1、简谐激励下强迫振动的响应特性简谐激励下强迫振动的响应特性强迫振动的几种形式强迫振动的几种形式强迫振动的运动方程强迫振动的运动方程取不同形式时，振动特点不同取不同形式时，振动特点不同其中简谐激励为最简单的激励形式其中简谐激励为最简单的激励形式单自由度运动微分方程的一般形式单自由度运动微分方程的一般形式)()()(txtxtxph其中其中, 为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 为方程的特解为方程的特解 运动微分方程的解运动微分方程的解 简谐激励下的响应简谐激励下的响应)(txh)(txp（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）振动的时域波形振动的时域波形一、无阻尼情形一、
2、无阻尼情形无阻尼情形的运动方程无阻尼情形的运动方程瞬态解的一般形式：瞬态解的一般形式：稳态解的一般形式：稳态解的一般形式：代入运动方程，得到振幅：代入运动方程，得到振幅：因此，总振动的一般形式为：因此，总振动的一般形式为：放大系数与静位移放大系数与静位移总振动方程中总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数代入初始条件，可求得待定常数 得到总振动的表达式得到总振动的表达式振幅放大系数（幅值比）振幅放大系数（幅值比）静位移静位移无量纲频率比无量纲频率比稳态解的振幅稳态解的振幅 X 通常可表达成通常可表达成211stXr0/stFk/nr 其中：X无阻尼系统幅频特性无阻尼系统幅频特性稳态解的分段响应
3、特性稳态解的分段响应特性总响应总响应共共 振振由罗比塔法则由罗比塔法则00( )cossinsin2stnnnnnxtx txttt 此时此时Case 4: n 设激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近000 xx，则：令， 为一小正数。则：2n2n224n2n因此有：激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近 0/sinsin2Fmx ttt0/sin2Fmt可变幅值可变幅值幅值变化周期为2/ 出现拍的现象出现拍的现象激励频率与固有频率接近激励频率与固有频率接近拍振周期拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间：两零幅值点或最大幅值点对应的时间222bn拍频拍频：2(:)bnbnor
4、fff 拍的现象拍的现象tFxkxmsin0 txxsin 1, 1, 10Fkm1.121.061.11.8Period of beating:?Max. Amplitude: ?拍的现象拍的现象激励频率与固有频率比不同时的情况激励频率与固有频率比不同时的情况mgmkcxokFFcF如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.如果如果F F( (t t)=10sin(20)=10sin(20t t)(N), )(N), 所有初条所有初条件为零件为零, , 求系统响应求系统响应x x( (t t)=?)=?Solution The equatio
5、n of motion: 5200010sin20 xxtn200020 rad/s5例（例（1）mgmkcxokFFcF tctcttx20sin20cos212 tctcttctctx20cos20sin2020sin20cos21212 tctcttctctx20sin20cos40020cos20sin4021212 ttctcttctcttctc20sin1020sin20cos200020sin20cos200020cos20sin20021212102c)m(05. 0200101cParticular solution:Substitute above equations in
6、 equation of motion to obtain例例 （1） tttBtAtx20cos05. 020sin20cosThe solution: 000Ax 20 cos200.05cos20sin20 x tBtttt 0.05000.0025 (m)20 xBA and B are determined using the initial conditionsHence, the complete response of the undamped system is 0.0025sin200.05 cos20mx tttt例（例（1）The solution: 0.0025sin
7、200.05 cos20mx tttt例（例（1）二、有阻尼情形二、有阻尼情形运动方程一般形式运动方程一般形式假设稳态解形式并代入运动方程得假设稳态解形式并代入运动方程得用三角函数公式展开用三角函数公式展开令两边同谐波项相等令两边同谐波项相等幅频特性幅频特性相频特性相频特性稳态稳态和瞬和瞬态问态问题！题！全解！全解！无量纲化无量纲化振幅放大系数（幅值比）振幅放大系数（幅值比）式中：力函数和响应相位差力函数和响应相位差 Vector relationshipExcitationF(t)F00oRestoringkX0Lag F(t) DampingExceed x (t) 90oInertiam
8、2X0Exceed x (t) 180ocx 2xm 稳态响应的相位特性稳态响应的相位特性cX0kx(Stiffness domination)212arctan2222112220021kFX000,1,0,FXk 稳态响应的稳态响应的低频低频特性特性r0stX（习惯表达方式）（外力主要与弹性力平衡）（外力主要与弹性力平衡）若若(Inertia domination)212arctan2222112220021kFX200022,0,nFFXkm 稳态响应的稳态响应的高频高频特性特性（外力主要与惯性力平衡）（外力主要与惯性力平衡）(Damping domination)212arctan22
