1、课程安排课程安排 总学时总学时 ：32学时（学时（2学分）学分） 理论授课理论授课24学时学时+实验实验8学时学时 建议教材：建议教材： 实验力学实验力学，张天军，韩江水，屈钧利编，西北工业大学出版社，张天军，韩江水，屈钧利编，西北工业大学出版社，2008。 教学参考书教学参考书 ： 实验应力分析实验应力分析、张如一、陆耀桢主编，机械工业出版社，、张如一、陆耀桢主编，机械工业出版社，1986 一、实验应力分析的任务一、实验应力分析的任务 实验应力分析是用实验的方法测定构件中的应力和变形的一门学科。实验应力分析是用实验的方法测定构件中的应力和变形的一门学科。 1 1、解决工程上的力学问题有三种方
2、法、解决工程上的力学问题有三种方法解析法：解析法：用弹性力学或塑性力学进行求解。即首先建立力学模型用弹性力学或塑性力学进行求解。即首先建立力学模型 然后用数学方法进行求解。用数学方法求解工程问题时，然后用数学方法进行求解。用数学方法求解工程问题时， 常遇到数学和计算方面的困难，只能对有限的一些简单常遇到数学和计算方面的困难，只能对有限的一些简单 问题给出精确解。问题给出精确解。计算法：计算法：用有限差分法或有限元法等数值计算求解工程上的力学用有限差分法或有限元法等数值计算求解工程上的力学 问题。问题。实验法：实验法：用实验的方法求解工程上的力学问题。用实验的方法求解工程上的力学问题。 2 2、
3、 实验的特点：实验的特点：（1 1）验证理论推导或计算结果的正确性。）验证理论推导或计算结果的正确性。 用解析法或计算法得出的结果，必须经过实验的验证，用解析法或计算法得出的结果，必须经过实验的验证， 否则结果的正确性不被认可。否则结果的正确性不被认可。（2 2）解决工程中的复杂问题。）解决工程中的复杂问题。 用解析法和计算法求解时，首先要建立力学模型，但有用解析法和计算法求解时，首先要建立力学模型，但有 时力学模型很难建立，直接用实验法更方便。时力学模型很难建立，直接用实验法更方便。（3 3）探索未知的科学。）探索未知的科学。 通过长期对实验结果的观察、总结并归纳为理论。通过长期对实验结果的
4、观察、总结并归纳为理论。 如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑对照片的质量有如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑对照片的质量有 影响，所以设法消除掉，最后发现它是求位移的一种重影响，所以设法消除掉，最后发现它是求位移的一种重 要的方法）。要的方法）。以上三种方法，解析法是最重要的，而计算法与实验法并列以上三种方法，解析法是最重要的，而计算法与实验法并列成为解析法的工具。对于工科的学生这三种能力必须具备。成为解析法的工具。对于工科的学生这三种能力必须具备。二、主要方法二、主要方法 1 1、电学法、电学法 包括电阻、电容和电感。其中电阻是重点，包括电阻、电容和电感。其中电阻是重点， 通过电阻应变片来测
5、量应变已很成熟。通过电阻应变片来测量应变已很成熟。 2 2、光学法、光学法 光弹性法：光弹性法：光学光学+弹性力学。弹性力学。 现代光测法：现代光测法：包括全息、散斑、云纹和云纹干涉法。包括全息、散斑、云纹和云纹干涉法。 3 3、声学法：、声学法： 包括声弹法和超声波。因为用声学法测量时设备比较贵，包括声弹法和超声波。因为用声学法测量时设备比较贵， 测量的准确性较差，因此这部分内容用的比较少。测量的准确性较差，因此这部分内容用的比较少。三、学科的发展趋势三、学科的发展趋势 微观：称为纳米，即微观：称为纳米，即 ，纳米与原子同数量级纳米与原子同数量级 细观：细观称为微米，即细观：细观称为微米，即
6、 ， 宏观：宏观：m610m910即向小的方向发展。即向小的方向发展。细观力学已被认为是近年来细观力学已被认为是近年来理论与应用力学中振奋人心的新领理论与应用力学中振奋人心的新领域之一。国内许多学者与工程界人士也逐步从各个不同侧面开域之一。国内许多学者与工程界人士也逐步从各个不同侧面开展了细观力学的研究，并取得了大量的研究成果，使细观力学展了细观力学的研究，并取得了大量的研究成果，使细观力学日趋成熟。特别是一些学者正在进行微观力学的研究工作。日趋成熟。特别是一些学者正在进行微观力学的研究工作。1 1、向微观方向发展：、向微观方向发展：2 2、向宏观方向发展：、向宏观方向发展：3 3、实验力学随
