1、2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场和金属电子气体中的应用。和金属电子气体中的应用。一、玻色分布和费米分布一、玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布可写为玻色分布和费米分布可写为2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计相应的宏观条件可表为相应的宏观条件可表为:1lllae（8.1.1)1lllNe1llllEe(8.1.2) 其中其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号表示对粒子的所有能级求和，式中的正
2、号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。对应于费米分布，负号对应于玻色分布。l2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布由式由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件可以看出，如果满足条件e 1(8.1.3)(8.1.4)lllae 式式(8.1.3)满足时，显然有满足时，显然有lla 1（对所有（对所有l） (8.1.5)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 由此可见，式由此可见，式(8.1.3)和和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。都是非简并性条件的表达式。 当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过
3、当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。渡到玻耳兹曼分布。1.巨配分函数巨配分函数: 由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系配分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统的巨配分函数表达式统的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。其详细推导在下一章给出。二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式2022-6-6第八章 玻
4、色统计和费米统计 将将(8.1.2)中的两个式子分别写为；中的两个式子分别写为；式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。引入函数：引入函数：llle 1(8.1.8)l1llllNae(8.1.6) 1lllllllUae (8.1.7)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计其中其中,是系统的巨配分函数。对是系统的巨配分函数。对取对数，得取对数，得:lnln()llle 1(8.1.9) 式式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。色分布。2.热力学公式热力学公式: 按照统计物理处理问
5、题的一般程序，在计算出配分按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 由于玻色和费米分布的热力学公式与巨由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正则分布的热力学公式相同，所以，这里先正则分布的热力学公式相同，所以，这里先给出其表达式，详细推导在下一章介绍。给出其表达式，详细推导在下一章介绍。 平均粒子数平均粒子数:lnN (8.1.10)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 内能内能:ln U (8.1.11) 广义力广义力:ln1Yy (8.1.12)上式的
6、一个重要特例是压强上式的一个重要特例是压强:lnpV 1(8.1.13)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 熵熵:(lnlnln)Sk (8.1.14) 巨热力势巨热力势: lnJkT (8.1.15) 只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面的热力学公式得到相应的热力学量。的热力学公式得到相应的热力学量。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 一般气体满足非简并性条件一般气体满足非简并性条件e1 可用玻可用玻耳兹曼分布来处理。耳兹曼分布来处理。 如果如果e很小，但又不能被忽略，则此情形很小，但又不能被忽略，则此情形被称为被称为弱简并弱简
