1、返回返回1ija表示什么表示什么?如如23a表示什么表示什么?111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 例如例如11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 又如又如有解？如何解？有解？如何解？一、二阶行列式一、二阶行列式返回返回2引例引例1. 解二元线性方程组解二元线性方程组11112212112222,(1).a xa xba xa xb 1122112222221,a aa a xxb a1221112212222.a aa a xxb a2x然然后后
2、以以上上两两个个方方程程相相减减消消去去，得得解解: 消元法消元法. 为了消去未知数为了消去未知数2,x22a用用乘乘第第一一个个方方程程, ,12a用用乘乘第第二二个个方方程程, ,即即11221221112212 2.a aa axb aa b（）112212210a aa a若若，得得返回返回3故故(2)、(3)式即为方程组式即为方程组(1)的解的解.12212 2111221221.(2)b aa bxa aa a 11 2121211221221.3a bb axa aa a （ ）类似地可以求得类似地可以求得 从从(2)、(3)式可知式可知, 它们的分母相同它们的分母相同,都是由方
3、程组都是由方程组的未知数的四个系数决定的的未知数的四个系数决定的.定义定义 引进记号引进记号11122122,aaaa11221221,a aa a 数数用用它它表表示示即即返回返回4.2112221122211211aaaaaaaaD (4)(4)式称为二阶行列式式称为二阶行列式. 其中横写的叫行其中横写的叫行,竖写的叫列竖写的叫列, 共共有二行二列有二行二列,( ,1,2).ijai j 称称为为二二阶阶行行列列式式的的元元素素,ijaijij 元元素素的的第第一一个个下下标标 称称为为行行标标 第第二二个个下下标标 称称为为列列标标 表表示示该该元元素素位位于于第第 行行第第列列. .
4、注注: 1: 1. 结构规律结构规律: : 把第一行每个元素乘以划去该把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的元素元素所在的行列之后剩下的元素, ,前面带有正负号前面带有正负号, ,最最后求代数和后求代数和. . 2. 根据二阶行列式的定义根据二阶行列式的定义, (2)、(3)式的分子可分式的分子可分别用如下二阶行列式来表示别用如下二阶行列式来表示,即即返回返回511212212 22221,ab aa bDabb1111 212122112.aa bb aDbba 4. 利用二阶行列式解二元线性方程组利用二阶行列式解二元线性方程组(1).12212 2111221221.(2)b
5、aa bxa aa a 11 2121211221221.3a bb axa aa a （ ） 3. 二阶行列式的计算二阶行列式的计算,即公式即公式(4)也可用如下对角线也可用如下对角线法则来记忆法则来记忆.11112222aaaa1122a a 1221.a a 返回返回6记记11122122,aaaDa 系数行列式系数行列式1222121,bbaaD 1222111.Dabba 12111221222211,(1).xxxbaaaabx 11122121122221,.bbxxxaaa xa 11122121122221,.bbxxxaaa xa 返回返回7于是方程组于是方程组(1)的解为
6、的解为:1222111112212221,aaaDxDabaab1222112111122122.(5)aaabbDaxaaD分母均为原方程组的分母均为原方程组的系数行列式系数行列式12111221222211,(1).xxxbaaaabx 11122122,aaaDa 1222121,bbaaD 1222111.Dabba 返回返回81212258,395.xxxx 解解:2539D 18559D 97, 22835D 102414, DDx11 97,33 DDx22 14.33 18( 15) 330,72( 25) 返回返回9二、三阶行列式二、三阶行列式引例引例2. 解三元线性方程组解
7、三元线性方程组111122133121122223323113223333,(6).a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 解解: :332(6),xxx 从从方方程程组组的的前前两两个个方方程程消消去去后后两两个个方方程程也也消消去去再再从从所所得得到到的的两两个个方方程程中中消消去去于于是是得得到到1122331223311321321123321221331322311122331223 313 2321233212 2331322 3().(7)a a aa a aa a aa a aa a aa a axb a aa a ba b ab a aa b aa a
8、b返回返回101122331223311321321123321221331322311122331223 313 2321233212 2331322 3().(7)a a aa a aa a aa a aa a aa a axb a aa a ba b ab a aa b aa a b1(7)x式式中中的的系系数数可可表表示示为为定义定义 引进记号引进记号111213212223313233,aaaDaaaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa返回返回11称为称为三阶行列式三阶行列式. 即即(8) 注注: 1.1.结构规律结构规律
9、: : 把第一行每个元素乘以划去该元把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的二阶行列式素所在的行列之后剩下的二阶行列式, ,前面带有正负号前面带有正负号, ,最后求代数和最后求代数和. . 2. 根据三阶行列式的定义根据三阶行列式的定义, (7)式右边也可用三阶式右边也可用三阶行列式表示为行列式表示为111213212223313233aaaDaaaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa=返回返回121121312222333233baaDbaabaa 122331223 313 2321233212 2331322 3.b
10、 a aa a ba b ab a aa b aa a b10,(7),Dx 若若即即式式中中 的的系系数数不不等等于于零零 则则12132223323311112132122233132312313.(9)aaaaaaxabbbaaDaaaaaDa返回返回13类似地类似地,可求得可求得1113111221232122313331322311121311121321112232223212332233132333132323,.aaaaaaaaaaaaxxaaaaaaDDaaaaaaaaaaabbbbbbDDa(10) 注意注意: (9)、(10)式中的分母均为原方程组的系数式中的分母均为原方
