1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAyxyAAFPDC CDDCFP AAAPAxAyt 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: (1) 刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动
2、力和稳定计算(3）施工要求）施工要求（3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method)一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIM=r1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式) )232)(1)(1yyx =ryx =)(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得yx =EIM)()(
3、 xyM= EI（1）zEIxMx)()(1=r挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程, 1y (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功P=PW21力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功tPW=PCtt (Principle of Virtual Work)二、广义力二、广义力(Generalized force)、广义位移、广义位移(General
4、ized displacement) P= PWMW =MABMMMMMMWBABA=)(PPAB=PPPPWBABA)(（1）质点系的虚位移原理）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和某一位置处于平衡的必要和充分条件是：充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于质点系的主动力所作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚位移原理）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外力。则有：
5、刚体系处于平力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的的虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚体系的所有外力所体系的所有外力所做虚功之和为零。做虚功之和为零。P0= =AX2/PYB= =2/PYA= =23/2023222= = PPP原理的表述：原理的表述： 变形体系处于平衡的必要和充分条件变形体系处于平衡的必要和充分条件是对于任何虚位移，外力虚功总和等于结是对于任何虚位移，外力虚功总和等于结构内力在其相应变形上所做的虚功总和。构内力在其相应变形上所做的虚功总和。或者说外力虚功等于内力虚功。或者说外力虚功等于内力虚功。W外外= =W内内 或或（
6、3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理W外外= =W变变证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理证明证明 （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理刚体？（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功
7、与应变能外力功与应变能（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能以上均为外力实功（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能以上均为（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能1P11122P2122（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 外力功与应变能外力功与应变能（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理122121P1P2dsEI)M(M=1P2P12位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）Wi 的计算的计算:Wi =N+Q+M/dsds
8、 微段变形可看成由如下几部分组成微段变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式）变形体虚功方程的展开式MdMM NdNN QdQQqds微段剪切微段剪切ds微段拉伸微段拉伸ds微段弯曲微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: p64,p65 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态.ABa
9、C(a)bPX(b)PX C (c)直线直线待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态0=CXPX由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：baCX/=将将代入得代入得:abPX/=通常取通常取xX =1单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移
10、状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题0= = BM1= = x例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实际的实际的协协调位移状态调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。ABaCbAC c1ABCAY由由 求得：求得：= 0BMabYA/ = =01=cYAacb/=解得
11、：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-Mohr Method(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。虚功方程为：虚功方程为：1P11122P212
12、21P2P12位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件； 力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。 （3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立. 虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。