9、22112220021kFX00011,222FFXkc 稳态响应的共振特性稳态响应的共振特性（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）1max1222112dn0212821232222222221122120221 2 21 2122222max1212142111振幅达到最大值时的频率振幅达到最大值时的频率受迫振动峰值并不出现在阻尼受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移，略向左偏移， 对于小阻尼对于小阻尼 (i.e., for light damping).2121n22211nd1n
10、dpeak2arctanckmpeakdn相位特性和振幅一样，相位特性和振幅一样，振幅达到最大值振幅达到最大值时的频率时的频率0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx2arctanmkc自由振动自由振动 受迫振动受迫振动相位差特性相位差特性相频曲线相频曲线总响应总响应（1）当外激励）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N), 求系统的稳态响求系统的稳态响应应x2(t)=?（2）当）当 F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零，而所有的初值条件为零，即即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应求瞬态解及总响应 x(t)?当当 t = 1 s,
11、2 s, 3 s时，瞬态响应时，瞬态响应x1(t) 的幅值及稳态响的幅值及稳态响应应 x2(t)的幅值的幅值 mgmkcxokFFcF如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.例例 （2）作受力分析图作受力分析图kFFcFmmgmgmkcxokFFcF例例 （2）代入 m=5kg, c=20Ns/m, and k=2000N/m.tFxkxcxmsin0 n20 (rad/s)km100.52022211.32210.520.50.1200.12002cmkF(t)=10sin(10t) ，2dn119.9(rad/s)例例 （2）00FXk
12、3101.3226.61 10 (m)2000222 0.5 0.1arctanarctan0.133rad10.5ckm 26.61 sin 100.133mmxtt例例 （2） 133. 0sin61. 60A，mm87. 0133. 0sin61. 6A tBtAtxtdd2sincose2 133. 010cos1 .66cossinedddd2ttBtAt 133. 0cos1 .669 .1920BA mm2 . 39 .19/133. 0cos1 .662AB 2ddecossin6.61sin 100.133tx tAtBtt例例 （2）1x 2e0.87 cos 19.93.
13、2 sin19.9tx ttt6.61 sin 100.133mmt23.32ecos 19.91.316.61sin 100.133mmttt例例 （2）注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！ ttxtd21cose316. 3 mm133. 010sin61. 62ttxAmplitude of x2(t) =6.61mmt=1s, Amplitude of x1 = 0.45mmt=2s, Amplitude of x1 = 0.061mmt=3s, Amplitude of x1 = 810-3mm例例 （2）衰减有、无阻尼系统对比有、
14、无阻尼系统对比无阻尼无阻尼有阻尼有阻尼无阻尼系统的无阻尼系统的幅频响应曲线幅频响应曲线一般激励下的响应特性一般激励下的响应特性冲量作用下的单自由度系统响应冲量作用下的单自由度系统响应考虑具有粘性阻尼的弹簧考虑具有粘性阻尼的弹簧 - 质量系统在质量系统在 t = 0 时受到一个单位冲量作用时受到一个单位冲量作用:对冲量的响应对冲量的响应对于欠阻尼系统，其运动方程为对于欠阻尼系统，其运动方程为则系统的瞬态响应为则系统的瞬态响应为其中其中对冲量的响应对冲量的响应如果质量块在冲量作用之前静止，即如果质量块在冲量作用之前静止，即则系统的初始条件变为则系统的初始条件变为系统的响应为系统的响应为我们有我们有
15、:称为称为 单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数对冲量的响应对冲量的响应如果冲量的大小是如果冲量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 变为变为此时系统的响应成为此时系统的响应成为冲量及响应如右图所示。冲量及响应如右图所示。如果冲量如果冲量 是作用在任意时刻是作用在任意时刻 处，处，则该时刻速度变化为则该时刻速度变化为 。假设冲量。假设冲量作用前作用前 ，则系统响应为，则系统响应为 脉冲发生的时刻脉冲发生的时刻对任意外力的作用，可将任意力看成对任意外力的作用，可将任意力看成是一系列大小变化的冲量组成的。是一系列大小变化的冲量组成的。对一般力的响应对一般力的响应假设在假设在 时刻，力时
16、刻，力 在很短的在很短的时间时间 作用在系统上，则在这一时刻作用在系统上，则在这一时刻的冲量就是的冲量就是 ，对于任意时刻，对于任意时刻 ，冲量发生的时间为冲量发生的时间为 ，则该冲量在，则该冲量在 时刻引起的系统的响应为时刻引起的系统的响应为:则系统在则系统在 t 时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的响应的叠加：响应的叠加：对一般力的响应对一般力的响应将单位脉冲响应函数的表达式代入，得将单位脉冲响应函数的表达式代入，得式中的积分称作式中的积分称作 杜哈梅积分杜哈梅积分 或或 卷积卷积令令 ，并用积分代替求和，可得，并用积分代替求和，可得上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励 的响应。的响应。例子例子例子例子有阻尼系统，套用杜哈梅积分公式无阻尼系统有例子例子小小 结结p强迫振动与自由振动的区别p强迫振动解的一般形式：稳态解+瞬态解p稳态解在不同无量纲频段的表现形式p有阻尼时的表现形式p无阻尼时的拍振现象（激励频率接近固有频率）p共振现象p一般激励下响应的求取作业作业(page 42,43)2-7, 2-10, 2-14