7、并，从中初步显示玻色气体和费米，从中初步显示玻色气体和费米气体的差异。气体的差异。 弱简并情形下我们可以近似地用积分来处弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时理问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气讨论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。体，下面的符号适用于玻色气体。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 在体积在体积V内，能量在内，能量在-+d内的粒子的可能微观状内的粒子的可能微观状态数为态数为 2221()2xyzpppm3/21/232( )d(2 )dVDgmh 其中
8、，其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度，是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度，D()是态密度是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋投影，投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。 考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计系统的总粒子数和总能量为系统的总粒子数和总能量为:1lllNe1llllUe 近似用积分来处理，作对
9、应：近似用积分来处理，作对应：0( )dllD3/21/232( )d(2 )dVDgmh代入自由粒子气体的代入自由粒子气体的D()d的表达式的表达式2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计323/2302d(2 )1VUgmhe1/23/230d()VNgmhe221有有引入变量引入变量x=, 上面两个式子可改写为：上面两个式子可改写为：1/23/230d()xVxxNgmkThe221323/2302d(2)1xVxxUgmkTKThe 将被积函数的分母展开：将被积函数的分母展开：111(1)xxxeee 在在 小的情形下，小的情形下， 是一个小量，可利用下面的公式展开：是一个小量，可利
10、用下面的公式展开：exe2111yyyeee 只取头两项，可得：只取头两项，可得：111xxxeee 2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计3/223/21e1e2mkTNgVh23/225/231e1e22mkTUgVkTh2将上面两式相除，得：将上面两式相除，得：3/2311e22UNkT利用附录利用附录C的积分公式可得：的积分公式可得：2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计考虑到考虑到e-很小，近似用玻耳兹曼分布的结果很小，近似用玻耳兹曼分布的结果3/2212lNNheZVmkTg代入前面的公式中，得：代入前面的公式中，得：3/223/231 1122g2NhUNkTVmkT20
11、22-6-6第八章 玻色统计和费米统计3/223/231 1122g2NhUNkTVmkT讨论：讨论：上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能；上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能；第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微观粒子的全同性原理有关。观粒子的全同性原理有关。费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表现出吸引作用；现出吸引作用；2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 诺贝尔奖自诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人
12、所公认年颁发以来，一直是世人所公认的最高荣誉奖项。的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学在它的六个奖项中，物理学、化学和医学（或生理学）奖尤为引人注和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈目。下面我们谈谈物理学奖的概况。物理学奖的概况。2019年是诺贝尔年是诺贝尔 奖颁发百年纪念，奖颁发百年纪念，因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义，义，Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于以及各种媒体都先后聚焦于10月月9日。日。美国麻省理美国麻省理 工学院（工学院（MIT）的）的Wolfgang Ketterle（沃（