7、仪器而发展：、实验力学随仪器而发展： 实验技术发展的快慢主要依赖于设备，随着计算机的发展及实验技术发展的快慢主要依赖于设备，随着计算机的发展及 数据处理的自动化，使得实验力学向着功能强、精度高、自数据处理的自动化，使得实验力学向着功能强、精度高、自 动化和媒体化的方向发展。动化和媒体化的方向发展。即向大的方向发展。即向大的方向发展。 如高层建筑物、天体现象等。如高层建筑物、天体现象等。第一篇第一篇 实验应力分析基础实验应力分析基础实验应力分析基础实验应力分析基础误差分析和实验数据处理误差分析和实验数据处理结构的相似性结构的相似性一、真值、实验值和误差一、真值、实验值和误差（1 1）真值：）真值
8、：客观上真正存在的物理量。客观上真正存在的物理量。 如：桌子的尺寸，室内的温度等。在测量真值时，由于仪如：桌子的尺寸，室内的温度等。在测量真值时，由于仪 器、测量方法、环境、人的观察力都不是完美的，所器、测量方法、环境、人的观察力都不是完美的，所 以严格说真值是无法测得的。以严格说真值是无法测得的。（2 2）实验值：）实验值：用实验的手段来测量真值。只能测得真值的近似值。用实验的手段来测量真值。只能测得真值的近似值。（3 3）误差：）误差：实验误差是实验值与真值的差值。实验误差简称为误差。实验误差是实验值与真值的差值。实验误差简称为误差。 实验误差实验误差 = = 实验值实验值 真值（未知）真
9、值（未知）第一章第一章 误差分析和实验数据处理误差分析和实验数据处理1-1 1-1 基本概念基本概念二、准确度和精密度二、准确度和精密度（1 1）准确度：）准确度：指测量值与真值的偏差。指测量值与真值的偏差。 既指测量值与真值的接近程度。既指测量值与真值的接近程度。（2 2）精密度：）精密度：指多次测量所得数据的重复程度。指多次测量所得数据的重复程度。 重复性好即精密度高，但不一定准确度高，即所测重复性好即精密度高，但不一定准确度高，即所测 数据可能都与真值相差较大。数据可能都与真值相差较大。 这两者的区别可用打靶的例子来说明，这两者的区别可用打靶的例子来说明， 图图( (a) )表示准确度和
10、精密度都高；表示准确度和精密度都高； 图图( (b) )表示精密度高但准确度不高，即打靶较集中但表示精密度高但准确度不高，即打靶较集中但 离靶心较远；离靶心较远； 图图( (c) )表示两者都不高。表示两者都不高。（3 3）精确度：）精确度：指准确度和精密度的统称。指准确度和精密度的统称。三、有效数字三、有效数字 在测量数据时，确定用几位数字代表测量结果十分重要。测量数据在测量数据时，确定用几位数字代表测量结果十分重要。测量数据 的位数与测量的准确度有关，取得位数太多或太少都是不对的。测的位数与测量的准确度有关，取得位数太多或太少都是不对的。测 量时要估读到仪表刻度上最小一格中的分数，而不能将
11、它略去。量时要估读到仪表刻度上最小一格中的分数，而不能将它略去。如：如：0.002340 -0.002340 -有效数字是有效数字是4 4位位 其中最后一个其中最后一个0 0为可疑位，为可疑位，4 4为准确位。为准确位。 0.00234 - 0.00234 - 有效数字是有效数字是3 3位。位。 其中其中最后一个数最后一个数4 4为可疑位，为可疑位，3 3为准确位。为准确位。 最后一位可疑到什么程度，认为不会可疑到最后一位可疑到什么程度，认为不会可疑到最小一格最小一格的一半。的一半。四、舍入法四、舍入法 在一般计算中是在一般计算中是4 4舍舍5 5入，而在实验中是入，而在实验中是4 4舍舍6
12、6入，何谓入，何谓4 4舍舍6 6入呢？入呢？末位有效数字后的第一位数字末位有效数字后的第一位数字 5 5 则向前一位入则向前一位入1 1。 5 5 则舍去。则舍去。= 5= 5末位有效数字为奇数则向前入末位有效数字为奇数则向前入1 1。末位有效数字为偶数则舍去。末位有效数字为偶数则舍去。如：下面的数均保留如：下面的数均保留2 2位有效数字位有效数字 0 .1 2 4 0.120 .1 2 4 0.12 0 .1 2 6 0.13 0 .1 2 6 0.13 0 .1 2 5 0.12 0 .1 2 5 0.12 0 .1 3 5 0.14 0 .1 3 5 0.14五、加减乘除运算五、加减乘
13、除运算 加减运算：加减运算：各项所保留的小数点后的位数应与各项中小数点各项所保留的小数点后的位数应与各项中小数点 后位数最少的相同。后位数最少的相同。如：如： 乘除运算：乘除运算：各因子保留的位数以有效数字最少的为准，所得各因子保留的位数以有效数字最少的为准，所得 积或商的准确度不应高于准确度最低的因子。积或商的准确度不应高于准确度最低的因子。如：如： 33103333. 331004. 855. 401. 058.12546. 40081. 058.123 . 30 . 30 .10一、误差的来源一、误差的来源1 1、系统误差（又称恒定误差）、系统误差（又称恒定误差） 系统误差是由人为或某一