11、程组的系数行列式行列式.返回返回14333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线红线上三元素的乘积冠以正号，上三元素的乘积冠以正号，蓝线蓝线上三上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 返回返回152-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 2484326
12、4 .14 返回返回16三三、n 阶行列式阶行列式回顾回顾:1112112212212122.aaa aa aaa111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231.a a aa a aa a aa a aa a aa a a,.ijijMA下下面面引引进进余余子子式式代代数数余余子子式式的的概概念念323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa=返回返回17111213212223313233aaaaaaaaa111211121313aaMaMM1 11 21 311111
13、2121313( 1)( 1)( 1)a Ma Ma M 111211121313aaAaAA3111jjja A 1111:,Ma上上式式中中称称为为的的余余子子式式1212,Ma称称为为的的余余子子式式1313Ma称称为为的的余余子子式式. .323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa=返回返回18余子式余子式: :划去划去所在的行与列剩下的所在的行与列剩下的元素组成的元素组成的行列式行列式. .ija代数余子式代数余子式: :在余子式前面加了符号在余子式前面加了符号. .1 1111111:( 1)AMa 又又有有称称为为的的代代数数余余子
14、子式式, ,1 2121212( 1)AMa 称称为为的的代代数数余余子子式式, ,1 3131313( 1)AMa 称称为为的的代代数数余余子子式式. .例如例如: 三阶行列式三阶行列式111213212223313233,aaaaaaaaa23:a对对于于1112233132,aaMaa 余子式余子式:代数余子式代数余子式:2 32323( 1).AM 返回返回19又如四阶行列式又如四阶行列式:11121314212223243132333441424344,aaaaaaaaaaaaaaaa2 32323( 1)AM 111214313234414244.aaaaaaaaa 进一步推广进一
15、步推广, 引进引进 n 阶行列式的概念阶行列式的概念.返回返回20定义定义1 1 (n阶行列式的定义阶行列式的定义)111212122212(11)nnnnnnaaaaaaDaaa 记记称为称为 n 阶行列式阶行列式, 11111121211111( 1)( 1)jjjnnnDa Ma Ma Ma M 1111( 1),njjjja M 它由它由n行行n列元素列元素 (共共 个元素个元素)组成组成,2n且且(12)返回返回21,ijijijMaDaij其其中中称称为为的的余余子子式式 即即它它是是由由 中中划划去去所所在在的的第第 行行第第 列列后后剩剩下下的的元元素素所所组组成成的的, ,即
16、即 111,11,111,11,11,11,1,11,11,1111,1,111阶jjniijijinijiijijnn jn jnnnaaaaaaaaMaaaaaaaa 注注: 1. (12)式给出了计算式给出了计算 n 阶行列式的方法阶行列式的方法,即即返回返回221111( 1),njjjja M 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 先将先将 n 阶行列式化成阶行列式化成 n-1 阶行列式阶行列式, 再化成再化成 n-2 阶阶行列式行列式, , 最后可求得最后可求得 D的值的值. 2. (12)式又称为行列式式又称为行列式 D 按第一行的展开式按第一行的展开式.(1
17、2)定义定义2. 在行列式在行列式 D (11)式式)中中,第第 i 行第行第 j 列的元素列的元素( 1),.ijijijijijijaAMMa 的的代代数数余余子子式式定定义义为为其其中中是是的的余余子子式式返回返回23111.njjja A 1111121211nnDa Aa Aa A注注: 根据定义根据定义2, 行列式的计算公式行列式的计算公式(12)式可化成式可化成:(13)例例2. 计算三阶行列式计算三阶行列式213121 .412D 返回返回24解解:213121412D 1 121( 1)212 1 211( 1)( 1)42 1 312( 1)341 23( 1)( 6)3(
18、 9)27. 返回返回25例例3. 计算计算 解解: 00050060.07008000D 1 4006( 1)5070800D 1 3075( 1)680 30( 56)1680. 返回返回26例例4.4. 证明下三角行列式证明下三角行列式11212211 2212300000.nnnnnnnaaaDa aaaaaa 证明证明:1122.nna aa 2232331123000nnnnaaaDaaaa 334344112234000nnnnaaaa aaaa 返回返回27特例特例: :12000000n 12.n 例例5. 证明证明1(1)2,1212,111000000( 1)000nn
19、nnnnnnaaDa aaa 证明证明: : 根据定义根据定义, 按第一行反复展开按第一行反复展开, 有有返回返回2812,11000000000nnnaaDa 2,13,2111000000( 1)(1)000nnnnnaaana 阶阶返回返回293,24,311112,11000000( 1)( 1)00000 (2)阶nnnnnnnaaaaan 1111 212,11( 1)( 1)( 1)nnnnna aa (1)212,11( 1)n nnnna aa 12321112132112112111111nnnnnnnnnnnaaaaaa返回返回30思考题 1.计算01000020(2)0
20、001000nDnnn 解解:000100000201121nnDn返回返回31 00010000400003011212121nn 00010000500004013213nn=返回返回32= 010123212nnnn nnnn11123212nn11！返回返回33 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff返回返回34解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又, 020 D.2
21、0,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc返回返回353.写出下列行列式中元素的余子式及代数余子式.(1) (2) (1)中元素的余子式为中元素的余子式为:相应的代数余子式为相应的代数余子式为:332311,aaa42201321128711422401332114420111M0221123M2131133M41111MA02323 MA23333MA返回返回36(2)中元素 的余子式为:相应的代数余子式为: 332311,aaa3228714240111M5627112231123M2627141331133M321111 MA562323 MA263333MA