13、沃尔夫冈尔夫冈克特勒）和科罗拉多大学克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理（实验天文物理学联合学院）研究所的学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔（卡尔维曼），维曼），Eric Cornell（埃里克（埃里克康奈尔）因实验上实现玻色爱康奈尔）因实验上实现玻色爱因斯坦凝聚（简称因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔现象而分享了本年度诺贝尔物理学奖。物理学奖。 2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计Wolfgang Ketterle沃尔夫冈沃尔夫冈克特勒克特勒 Eric A. Cornell埃里克埃里克康奈尔康奈尔Carl E. Wieman 卡尔卡尔维曼维曼201
14、9年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖 以表彰他们根据玻色爱因斯以表彰他们根据玻色爱因斯坦理论发现了一种新的物质状态坦理论发现了一种新的物质状态“碱金属原子稀薄气体的玻色碱金属原子稀薄气体的玻色爱因斯坦凝聚（爱因斯坦凝聚（BEC）”。 BEC是物质的一种奇特的状态，处于这是物质的一种奇特的状态，处于这种状态的大量原子的行为种状态的大量原子的行为 像单个粒子一样。像单个粒子一样。打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突然指挥然指挥 官发令官发令“向东齐步走向东齐步走”，于是所有，于是所有的士兵像一个士兵一样整齐的向东的士兵像一个士兵一样整齐的向东 走去。走去。如果
15、将士兵缩小到原子尺度，以至于分辨不如果将士兵缩小到原子尺度，以至于分辨不出谁是谁，我们便看到了出谁是谁，我们便看到了“BEC”。那为什。那为什么冠以玻色爱因斯坦的名字呢？有这样一么冠以玻色爱因斯坦的名字呢？有这样一 段插曲。段插曲。 1924年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文，提出篇论文，提出 了一种新的统计理论，它与传统的统计理论了一种新的统计理论，它与传统的统计理论仅在一条基本假定上不同。仅在一条基本假定上不同。 传统统计理论假定一个体系中传统统计理论假定一个体系中所有的原子（或分子）都是可以辨别的，所有的原子（或分子）都是可以辨别的，
16、我们可以给一个我们可以给一个原子取名张三，另一个取名李四原子取名张三，另一个取名李四，并且不会将张，并且不会将张 三认三认成李四，也不会将李四认成张三。基于这一假定的传统理成李四，也不会将李四认成张三。基于这一假定的传统理论圆满论圆满 地解释了理想气体定律，可以说取得了非凡的成功。地解释了理想气体定律，可以说取得了非凡的成功。然而玻色却挑战然而玻色却挑战 了上面的假定，认为在原子尺度上我们根了上面的假定，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子本不可能区分两个同类原子 （如两个氧原子）有什么不同。（如两个氧原子）有什么不同。接着，玻色讨论了如下一个问题（这接着，玻色讨论了如下一个问题（这
17、 个问题所有高中生都个问题所有高中生都做过）：将做过）：将N个相同的小球放进个相同的小球放进M个标号为个标号为1、2、M的箱子中，假定箱子的容积足够大，有多少种不同的放法？的箱子中，假定箱子的容积足够大，有多少种不同的放法？在此问在此问 题的基础上，采用传统统计相似的作法，玻色便得题的基础上，采用传统统计相似的作法，玻色便得到了一套新的统计到了一套新的统计 理论。理论。 玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，迅速帮玻色译成德文发迅速帮玻色译成德文发 表。随后将玻色的理表。随后将玻色的理论用于原子气体中，进而推测在足够低的温论用于原子气体中，进而推测在足够低的温
18、度下，度下， 所有原子有可能处在相同的最低能态所有原子有可能处在相同的最低能态上，所有原子的行为像一个粒上，所有原子的行为像一个粒 子一样。后来子一样。后来物理界将这种现象称为玻色爱因斯坦凝聚。物理界将这种现象称为玻色爱因斯坦凝聚。值得注意值得注意 的是，这里的的是，这里的“凝聚凝聚”与日常生活与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状中的凝聚不同，它表示原来不同状 态的原子态的原子突然突然“凝聚凝聚”到同一状态。到同一状态。 爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴趣。然而实现兴趣。然而实现BEC 的条件极为苛刻和的条件极为苛刻和“矛盾矛盾”：一方面希望达