14、固定因素造成的误差。系统误差可以系统误差是由人为或某一固定因素造成的误差。系统误差可以 消除。如：尺子长了，则测出的数据均偏小；杆秤准心偏了，消除。如：尺子长了，则测出的数据均偏小；杆秤准心偏了， 秤出的重量总是偏小。系统误差有固定的偏向和一定的规律秤出的重量总是偏小。系统误差有固定的偏向和一定的规律 性，可根据具体原因采取适当的措施予以校正和消除。性，可根据具体原因采取适当的措施予以校正和消除。2 2、偶然误差（又称随机误差）、偶然误差（又称随机误差） 偶然误差由多种因素引起，要找到原因很难。当测量多次时，偶然误差由多种因素引起，要找到原因很难。当测量多次时， 偶然误差时大、时小、时正、时负
15、，没有固定的大小和偏向。偶然误差时大、时小、时正、时负，没有固定的大小和偏向。 常围绕某一中间值上下波动。当测量次数足够多时，发现偶然常围绕某一中间值上下波动。当测量次数足够多时，发现偶然 误差服从统计规律。误差服从统计规律。1-2 1-2 误差的来源及处理方法误差的来源及处理方法3 3、间接测量误差：、间接测量误差： 在实验中，对长度、重量、位移等物理量能直接测量，但对应在实验中，对长度、重量、位移等物理量能直接测量，但对应 力等物理量一般不能直接测量，必须通过一些能直接测量的物力等物理量一般不能直接测量，必须通过一些能直接测量的物 理量按一定公式计算求得。这计算出的间接测量的结果具有一理量
16、按一定公式计算求得。这计算出的间接测量的结果具有一 定的误差，如何由直接测量误差计算间接测量误差，这就是误定的误差，如何由直接测量误差计算间接测量误差，这就是误 差传递规律的问题。差传递规律的问题。二、偶然误差的理论二、偶然误差的理论 1 1、误差的正态分布、误差的正态分布 实验时希望测量值尽量接近真值，在消除系统误差和过失误实验时希望测量值尽量接近真值，在消除系统误差和过失误 差之后，实验数据中仍包含偶然误差。既然偶然误差很难消差之后，实验数据中仍包含偶然误差。既然偶然误差很难消 除掉就要找到它的规律。除掉就要找到它的规律。 从误差分布曲线，可看出偶然误差有下列特性：从误差分布曲线，可看出偶
17、然误差有下列特性：（1 1）小误差出现的概率高，大误差出现的概率低，绝对值）小误差出现的概率高，大误差出现的概率低，绝对值 很大的误差出现的概率接近于零。很大的误差出现的概率接近于零。（2 2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。222/21)(SxeSxpy高斯于高斯于17951795年找出了描述偶然误差的函数形式为：年找出了描述偶然误差的函数形式为：随机变量与其均值的偏差的概率成正态分布。随机变量与其均值的偏差的概率成正态分布。应变应变相对相对频率频率22)(xhehxpyS - - 标准误差；标准误差；h - - 精密度指数；精密度指数；Sh21高斯
18、概率分布定律高斯概率分布定律222/21)(SxeSxpyp（x） - - 概率密度。概率密度。 高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线 高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线 误差分布曲线上的最高点。与误差分布曲线上的最高点。与h成正比，与成正比，与S成反比。成反比。 因此因此h越大越大S越小时曲线中部越高，两边下降越快；越小时曲线中部越高，两边下降越快； 反之，曲线变的越平坦。反之，曲线变的越平坦。 特点：特点： 1 1、 越大，越大， 值越小，曲线越平坦。值越小，曲线越平坦。 越小，越小， 值越大，值越大，曲线越陡峭。曲线越陡峭。 2 2、当、当 时，时，Shy210 xyxy0 x0y22)(xh
19、ehxpy2 2、偶然误差表示法、偶然误差表示法（1 1）算术平均值）算术平均值 偶然误差的特点：正、负误差出现的概率相等，则计算真偶然误差的特点：正、负误差出现的概率相等，则计算真 值的最佳方法是取算术平均值，因为正负误差相互抵消。值的最佳方法是取算术平均值，因为正负误差相互抵消。 （2 2）标准方差公式（均方根误差）标准方差公式（均方根误差） 测量误差：测量误差：第第i 次的测量值；次的测量值；算术平均值；算术平均值；测量次数，测量次数，niiaxnx11nxxai当当 时，时， ， 真值。真值。ntaxx tx第第i 次的测量值；次的测量值；真值。真值。tiixx tixx标准方差公式：
