1、平面向量的数量积与平面向量应用举例一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设xR，向量a(1，x)，b(2，4)，且ab，则ab()A6BC D10解析：选Da(1，x)，b(2，4)且ab，42x0，x2，a(1，2)，ab10，故选D2(2017河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a(ab)8，|a|2，则|b|等于()A B2C3 D4解析：选D因为a(ab)8，所以aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以42|b|8，解得|b|43已知|a|3，|b|2，(a2b)(a3b)18，则a与b的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选B(a2b)(a3b)18
2、，a26b2ab18，|a|3，|b|2，924ab18，ab3，cosa，b，a，b604已知a(m1，3)，b(1，m1)，且(ab)(ab)，则m的值是_解析：ab(m2，m4)，ab(m，2m)，(ab)(ab)，m(m2)(m4)(m2)0，m2答案：25ABC中，BAC，AB2，AC1，2，则_解析：由2，得(2)(2)()(222)答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知向量a(1，x)，b(1，x)，若2ab与b垂直，则|a|()A BC2 D4解析：选C由已知得2ab(3，x)，而(2ab)b03x20x23，所以|a|22(2017贵州适应性考试)若单位向量e1，e2的夹
3、角为，向量ae1e2(R)，且|a|，则()A B1C D解析：选A由题意可得e1e2，|a|2(e1e2)2122，化简得20，解得，故选A3平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形解析：选C因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()DB0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形4(2016重庆适应性测试)设单位向量e1，e2的夹角为，ae12e2，b2e13e2，则b在a方向上的投影为()A BC D解析：选A依题意得e1e211cos ，|a|，ab(e12e2)(2e13e2)2e6ee1e2，因此b在a方向上的投影为，
4、故选A5(2017成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A BC D解析：选A法一：由题意可得22cos 2，() ()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，故选A法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1，故选A6已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则|c|_解析：由题意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8答案：87已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则向量m
5、，n的夹角的余弦值为_解析：因为mn(23,3)，mn(1，1)，所以由(mn)(mn)得(mn)(mn)0，即(23)(1)3(1)0，解得3，则m(2,1)，n(1,2)，所以cosm，n答案：8如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OAOB1，4，则()_解析：由已知得|，|，则()()cos答案：9已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|1
6、6(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640k7即k7时，a2b与kab垂直10如图，已知O为坐标原点，向量(3cos x,3sin x)，(3cos x，sin x)，(，0)，x(1)求证：()；(2)若ABC是等腰三角形，求x的值解：(1)证明：(0,2sin x)，()02sin x00，()(2)若ABC是等腰三角形，则ABBC，(2sin x)2(3cos x)2sin2x，整理得2cos2xcos x0，解得cos x0，或cos xx，cos x，x三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016商丘二模)已知a，
7、b均为单位向量，且ab0若|c4a|c3b|5，则|ca|的取值范围是()A3， B3,5C3,4D，5解析：选Ba，b均为单位向量，且ab0，设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，代入|c4a|c3b|5，得5即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5，c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，|ca|，表示M(1,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(1,0)到直线3x4y120的距离|ca|min3最大值为|MA|5|ca|的取值范围是3,52在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解：(
8、1)由题意得(ac)cos Bbcos C根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为课时跟踪检测 (二十七)数系的扩充与复数的引入一抓基础，多练小题做到眼疾手快1i是虚数单位，复数()A2iB2iC12i D12i解析：选B2i2(2017郑
9、州检测)设z1i(i是虚数单位)，则()Ai B2iC1i D0解析：选D因为1i1i1i1i0，故选D3(2016全国丙卷)若z43i，则()A1 B1Ci Di解析：选Dz43i，43i，|z|5，i4复数|1i|2_解析：原式ii答案：i5(2015重庆高考)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_解析：|abi|，(abi)(abi)a2b23答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1若i是虚数单位，复数z满足(1i)z1，则|2z3|()A BC D解析：选B由(1i)z1得z，则|2z3|2i|2已知实数a，b满足(ai)(1i)3bi，则复数abi的模为()A B2
10、C D5解析：选C依题意，(a1)(1a)i3bi，因此解得a2，b1，所以abi2i，|abi|2i|，选C3(2016福州二检)定义运算adbc，则符合条件0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由题意得，2zii(1i)0，则zi，i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B4已知复数z1，则1zz2z2 017()A1i B1iCi D0解析：选Az11i，1zz2z2 0171i5设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则z
11、z解析：选D对于A，|z1z2|0z1z212，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z12，z21i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题6若复数z12i，其中i是虚数单位，则_解析：z12i，12iz1516答案：67已知复数z满足i(其中i是虚数单位)，则|z|_解析：由i知，z2zi2i，即z，所以|z|2答案：28已知aR，若为实数，则a_解析：i，为实数，0，a答案：9已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_解析：|z2|，(x2)2y23由图可知max答案：10计算：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)13i(2)i(3)1(4)i三上台阶，自主选做志在冲
12、刺名校1已知tR，i为虚数单位，复数z134i，z2ti，且z1z2是实数，则t等于()ABCD解析：选D因为z134i，z2ti，所以z1z2(3t4)(4t3)i，又z1z2是实数，所以4t30，所以t，故选D2已知复数z1cos 15sin 15i和复数z2cos 45sin 45i，则z1z2_解析：z1z2(cos 15sin 15i)(cos 45sin 45i)(cos 15cos 45sin 15sin 45)(sin 15cos 45cos 15sin 45)icos 60sin 60ii答案：i3复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解：1z
13、2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i1z2是实数，a22a150，解得a5或a3a50，a5，故a3课时跟踪检测 (二十三)正弦定理和余弦定理的应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西802如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，C