19、到极低的温度，另一方面一方面希望达到极低的温度，另一方面 还要求原还要求原子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷；子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷；而斯坦福大学华裔物理学家朱棣而斯坦福大学华裔物理学家朱棣 文、法国巴黎高文、法国巴黎高等师范学校的等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局和美国国家标准局的的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有效效 的制冷方法，他们三人因此分享了的制冷方法，他们三人因此分享了2019年度诺年度诺贝尔物理学奖。贝尔物理学奖。1976年，年， Nosanow和和Stwalley证明证明在
20、任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保 持持气态，则为实现第二个要求提供了希望。气态，则为实现第二个要求提供了希望。 但遗憾的是，众多的实验物理但遗憾的是，众多的实验物理学家将自旋极化的氢原子气体降温，学家将自旋极化的氢原子气体降温， 并未观察到并未观察到BEC现象。于是现象。于是Wieman和和Cornell开始将兴趣转向开始将兴趣转向碱金属原碱金属原 子气体，子气体，2019年，他们年，他们将铷原子限制在磁阱中进行激光冷将铷原子限制在磁阱中进行激光冷却首次成功却首次成功 的观察到原子气的的观察到原子气的BEC现象。同年，现象。同年，MIT的的Kett
21、erle也在钠原子气中实也在钠原子气中实 现了现了BEC。BEC的实现不仅在基础研究方面具的实现不仅在基础研究方面具有重大意义，还可能在有重大意义，还可能在 “原子芯原子芯片片”和量子计算机等方面有广泛的和量子计算机等方面有广泛的应用前景。因此应用前景。因此2019年的诺年的诺 贝尔贝尔物理学奖授予物理学奖授予Wieman、Cornell和和Ketterle以表彰他们在以表彰他们在BEC实验实验 方方面的开创性工作。面的开创性工作。 从实现从实现BEC的历程来看，有以下两个的历程来看，有以下两个必备的客观条件：首先是理必备的客观条件：首先是理 论准备（玻色论准备（玻色和爱因斯坦的工作），其次是
22、实验手段的进和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进步（朱棣文步（朱棣文 等人的工作）。剩下的就是个等人的工作）。剩下的就是个人的素质了，要有眼光，走对路（人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman、 Cornell和和Ketterle选择碱金属原子气体作为选择碱金属原子气体作为冷却的对象）。这样看来，冷却的对象）。这样看来， 诺贝尔物理学诺贝尔物理学奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？我们在这里谈几点：我们在这里谈几点： 思想开放，不迷信权威思想开放，不迷信权威。创新就是要打。创
23、新就是要打破某些已有的定论，因循破某些已有的定论，因循 守旧，盲从权威是守旧，盲从权威是不可能有所创新的。中国的知识分子经历了不可能有所创新的。中国的知识分子经历了太多的太多的 苦难以及封建思想的残余，以至于思苦难以及封建思想的残余，以至于思想里保守成分多，权威意识过强，想里保守成分多，权威意识过强， 传统教育传统教育中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。 科学文化的沉淀。科学文化的沉淀。任何重大创新不是任何重大创新不是凭空冒出来的，创新必须以凭空冒出来的，创新必须以 继承已有的优继承已有的优秀科学成果和思想方法为前提，这种科学秀科学成果和思想方法为前提，这种科学
24、文化需要长时文化需要长时 间的积累。而中国内地真正间的积累。而中国内地真正科学文化的萌芽起于科学文化的萌芽起于1919年的五四运动，年的五四运动， 后来又受文革的严重冲击，因此真正的科后来又受文革的严重冲击，因此真正的科学文化沉淀也就学文化沉淀也就20来年时间，来年时间， 比起西方三比起西方三四百年简直是小菜。四百年简直是小菜。 热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据中科院中科院2019年科学发展年科学发展 报告统计，诺贝尔物理报告统计，诺贝尔物理学奖得主作出代表性工作的平均年龄为学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁，岁， 他们从很小就开始对物理学感兴趣并