20、标准方差公式：nSnii12当当 时，才能计算出真值时，才能计算出真值 ，所以标准方差公式适用于测，所以标准方差公式适用于测量次数足够多的情况。量次数足够多的情况。对较大或较小的误差反映比较灵敏，它是表示测量精密度较好的一对较大或较小的误差反映比较灵敏，它是表示测量精密度较好的一种方法。种方法。nSnii12ntx（3 3）有限次测量时的标准误差）有限次测量时的标准误差 当测量次数无限多时，算术平均值就是真值当测量次数无限多时，算术平均值就是真值 有限次测量时，有限次测量时， 只是真值的近似值。只是真值的近似值。 测量误差：测量误差：taxx axaiixxa 第第i 次的测量值；次的测量值；
21、 真值的近似值。真值的近似值。由于测量中正负误差出现的概率相等，可推出下列公式：由于测量中正负误差出现的概率相等，可推出下列公式：aixxtiixx niiniinan12121有限测量次数中从算术平均值计算的偏差平方和，小于从真值计有限测量次数中从算术平均值计算的偏差平方和，小于从真值计算的误差平方和，由此得出有限次测量时标准误差的计算公式。算的误差平方和，由此得出有限次测量时标准误差的计算公式。有限次测量时的标准误差：有限次测量时的标准误差： 11121212nxxnanSniainiinii三、间接测量误差三、间接测量误差 已知直接测量值的误差，求间接测量值的误差，已知直接测量值的误差，
22、求间接测量值的误差， 即已知自变量的误差求函数的误差。即已知自变量的误差求函数的误差。 设函数设函数 其自变量其自变量 为为r个直接测量的物理量，个直接测量的物理量， 其标准误差分别为其标准误差分别为rxxxfy ,21rxxx ,21rSSS 、21对对 各作了各作了n 次测量，可算出次测量，可算出n 个个y 值：值：rxxx ,21riiiixxxfy 21，ni ,2,1每次测量的误差：每次测量的误差： ririiixxyxxyxxyy 2211两边平方：两边平方： iiiiixxxyxyxxyxxyy21212222212122ni ,2,1由于正负误差出现的概率相等，当由于正负误差出
23、现的概率相等，当n足够大时，将所有足够大时，将所有 相加，相加，则非平方项对消而得出：则非平方项对消而得出：2iy nirirniiniiiniixxyxxyxxyy12212222121212两边除以两边除以n再开方得标准误差：再开方得标准误差：2222222121rrySxySxySxyS 相对标准误差：相对标准误差：2222222121111rryySxyySxyySxyyySe )(321rxxxxfy nirirniiniiiniixxyxxyxxyy122122221212121-2 1-2 实验数据表示法实验数据表示法一、图示法一、图示法 用几何图形把实验数据表示出来的一种方法。
24、用几何图形把实验数据表示出来的一种方法。 主要优点主要优点: :形式直观，便于比较，能显示数据中最大或最小形式直观，便于比较，能显示数据中最大或最小 值、转折点或周期性等特点。值、转折点或周期性等特点。 作图注意事项：作图注意事项：（1 1）坐标轴中的）坐标轴中的x轴永远代表自变量，轴永远代表自变量，y轴永远代表因变量。轴永远代表因变量。 各坐标线的间距应以每一点在坐标纸上能迅速方便地找到，各坐标线的间距应以每一点在坐标纸上能迅速方便地找到， 一般直角坐标纸的各坐标线的间距以分格为一般直角坐标纸的各坐标线的间距以分格为1 1，2 2，5 5最方便。最方便。（2 2）坐标的最小分格应相应于被表示
25、量的误差。）坐标的最小分格应相应于被表示量的误差。 分格过细超过实验精度，会造成曲线的人为弯曲、具有虚假分格过细超过实验精度，会造成曲线的人为弯曲、具有虚假 精度。分格过粗又降低了实验精度，使曲线过于平直。一般精度。分格过粗又降低了实验精度，使曲线过于平直。一般 使曲线在横纵坐标之间的使曲线在横纵坐标之间的 方向为宜。方向为宜。045（3 3）对于只看变化趋势的情况，则将数据点描在图纸上即可）对于只看变化趋势的情况，则将数据点描在图纸上即可, , 对于作为准确实验工具用的曲线图，则要按一定规矩描点。对于作为准确实验工具用的曲线图，则要按一定规矩描点。 由于实验数据都有一定的误差，因此画图时，不
