间N，使得对任 何N中的向量n， 。为了满足约束， 运动向量 必须属于投影矩阵 的零空间。若遵守运动学约束，则机器人的运动必定总是在该空间N内。 在几何上，利用机器人的瞬时转动中心 可以同时说明运动学的约束。 1( )sC1()0sCn( )IR 。1( )sC 瞬时转动中心 IC
12、R （instantaneous center of rotation） 在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为R的某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心处在零运动直线上，该中心称为瞬时转动中心。它可以位于沿零运动直线的任何地方。 要使机器人运动存在一个单独的解，必须有一个单独的ICR，即所有的零运动直线在一个单独点相交。 ICR的几何特性显示了机器人的活动性是机器人运动上的独立约束数目的函数而不是轮子数目的函数。 独立的滑动约束的数目可用 的秩来描述1()sC 一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机器人： 秩等于零：在这种情况下，机器人未安装标准轮 秩等于3：机器人在任何方向是完全受约束的，它将
13、不可能在平面中运动。10()3srank C 活动性程度 ： 矩阵 零空间的维数（dim N）是通过改变轮子的速度，可以立即操纵机器人底盘的自由度数目的一个度量。m11dim()3()mssN Crank C1( )sC 对于一个差动驱动的机器人底盘： 简单的通过操纵轮子的速度，即可控制方向的变化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制在位于从它的轮子水平轴扩展的无限直线上。 自行车的底盘、由全向轮组成的机器人底盘？1()12smrank C 和 3.3.2可操纵度 对于可操纵的标准轮，通过改变操纵角，可间接改变机器人的姿态。 可操纵度即表示独立的可操纵的参数的数目。 考虑活动性，增加 的秩，
14、意味着更多的约束，因而是移动较少的系统；考虑可操纵度，增加 的秩，意味着更多的操纵自由度，从而有更大的最终机动性。 ss1ssrankC ()1( )sC1( )sCs02s1ssrankC ()=1可操纵度的取值范围：为零，说明机器人没有可操纵的标准轮；为2，说明机器人（伪自行车）没有固定标准轮，说明机器人可以把ICR放到地平面上任何地方。考虑一辆普通汽车，如图所示，Nf2和Ns2。由于两个固定标准轮共享一个公共轴，所以 。固定标准轮和任何一个可操纵轮限制ICR成为沿着从后轴延伸的直线的一个点，所以第二个可操纵轮不再施加独立的运动学约束，故 ，在此情况下，活动性程度为1，可操纵度为1。11f
15、rank C 3.3.3机器人的机动性 机器人可以操纵的总的自由度，称为机动程度定义为： 。包括直接操纵的自由度和间接操纵的自由度。 MsMm 3.4 运动控制 运动控制的目标是跟踪一条轨迹，该轨迹由机器人的位置或速度轮廓描述成为时间的函数。通过将轨迹（路径）分割成形状清晰的被定义的运动区段（如直线或圆弧段）来完成运动控制的任务。控制问题则是根据直线和圆弧段，预先计算平滑的轨迹，驱动机器人从初始位置走到最终位置。 3.4.1开环控制（open loop control） 通过将轨迹（路径）分割成形状清晰的被定义的运动区段（如直线或圆弧段）来完成运动控制的任务。控制问题则是根据直线和圆弧段，预先
16、计算平滑的轨迹，驱动机器人从初始位置走到最终位置。特点是所测量的机器人位置不被反馈当作速度或位置控制。 根据直线和圆轨迹段的运动机器人的开环控制 3.4.2反馈控制（feedback control） 在移动机器人的运动控制中，使用状态反馈控制器，路径规划问题可简化为在所要求的路径中间点设置子目标。移动机器人反馈控制的典型情况 3.4.2.1问题陈述 在机器人局部参考框架下，给定实际姿态误差向量为 ，x，y和是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K使得v（t）和w（t）的控制，使得误差e趋向零。 , , RTex y 3.4.2.2运动学模型 机器人的运动学和它感兴趣的框架 假定目标在全局参考框架的原点，在下面，位置向量总是被标是在全局参考框架下。 在全局参考框架下，差动驱动的机器人的运动学给定如下： 当前位置在全局参考框架下的极坐标为： 利用矩阵方程，用极坐标描述得到一个系统的描述： 3.4.2.3控制率 设计控制信号v和w，以把机器人从它的实际位置驱动到目标位置。考虑线性率：可用下式描述闭环控制系统： 该闭环系统在有一个唯一的平衡点 ，因此，它会使机器人到达目标点。控制参数设置如下：( , ,)(0,0,0) 仿真结果见下页：机器人初始位置在x，y平面单位圆上时的最终路径