25、一直钟爱他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱着物理学。他们能如此着物理学。他们能如此 执著，一方面是经济条执著，一方面是经济条件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是 以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更乐意将学生培养成标准乐意将学生培养成标准 的螺丝钉，学生本人则的螺丝钉，学生本人则很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响 下立刻便沉到下立刻便沉到“海海”里去了。里去了。 总之，诺贝尔物理学奖是在继承前人优总之，诺贝尔物理学奖是在继承前人优秀的成果基础上的重大创秀的
26、成果基础上的重大创 新，目前中国内地新，目前中国内地并不具备上述创新的条件。但值得庆幸的是，并不具备上述创新的条件。但值得庆幸的是，自改自改 革开放以来，思想界也有所解放，国家革开放以来，思想界也有所解放，国家对科学重视程度提高，国际交对科学重视程度提高，国际交 流与合作也日流与合作也日益广泛和深入，经过漫长时间的努力，中国益广泛和深入，经过漫长时间的努力，中国大陆有大陆有 望出现诺贝尔物理学奖。望出现诺贝尔物理学奖。 今天称之为玻色今天称之为玻色-爱因斯坦凝聚的物理现爱因斯坦凝聚的物理现象是七十年前由爱因斯坦和玻色预言的宏观象是七十年前由爱因斯坦和玻色预言的宏观量子效应量子效应 。2019
27、年年 5 月在美国科罗拉多大月在美国科罗拉多大学和美国国家标准局的联合天体物理实验室学和美国国家标准局的联合天体物理实验室（JILA）里首次被人们观测到。）里首次被人们观测到。 不久以后，不久以后，Rice大学和大学和 MIT的研究小组相继报道了类似的研究小组相继报道了类似的发现。的发现。 在在 2019 年底年底, 这个重要发现被国这个重要发现被国际合众社评为际合众社评为“十大国际科技新闻十大国际科技新闻” 。 人人们宣称们宣称, “终于得到了物质的第五种状态终于得到了物质的第五种状态” 宏观量子态。宏观量子态。 上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质
28、，初步看到了由微观粒子全同性带来的的性质，初步看到了由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱简量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱简并的情形下并的情形下 小，影响是微弱的。在本节中小，影响是微弱的。在本节中我们将会看到，当理想玻色气体的我们将会看到，当理想玻色气体的 等于或等于或大于大于2.612的临界值时将出现独特的玻色的临界值时将出现独特的玻色-爱因爱因斯坦凝聚现象。这是爱因斯坦于斯坦凝聚现象。这是爱因斯坦于1925年在理论年在理论上首先预言的。上首先预言的。3n3n2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计1lllkTae 考虑由考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的
29、系统，个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为温度为T，体积为，体积为V。为明确起见，假设粒子的自旋。为明确起见，假设粒子的自旋为零，它服从下列玻色分布为零，它服从下列玻色分布11llkTlea 或写为或写为 即要求对所有能级均有：即要求对所有能级均有：1lkTe两边取对数得：两边取对数得：0lkT以以 表示粒子的最低能级，这个要求也可以表示为：表示粒子的最低能级，这个要求也可以表示为：00 这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。最低能级的能量。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计ln1llkTa显然，上式左边也应大于零。所以
30、必有显然，上式左边也应大于零。所以必有0(8.3.1)00当当 时，上式可写为：时，上式可写为： 由玻色分布，粒子数密度可写为由玻色分布，粒子数密度可写为11lllkTNnVVe(8.3.2)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计3/21/232(2 )dVmh 为方便起见为方便起见,采用经典近似描述。则粒子能量在采用经典近似描述。则粒子能量在到到d范围内的量子态数为范围内的量子态数为:1/23/230d()kTVNmhe 221系统的总粒子数为：系统的总粒子数为：粒子数密度为：粒子数密度为：1/23/230d()kTNnmVhe221(8.3.3)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统
31、计 由式由式(8.3.3)可以看出，等式左边是常数，所以右边可以看出，等式左边是常数，所以右边T和和的变化也应保持其积分结果为常数。由于的变化也应保持其积分结果为常数。由于是负值，是负值，当当T升高时，升高时，降低（或绝对值增大）。反过来，降低（或绝对值增大）。反过来，随随T降降低而增加。当低而增加。当T降到某一临界值降到某一临界值Tc时，时，将趋于零。此时将趋于零。此时的粒子数密度公式可写为：的粒子数密度公式可写为：1/23/2302d(2 )1ckTnmhe(8.3.4)1/23/230d()kTNnmVhe2212022-6-6第八章 玻色统计和费米统计1/23/2302d(2)1cxx