26、能简单描由于实验数据都有一定的误差，因此画图时，不能简单描 点，而应用一矩形表示。矩形两边分别代表自变量和因变量点，而应用一矩形表示。矩形两边分别代表自变量和因变量 的误差，中心代表算术平均值，真值应在此矩形内。若用两的误差，中心代表算术平均值，真值应在此矩形内。若用两 倍的标准误差作误差的合理范围，这样所得曲线介于两条虚倍的标准误差作误差的合理范围，这样所得曲线介于两条虚 线间的概率为线间的概率为95%。（4 4）连接曲线时因光滑连续。）连接曲线时因光滑连续。 在实验测量中，有时出现一个或几个过大或过小的数据，这在实验测量中，有时出现一个或几个过大或过小的数据，这 时不能按主观判断加以取舍，
27、这是错误的。对于可疑的异常时不能按主观判断加以取舍，这是错误的。对于可疑的异常 数据一般要分析出明确的物理和技术原因，然后决定取舍。数据一般要分析出明确的物理和技术原因，然后决定取舍。 例如：用应变片测量构件应变时，个别应变数据过大或过小，例如：用应变片测量构件应变时，个别应变数据过大或过小， 如经分析是由于应变片质量或安装（粘贴）上的原因造成异如经分析是由于应变片质量或安装（粘贴）上的原因造成异 常，则可舍去，但如果分析不出原因，则应根据统计学的偶常，则可舍去，但如果分析不出原因，则应根据统计学的偶 然误差理论来取舍处理这些可疑数据。然误差理论来取舍处理这些可疑数据。二、列表法二、列表法 列
28、表法就是将一组实验数据中的自变量、因变量等各个数值依一列表法就是将一组实验数据中的自变量、因变量等各个数值依一 定形式和顺序一一对应排列成表格。定形式和顺序一一对应排列成表格。 主要优点：主要优点：简单易作，形式紧凑，数据易于参考比较。简单易作，形式紧凑，数据易于参考比较。 列表注意事项：列表注意事项：（1 1）自变量）自变量x间距的选择。间距的选择。一般一般x为为1 1，2 2或或5 5乘以乘以 。x不能过大不能过大 或过小，过小则表太繁且篇幅太大，过大时不准确。或过小，过小则表太繁且篇幅太大，过大时不准确。n10（2 2）表中所有数值的有效位数应取舍合理）表中所有数值的有效位数应取舍合理
29、自变量假定其无误差，因变量的位数取决于实验精确度。自变量假定其无误差，因变量的位数取决于实验精确度。（3 3）数据分度的方法）数据分度的方法 通常由实验测得的数据，自变量或因变量的变化一般不够规通常由实验测得的数据，自变量或因变量的变化一般不够规 则，应用也不方便，而且原始实验数据未经处理可能包含一则，应用也不方便，而且原始实验数据未经处理可能包含一 些错误（如异常的可疑数据等），使表格数值不准确。数据些错误（如异常的可疑数据等），使表格数值不准确。数据 的分度就是将表中所列数据更有规则地排列起来，当自变量的分度就是将表中所列数据更有规则地排列起来，当自变量 作等间距顺序变化时，因变量亦随着渐
30、变，这样的表应用方作等间距顺序变化时，因变量亦随着渐变，这样的表应用方 便而较准确。便而较准确。 数据分度的方法有图示法、最小二乘法等。数据分度的方法有图示法、最小二乘法等。图示法图示法先将原始实验数据在坐标纸上描点作出光滑曲先将原始实验数据在坐标纸上描点作出光滑曲 线，然线，然 后按规则后按规则x等间距自曲线上逐个读出等间距自曲线上逐个读出y的数值列成表格。的数值列成表格。工程上，常需要根据几个变量的几组实验数据，来找到这几工程上，常需要根据几个变量的几组实验数据，来找到这几个变量之间的函数关系，这个函数的近似表达式叫经验公式个变量之间的函数关系，这个函数的近似表达式叫经验公式最常用的拟合经
31、验公式的方法有最小二乘法最常用的拟合经验公式的方法有最小二乘法从实验数据找经验公式从实验数据找经验公式根据实验数据画图根据实验数据画图判断经验公式应有的形式判断经验公式应有的形式用实验数据去验证用实验数据去验证根据图形和经验根据图形和经验及解析几何原理及解析几何原理若不合适，则若不合适，则建立新的形式建立新的形式三、列方程法三、列方程法 列方程法是用一个方程式或经验公式将实验数据表示出来。列方程法是用一个方程式或经验公式将实验数据表示出来。 主要优点：主要优点：形式紧凑，而且便于进行微积分运算。形式紧凑，而且便于进行微积分运算。例如：例如：为了测量刀具的磨损速度，做这样一个实验，每隔为了测量刀