14、D30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 m B15 mC5 m D15 m解析：选D在BCD中，CBD1801530135由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB1515(m)3在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A BC D解析：选B由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC4已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40，A，B两船的距离为3 km，则B到C
15、的距离为_ km解析：由条件知，ACB8040120，设BCx km则由余弦定理知9x244xcos 120，x0，x1答案：15某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km解析：如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3(km)答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座
16、灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)2如图，一条河的两岸平行，河的宽度d06 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为
17、v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v63(2014四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m解析：选Ctan 15tan (6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选C4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱
18、的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m5(2017厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A BC D解析：选D由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20则cos A0，0A，0A因此角A的取值范围是6如图
19、所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)答案：7(2017潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析：依题意可
20、知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530由正弦定理可知，ACsinCEA20 m在RtABC中，ABACsinACB2030 m国歌时长为50 s，升旗速度为06 m/s答案：068(2016洛阳统考)如图，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则cosC_解析：由条件得cosABC，sinABC在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理得9b2a24a因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以，所以3b2a26，联立解得a3，b1，所以AC3，BC3在ABC中，cosC答案：9某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海
21、军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h此时AB14，BC6在ABC中，根据正
22、弦定理，得，所以sinCAB，即CAB218或CAB1582(舍去)，即舰艇航行的方位角为45218668所以舰艇以668的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮10(2016哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角为60，B救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为30，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离
23、解：(1)由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形在RtPAC中，PA1，PCA60，解得AC，在RtPAB中，PA1，PBA30，解得AB，又CAB90，BC万米(2)sin ACDsin ACB，cosACD，又CAD30，所以sinADCsin(30ACD)，在ADC中，由正弦定理，得AD万米三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取14，17)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于
24、点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，BCsin 1510 500()CDAD，CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100米和BN200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtA
25、MP中，APM30，AM100，PM100，连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100，PQM为等边三角形，QM100在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos 在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100即两发射塔顶A，B之间的距离是100米课时跟踪检测 (二十四)平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若，则()A1B2C4 D6解析：选B根据向量加法的运算法则可知，2，故22在ABC中，2，a，b，c，则下列等式成立的是()
26、Ac2ba Bc2abCcab Dcba解析：选D依题意得2()，即ba3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析：选C由已知，得8a2b2(4ab)2，故又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形4(2017扬州模拟)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析：如图，因为，P是BN上一点所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，则m答案：5已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab答案：baab二保高考，全练题型做到高考达标1如
27、图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b, 则等于()Aba BabCab Dba解析：选Cababa，故选C2已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 BC1或 D1或解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abk整理得abka(2kk)b由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或又因为k0，所以0，故3下列四个结论：0；0；0；0，其中一定正确的结论个数是()A1 B2C3 D4解析：选C0，正确；，错；0，正确；0，正确故正确4设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与
28、 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行5设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4C5 D6解析：选BD为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则46在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得(ab)，ab，所以(ab)ab答案：ab7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2答案：28已知D，E，F分别为ABC的边BC，
29、CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0，故正确正确命题为答案：39在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，解：()ab()()ab10设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由
30、(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线， (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12三上台阶，自主选做志在冲刺名校1在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2点E在线段CD上， (01)，又2，1，即01，0即的取值范围是答案：2已知O，A，B是不共线的三点，且mn (m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn故有m(n1)，即(m)(n1)0O，A，B不共线，不共线，mn1