32、xnmkThe (8.3.5)1/20d2.61212xxxe利用积分公式利用积分公式cxkT代入上式，代入上式，得得令令代入式代入式(8.3.5)，得临界温度为得临界温度为:22/32/32()cTnmk2.612(8.3.6)分析分析:温度低于温度低于TC时会出现什么现象呢？时会出现什么现象呢？ 前面的讨论指出，温度愈低时前面的讨论指出，温度愈低时 值愈高，但在任何值愈高，但在任何温度下温度下 必是负的。由此可知在必是负的。由此可知在 时，时， 仍趋于仍趋于-0.但但这时（这时（8.3.3）左方将小于）左方将小于n，与，与 为给定的条件矛盾。为给定的条件矛盾。CTTNnV2022-6-6第
33、八章 玻色统计和费米统计 考虑到在低温下玻色子处在能级考虑到在低温下玻色子处在能级0的数目是的数目是不能忽略的不能忽略的,因此在因此在TTc时时, 应将式应将式(8.3.4)改写为改写为:1/23/20302d( )(2 )1kTnn Tmhe (8.3.7)产生这个矛盾的原因是：产生这个矛盾的原因是：我们用式（我们用式（8.3.3）的积分代替）的积分代替（8.3.2）的求和。由于状态密度中含有因子）的求和。由于状态密度中含有因子 ，在将式，在将式（8.3.2）改写成（）改写成（8.3.3）时，）时， 的项就被舍弃掉了。由的项就被舍弃掉了。由式（式（8.3.2）可以看出，在）可以看出，在 以上
34、以上 为负的有限值时，处为负的有限值时，处在能级在能级 的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在 以下以下 趋趋于于-0时，处在能级时，处在能级 的粒子数将是很大的数值，不能的粒子数将是很大的数值，不能忽略。忽略。0CT0CT02022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 现在来计算式现在来计算式(8.3.7)中的第二项。令中的第二项。令x=/kT，并将，并将式式(8.3.5)代入，得代入，得 :1/ 23 / 20302d(2)1kTnmhe1 / 23 / 2302d(2)1xxx
35、m kThe3 / 2cTnT(8.3.8)0n 其中其中,右边第一项是温度为右边第一项是温度为T时处在能级时处在能级0的粒子的的粒子的数密度；数密度； 第二项是处在激发能级第二项是处在激发能级0的粒子的数密的粒子的数密度度 。在第二项中已取极限。在第二项中已取极限 。0 2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 将式将式(8.3.8)代入式代入式(8.3.7),可求得温度为可求得温度为T时处在最低时处在最低能级能级0上的粒子数密度：上的粒子数密度：3/20( )1cTn TnT(8.3.9) 图图8-3-3给出了给出了n0 / n与与T /Tc的的变化关系。可以看出，变化关系。可以看出，T
36、Tc时，时，处在最低能级处在最低能级0的粒子数密度的粒子数密度n0与总粒子数密度与总粒子数密度n接近，说明此接近，说明此时大部分粒子都处在最低能级上。时大部分粒子都处在最低能级上。此称为玻色爱因斯坦凝聚，此称为玻色爱因斯坦凝聚，Tc称为凝聚温度。称为凝聚温度。图图 8-3-3讨论：讨论： 3/20( )1cTn TnT1. 时，时， ； 时，时， ，粒子几乎全，粒子几乎全部聚集于基态，称为部聚集于基态，称为BEC现象。现象。CTT nTn)(0CTT nTn)(0 2.BEC现象是动量空间的凝聚，与真实空间不同。现象是动量空间的凝聚，与真实空间不同。 3.产生原因：不受泡利原理限制，（所以费米
37、系不可能产产生原因：不受泡利原理限制，（所以费米系不可能产生生BEC现象）现象）2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计323/2302d(2 )1kTVUmhe3/23/25/2302d(2 )()1xVxxmkThe 在在TTc时，理想玻色气体的内能只是时，理想玻色气体的内能只是能级能级0的粒子的能量之和。计算如下的粒子的能量之和。计算如下:2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计定容热容量为定容热容量为: : 3/251.9252VVcUUTCNkTTT（8.3.11）3/20.77cTUNkTT可得可得(8.3.10)3/20d31.34114xxxe利用积分公式利用积分公式 上式