32、具的磨损速度，做这样一个实验，每隔 一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组实验数据。一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组实验数据。时间时间 ti（小时）（小时）01 2 3 4 5 6 7厚度厚度 yi（cm）27.026.826.526.326.125.725.324.8最小二乘法最小二乘法根据实验数据建立根据实验数据建立y与与t 之间的经验公式，设之间的经验公式，设y = = f（t）。）。首先确定首先确定f（t）的类型，）的类型，即即f（t）可能是直线还是曲线，）可能是直线还是曲线，为此在直角坐标系中将为此在直角坐标系中将 线画出。线画出。iity ,从图中可见这些点的连线大致是一条直线，
33、于是认为从图中可见这些点的连线大致是一条直线，于是认为f（t）是线性函数）是线性函数 battf)(待定常数待定常数a、b的选取的选取: :理想情况：理想情况：选取能使选取能使 经过图中各测点，但这是不可经过图中各测点，但这是不可 能的，因为这些点本来就不在同一直线上。能的，因为这些点本来就不在同一直线上。实际情况：实际情况：只能要求只能要求a、b使得使得 在在 处处 的函数值与实验数据的函数值与实验数据 的偏差最小。的偏差最小。 battf)(battf)(7210,tttt 7210,yyyy mintfyiii707,2,1,0 i mintfyiii70偏差的和最小时，不能保证函数值与
34、实验数据的偏差偏差的和最小时，不能保证函数值与实验数据的偏差也最小。因偏差有正有负，在求和时可能相互抵消也最小。因偏差有正有负，在求和时可能相互抵消 。 mintfyii7,2,1,0 i设：设：让偏差的绝对值之和最小。但加绝对值不便于进一步分析讨论。让偏差的绝对值之和最小。但加绝对值不便于进一步分析讨论。 minbatytfyMiiiiii2702707,2,1,0 i根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数a、b的方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。M最小的条件：最小的条件： 0270iiiitbatyaM0270iiibatybM 125.27304
35、. 0ttfy一般计算比较繁琐，可用计算机辅助计算。一般计算比较繁琐，可用计算机辅助计算。125.27304. 0ba解此方程组得：解此方程组得：拟合经验公式拟合经验公式 ：第二章第二章 结构的相似性结构的相似性工程中在实际构件上做实验有时很困难，那么如何用模型代替实际构件呢？工程中在实际构件上做实验有时很困难，那么如何用模型代替实际构件呢？ 相似理论是研究原型与模型之间规律的基础理论。相似理论是研究原型与模型之间规律的基础理论。 在工程中什么样的问题需要用到模型实验？在工程中什么样的问题需要用到模型实验？1 1、尺寸大的构件：、尺寸大的构件： 如：大楼的抗震实验；水坝的强度实验等。如：大楼的
36、抗震实验；水坝的强度实验等。 必须先做实验后建大楼和水坝。必须先做实验后建大楼和水坝。2 2、破坏性实验：、破坏性实验： 如：坦克的破坏实验。一台坦克的造价约为如：坦克的破坏实验。一台坦克的造价约为17001700万元，万元， 破坏一台造价太高，所以只能做模型破坏实验。破坏一台造价太高，所以只能做模型破坏实验。3 3、尺寸非常小的构件：、尺寸非常小的构件： 尺寸非常小的构件，在实际构件上做实验很困难，尺寸非常小的构件，在实际构件上做实验很困难， 这就需要在放大后的模型上做实验。这就需要在放大后的模型上做实验。原型（实体）原型（实体） 模型模型( (模型实验得到的数据模型实验得到的数据) ) 相
37、似理论相似理论 2-1 2-1 相似理论相似理论一、相似现象及相似理论的基本概念一、相似现象及相似理论的基本概念1 1、相似现象：、相似现象： 几何相似：几何相似：指形状、大小相似。指形状、大小相似。 物理相似：物理相似：指物理性能相似。如：热性能；粘性；弹性性能相似等。指物理性能相似。如：热性能；粘性；弹性性能相似等。 数学相似：数学相似：指描述某些现象的数学方程式相同。如：弹力中的薄膜比指描述某些现象的数学方程式相同。如：弹力中的薄膜比 拟法与扭转毫无关系，但是它们的数学方程式是相似的，拟法与扭转毫无关系，但是它们的数学方程式是相似的， 所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。所以可用薄膜比拟法来
38、解扭转问题。2 2、相似理论的基本概念：、相似理论的基本概念：（1 1）相似系数：）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似 系数。系数。 如广义虎克定律：如广义虎克定律：zyxxE1原型：原型： 模型：模型： mmmmppppEE,若模型与原型相似，则相应的参数之比为常数若模型与原型相似，则相应的参数之比为常数mpCmpCmpEEEC mpCCCCCE比例常数比例常数 相似系数。相似系数。 CCCCE,（2 2）相似指标：）相似指标：mpCmpCmEpECEmpC原型：原型： zpyppxppxpE1zmymmxmmExmCC
39、CECC1zmymmExmEmxmCCCCCCCE1当相似系数的组合比等于当相似系数的组合比等于1 1时，模型与原型的广义虎克定律相同时，模型与原型的广义虎克定律相同1ECCC1ECCCC若模型与原型相似，则所描述的方程必须相同若模型与原型相似，则所描述的方程必须相同11ECCCC12ECCCCC相似指标相似指标 21,cc（3 3）相似判据：）相似判据： 把相似指标中的相似系数换成相应的物理量把相似指标中的相似系数换成相应的物理量相似判据相似判据11ECCCC相似判据相似判据 Eidem112ECCCCC相似判据相似判据 Eidem2（4 4）判据方程：）判据方程：mmmEmEmmpppEC
40、CCECCCE11ECCCCmmmpppEE判据方程判据方程 模型的相似判据：模型的相似判据： 模型的相似判据：模型的相似判据： mmmmEmEmmmppppECCCCECCCCEmmmmppppEE12ECCCCC判据方程判据方程 相似指标相似指标相似指标相似指标Eidem1Eidem2二、相似理论二、相似理论1 1、相似第一定理、相似第一定理 在相似现象中，相似指标等于在相似现象中，相似指标等于1 1或相似判据为一个不变量。或相似判据为一个不变量。 在相似现象，其相似判据是相同的，是一个不变量。在相似现象，其相似判据是相同的，是一个不变量。2 2、相似第二定理、相似第二定理 表示某现象各物
41、理量之间的关系方程式，都可转换成无量纲方表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可转换成无量纲方 程，无量纲方程的各项即是相似判据。程，无量纲方程的各项即是相似判据。 因此表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可写成相似判因此表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可写成相似判 据方程。据方程。 如如: :广义虎克定律广义虎克定律zyxxE1xzxyxxEEE1EEidemxx1EEEidemxzxy23 3、相似第三定理、相似第三定理 在物理方程相同的情况下，两个现象只要下面的条件相似，在物理方程相同的情况下，两个现象只要下面的条件相似， 则这两个现象必相似。则这两个现象必相似。 （1 1）几何
42、相似）几何相似 （2 2）时间相似）时间相似（动态或动力学问题要求时间相似）（动态或动力学问题要求时间相似） （3 3）物理参数相似）物理参数相似 （指（指E、密度、密度等相似）等相似） （4 4）边界条件相似）边界条件相似 （5 5）初始条件相似）初始条件相似 （6 6）数学相似）数学相似相似定理中第一定理最重要，因为给出了相似理论的必要相似定理中第一定理最重要，因为给出了相似理论的必要条件。即相似必满足以上条件，但满足此条件不一定相似。条件。即相似必满足以上条件，但满足此条件不一定相似。相似第三定理给出了相似的充分条件，即以上几方面都相相似第三定理给出了相似的充分条件，即以上几方面都相似则
43、两个现象必相似。似则两个现象必相似。相似理论是数学问题，下面把数学中的相似理论应用到弹性结构中。相似理论是数学问题，下面把数学中的相似理论应用到弹性结构中。三、弹性结构的相似性三、弹性结构的相似性例例1 1：悬臂梁结构的相似性。悬臂梁结构的相似性。x截面的弯矩：截面的弯矩：x截面的最大应力：截面的最大应力：x截面的挠度：截面的挠度： xLPxMzzWxLPWxM)()(max)3(6)(2xLEIPxxy悬臂梁自由端受集中力作用时悬臂梁自由端受集中力作用时相似系数：相似系数： mPMMMCmPCmPyyyC mPEEECmPPPPCmPLLLCmPLWWC3mPLIIC4 惯性矩惯性矩抗弯截面
44、模量抗弯截面模量把相似系数代入弯矩、应力和挠度方程把相似系数代入弯矩、应力和挠度方程 )()(mmLmPmMxLCPCxMC)()(mmmMLPmxLPCCCxM弯矩弯矩方程方程 ： ppppxLPxM1MLPCCC相似指标相似指标 应力应力方程方程 ：mLmmLmPmWCxLCPCC3max,)(mmLPmmLLPmWxLPCCCWxLPCCCC)()(23max,pppppppWxLPWxM)()(max,12LPCCC相似指标相似指标 挠度方程：挠度方程：)3(62pppppppxLIExPy)3(6422mmLmLmEmLmPmyxLCICECxCPCyC)3(62mmmmmmLEyP