38、说明，理想玻色气体的定容热容量上式说明，理想玻色气体的定容热容量 在在T TTcTc时与时与 成正比；在成正比；在T TTcTc时，时， 达到最大值达到最大值, ,而在高温时而在高温时趋于经典值趋于经典值 。图。图8-3-4给出了二者的变化关系。给出了二者的变化关系。Nk23vcVC32T2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计图图 8-3-4 理想玻色气体热容量随温度的理想玻色气体热容量随温度的变化曲线使人们想到了液氦的正常变化曲线使人们想到了液氦的正常相和超流相之间的相和超流相之间的相变。由于图相变。由于图8-3-4中曲线的形状与中曲线的形状与相变相似，加相变相似，加之之4He 是玻色子
39、，才使得人们猜测是玻色子，才使得人们猜测4He 的的相变可能是在粒子之间有相相变可能是在粒子之间有相互作用情形下的玻色爱因斯坦凝互作用情形下的玻色爱因斯坦凝聚。聚。 前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和特性和 时理想玻色气体出现的凝时理想玻色气体出现的凝聚现象。所讨论的系统具有确定的粒子数。聚现象。所讨论的系统具有确定的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的。射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的。这是玻色统计的重要应用。这是玻色统计的重要应用。32.612n2022-6-6第
40、八章 玻色统计和费米统计 早在早在19世纪世纪60年代，基尔霍夫就开始了对热辐射年代，基尔霍夫就开始了对热辐射问题的研究。他引入了黑体概念，并利用热力学第二定问题的研究。他引入了黑体概念，并利用热力学第二定律证明了黑体辐射（也即平衡辐射）的内能密度和内能律证明了黑体辐射（也即平衡辐射）的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关。密度的频率分布只与温度有关。 1879年，斯忒藩年，斯忒藩（J. Stefan）仔细研究了当时已有仔细研究了当时已有的测量结果，得出了辐射的内能密度与绝对温度的四次的测量结果，得出了辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比的结论。方成正比的结论。 此后，人们又根据经典统计
41、理论的能量均分定理此后，人们又根据经典统计理论的能量均分定理讨论了这一问题，所得内能的频率分布在低频范围内讨论了这一问题，所得内能的频率分布在低频范围内与实验符合，在高频（紫外）范围与实验不符。与实验符合，在高频（紫外）范围与实验不符。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 更为严重的是，根据能量均分定理，有限温更为严重的是，根据能量均分定理，有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的。这度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的。这是对经典理论的严重挑战，历史上称之为是对经典理论的严重挑战，历史上称之为“紫外紫外线灾难线灾难”。 1900年底，普朗克在一次学术会议的演讲中年底，普朗克在一次
42、学术会议的演讲中首次引入能量子概念，并以此得出了一个能够完首次引入能量子概念，并以此得出了一个能够完满解释实验结果的辐射能量分布公式，即著名的满解释实验结果的辐射能量分布公式，即著名的普朗克公式。本节根据量子理论，从粒子的观点普朗克公式。本节根据量子理论，从粒子的观点出发，由玻色分布导出黑体辐射的普朗克公式，出发，由玻色分布导出黑体辐射的普朗克公式，进而从粒子的观点研究平衡辐射的问题。进而从粒子的观点研究平衡辐射的问题。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看作由大量近独立的光子所组成，并形象地称之作由大量近独立的光子
43、所组成，并形象地称之为为光子气体光子气体。每个光子具有确定的能量、动量。每个光子具有确定的能量、动量和自旋。光子自旋量子数为和自旋。光子自旋量子数为1，相应于两个偏振，相应于两个偏振的投影是的投影是+1和和1。光子的静止质量。光子的静止质量m为零，是为零，是玻色子的一种特殊情况。玻色子的一种特殊情况。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计因为因为m=0，所以有，所以有:cp (8.4.1)其中，其中，c、p和和分别为光速、动量和圆频率。分别为光速、动量和圆频率。22 42 2mcc p按照相对论关系按照相对论关系: : 光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于空光子是玻色子，达到平衡后遵
44、从玻色分布。由于空窖壁不断地发射和吸收光子，所以光子气体中的光子数窖壁不断地发射和吸收光子，所以光子气体中的光子数是不恒定的。在导出玻色分布时只存在是不恒定的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而是常数的条件而不存在不存在N是常数的条件，因而只应引入一个拉氏乘子是常数的条件，因而只应引入一个拉氏乘子 ，而另一个拉氏乘子而另一个拉氏乘子0。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计KT 由于由于 ，这也意味着平衡状态下光子气体的，这也意味着平衡状态下光子气体的化学势等于零。化学势等于零。 根据式根据式（6.2.16）在体积为）在体积为V的空窖内，动量的空窖内，动量p到到pdp范围内光子的量子态