45、mxLIExPCCCCy相似指标：相似指标： 1MLPCCC12LPCCC1LEyPCCCC相似判据：相似判据： MPLidem 2LPidemyELPidem 判据方程：判据方程： mmmPPPMLPMLPmmmPPPMLPLPM22mmmPPPLPLPmPmmPPLPLP22mmmmPPPPLEyPLEyPmPPmmmPPyLEPLEPy)3(62mmmmmmLEyPmxLIExPCCCCy1LEyPCCCC相似指标相似指标 若要使模型与原型中应力相等若要使模型与原型中应力相等 122PmmPLPLP22mPmPLLPP例例2 2、求解各向同性的弹性结构的应力和变形求解各向同性的弹性结构的
46、应力和变形 一个各向同性的弹性结构要求解其应力和变形时就必须考虑平一个各向同性的弹性结构要求解其应力和变形时就必须考虑平 衡、几何、物理方程和边界条件。利用这些方程和边界条件建衡、几何、物理方程和边界条件。利用这些方程和边界条件建 立相似判据方程。若模型与原型相似，根据相似第一定理，相立相似判据方程。若模型与原型相似，根据相似第一定理，相 似判据为一个不变量，所以根据判据方程式，可得模型与原型似判据为一个不变量，所以根据判据方程式，可得模型与原型 诸物理量之间的关系式。诸物理量之间的关系式。 弹性结构中的相似系数有：弹性结构中的相似系数有：几何相似系数：几何相似系数： ； 应力相似系数：应力相
47、似系数：应变相似系数：应变相似系数： ； 弹性模量相似系数：弹性模量相似系数：mPLLLCmPmPCmpmPCmPEEECmPmmPPLPLP22泊松比相似系数：泊松比相似系数： ； 位移相似系数：位移相似系数：体积力相似系数：体积力相似系数： ； 边界面力相似系数：边界面力相似系数： （分布载荷）（分布载荷）mPCmPCmPfffCmpqqqC 1 1、平衡方程、平衡方程0 xxzxyxfzyx原型（实体）：原型（实体）： 0pppppppfzyx三个平衡方程求出的相似判据均相同三个平衡方程求出的相似判据均相同 代入相似系数：代入相似系数： 0mfmLmmLmmLmfCzCCyCCxCC0m
48、mmmmfLmmfLfzyCCCxCCC相似指标为：相似指标为： ， 相似判据为：相似判据为：1fLCCCLfidem判据方程为：判据方程为： mmmpppfLfLmmmpPpfLfL若不考虑体积力，若不考虑体积力，平衡方程平衡方程 ：0mmmmmmLzyxCC0ppppppzyxLCC任意常数时均符合相似条件任意常数时均符合相似条件 因此不考虑体积力时，平衡微分方程对因此不考虑体积力时，平衡微分方程对 和和 无制约关系，无制约关系，只要其它条件相似，模型中的应力与原型中的应力保持相似。只要其它条件相似，模型中的应力与原型中的应力保持相似。 CLC 2 2、物理方程、物理方程zpyppxppx
49、pE1原型（实体）：原型（实体）： 代入相似系数：代入相似系数： zmymExmEmxmCCCCCCCE11CCCE1CCCCE相似指标：相似指标：1CCCE1Cpm误差是不可避免的，因为模型与原型的材料不同，所以泊松比也不误差是不可避免的，因为模型与原型的材料不同，所以泊松比也不会完全相同。一般情况原型是用金属材料制成的，金属材料的泊松会完全相同。一般情况原型是用金属材料制成的，金属材料的泊松比比 = 0.280.3, , 模型是用环氧树脂材料制成的，而环氧树脂材料模型是用环氧树脂材料制成的，而环氧树脂材料的泊松比的泊松比 = 0.360.38，所以由泊松比引起的误差不会很大。，所以由泊松比
50、引起的误差不会很大。若模型与原型相似，模型材料的泊松比必须若模型与原型相似，模型材料的泊松比必须与原型材料的泊松比相同，否则将带来误差。与原型材料的泊松比相同，否则将带来误差。Eidem mmmpppEE相似判据：相似判据： 判据方程：判据方程：mmPPmpEE 3 3、几何方程：、几何方程：xUxppxpxU原型（实体）：原型（实体）： mLmxmxCUCCmmLxmxUCCC代入相似系数：代入相似系数： 相似指标：相似指标： 相似判据：相似判据：1CCCLLidemmmmpppLL判据方程：判据方程：mmmpppLLxVyxVyUxy4 4、边界条件：、边界条件：xzxyxxnmlqxzp