45、数为：范围内光子的量子态数为：23dVpph42(8.4.2) 上式中乘以上式中乘以2是考虑到了光子偏振的两个投影。将是考虑到了光子偏振的两个投影。将式式(8.4.1)代入式代入式(8.4.2)，得体积，得体积V内，圆频率在内，圆频率在到到+d范围内光子的量子态数为：范围内光子的量子态数为：223dVc(8.4.3)2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 ssfe11 根据玻色分布根据玻色分布, ,对于光子，每个量子态的平均光对于光子，每个量子态的平均光子数为：子数为：因此，空窖内圆频率在因此，空窖内圆频率在d范围内的平均光子数为：范围内的平均光子数为：223k TVdce1(8.4.4)
46、 2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 由于每个光子的能量为由于每个光子的能量为 ，在体积为，在体积为V的空窖内，的空窖内，圆频率圆频率d范围的辐射场能量（内能）为：范围的辐射场能量（内能）为：323( , )1kTVUT ddce(8.4.5) 式式(8.4.5)称为黑体辐射的普朗克公式，是普朗克在称为黑体辐射的普朗克公式，是普朗克在1900年得到的，不过推导方法与上述方法不同，在推导该年得到的，不过推导方法与上述方法不同，在推导该式时普朗克第一次引入了能量量子化的概念，这是物理概式时普朗克第一次引入了能量量子化的概念，这是物理概念的革命性飞跃。普朗克公式的建立是量子物理学的起点。念的
47、革命性飞跃。普朗克公式的建立是量子物理学的起点。它给出了辐射场能量按频率的分布，与实验结果完全符合。它给出了辐射场能量按频率的分布，与实验结果完全符合。教材中图教材中图8.4画出了不同温度下上式的图形。画出了不同温度下上式的图形。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计下面讨论两种极限情况：下面讨论两种极限情况：kT1kTekT 1在低频、高温情况下：在低频、高温情况下：223( , )ddVUTkTc(8.4.6)式式(8.4.5)近似为近似为: 上式是瑞利（上式是瑞利（L. Rayleigh）和金斯（）和金斯（J. H. W. Jeans）公式，它是能量均分定理的结果，在低频下适用。公式
48、，它是能量均分定理的结果，在低频下适用。2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计 容易看出，根据式（容易看出，根据式（8.4.6），在有限温度下平衡），在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的（因为辐射的总能量是发散的（因为可取可取0），此即），此即“紫紫外线灾难外线灾难”。在高频和低温情况下在高频和低温情况下kT1kTe1有有323( , )ddkTVUTec此时，可将式此时，可将式(8.4.5)分母中的分母中的1略去，有：略去，有： 这是黑体辐射的维恩（这是黑体辐射的维恩（W. Wien）公式，在高频范）公式，在高频范围适用。围适用。 此结论与维思此结论与维思1896所求得的结果一致，这一公
49、式的所求得的结果一致，这一公式的实质是：实质是： ，随着随着 ， 。即。即 的高频光子几乎不存在。这是由于在温度为的高频光子几乎不存在。这是由于在温度为T的平衡态的平衡态下，要辐射出下，要辐射出 的光子的几率很小。的光子的几率很小。 1KTwhw0).(TwU1KTwhKTwh2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计3230d1kTVUce 将式将式(8.4.5)对所有频率积分，可求得空腔内辐射场对所有频率积分，可求得空腔内辐射场的内能。的内能。引入变量引入变量 ,上式化为上式化为:x/kT 4323x0 xx1VkTUdce01111xxnxnxxxnneeedxeee4433232300
50、11nxnxnnVKTVKTUxedxx edxcc41303106! 3!nndxexandxexnxnaxn利用利用901414nn有有4244234320615nVKTVKUTcnc故故2022-6-6第八章 玻色统计和费米统计24433kUVTc15积分，得：积分，得：或写为或写为:(8.4.8)244433kuTaTc154T 上式表明，空窖辐射的内能密度与上式表明，空窖辐射的内能密度与 成正比，这成正比，这与热力学的结果一致。不同的是，这里给出了比例常与热力学的结果一致。不同的是，这里给出了比例常数数a的具体数值，而在热力学中则只能由实验确定，的具体数值，而在热力学中则只能由实验确
