1、青岛理工大学 管理学院母板日期Company Logol白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。l黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 母板日期Company Logol例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重，以及某些内部参数：血压，脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等此
2、外，社会系统，经济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结构做精确地描述人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型这累抽象系统我们称为特征性灰色系统 严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。 社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。母板日期Company Logo灰色系统模型的特点： 对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。 灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它们总是
3、有整体功能的,总是有序的.因此,它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后利用它。母板日期Company Logo常用的灰色预测有五种： （1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所
4、发生的时点。（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。母板日期Company Logol为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。l对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.母板日期Company Logo 累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数
5、列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.母板日期Company Logol【例1】 设原始数据序列7,10,8,3,6)(,),2(),1()0()0()0()0(Nxxxx对数据累加 ：(1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1) 6(2)(1)(2) 6 3 9(3)(1)(2)(3) 6 3+8 1
6、7(4)(1)(2)(3)(4) 6 3+8+10 27(5)(1)(2)(3)(4)(5)6 3+8+10+7xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ，34.母板日期Company Logo于是得到一个新数据序列(1)6,9,17, 27,34x母板日期Company Logol当然，有些实际问题的数列中有负数(例如温度等)，累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚至可能被削弱。例如，给定原始数列X(0)=(1，一1，+3，一4)，如图3，累加后得图4，图4很难说比图3要好。母板日期Company Logol对于这种情形，我们可以
7、先进行移轴，然后再做累加生成。先将原始数据加+4，相当于将横坐标轴向下平移4个单位，得数据X(0)(5，3，7，0)，再进行累加生成，得X(1)(5，8，15，15)，图5表明数列X(1)有较强的规律。母板日期Company Logo 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为. 母板日期Company Logo次累减为次累减为从而有关系式即无累加次累减为式中，i1),53(,0)1()(
8、)()1()()()1()()()()()(10)(1)(1)()()()1()()1()()2()()()()0()()1()()()0(iriririrrrrorrrrkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkx母板日期Company Logo)()()()()()()()()() 1()()1()()()0()()()()()()2()()2() 1(11) 1(1) 1()()()(0)(0)() 1 (kxkxkxkxkxkxkxixixkxkxkCxkxkxrrirrirrrkirkirrrrrr母板日期Company Logo1),1()()()()()()11,11,10, 5
9、 ,4, 5(IGAO11)5()6()6(,611)4()5()5(, 510)3()4()4(,45)2()3()3(, 34)1 ()2()2(,25)1 ()0()1 ()1 (, 10)0(,0)1()()()46,35,24,14,9 , 5()6(),5(),4(),3(),2(),1 (10)0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()1()1()1()1(limtkxkxkxttkxkxdtkdxxxxxkxxxkxxxkxxxkxxxkxxxxkxkkxkx
10、kxxxxxxxxt相当于而有求导性质，这是因为不难看出，累减生成具）（从而有：若解：）（母板日期Company Logo.均均值值生生成成分分为为邻邻均均值值生生成成与与非非邻邻均均值值生生成成两两种种, (1), (2), ( ),( ),( )0.5 ( )0.5 (1),( )Xxxx nkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于等等时时距距的的数数列列, ,用用相相邻邻数数据据的的平平均均值值构构造造新新的的数数据据. .即即若若有有原原始始数数列列记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为邻邻均均值值生生成成数数, ,显显然然, ,这这种种生生成成是是相相邻邻值
11、值的的等等邻邻均均值值生生成成权权生生成成. .母板日期Company Logo, (1), (2), ( ), (1), ( ),( ),( ),( )0.5 (1)0.5 (1),( )Xxxk x kx nkkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于非非等等时时距距的的数数列列, ,或或虽虽为为等等时时距距数数列列, ,但但剔剔除除异异常常值值之之后后出出现现空空穴穴的的数数列列, ,用用空空穴穴两两边边的的数数据据求求平平均均值值构构造造新新的的数数据据以以填填补补空空穴穴, ,即即若若有有原原始始数数据据这这里里为为空空穴穴 记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称
12、为为非非邻邻均均值值生生成成数数, ,显显然然, ,这这种种生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非邻邻均均值值生生成成等等权权生生成成. .母板日期Company Logo 级级比比生生成成是是一一种种常常用用的的填填补补序序列列端端点点空空穴穴的的方方法法. .对对数数列列端端点点值值的的生生成成, ,我我们们无无法法采采用用均均值值生生成成填填补补空空缺缺, ,只只能能采采用用级级比比生生级级比比生生成成. .成成是是级级比比级级比比生生(k(k成成在在建建模模中中可可以以获获得得较较好好的的灰灰) )与与光光滑滑比比 (k)(k)生生成成指指数数律律. .的的总总称称. .(0)(
13、0)(0)(0)(1),(2),( ),(), ( ),XxxxnKk 设设序序列列为为原原始始序序列列称称为为级级比比为为光光滑滑比比 其其表表达达式式为为(0)(0)(0)(1)( )( )/(1)( )( )/(1)(212)kxkxkkxkxk 母板日期Company Logo(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) (1),(2),(1), ( ),(1)(1),( )( ),(1)( )Xxxnnxnxnxxn设设为为端端点点是是空空穴穴的的序序列列 若若用用右右邻邻的的级级比比生生成成用用的的左左邻邻级级比比生生成成则则称称和和为为级级比比生生成成母板日期Company Log
14、o1. 1. 建模原理建模原理给定观测数据列给定观测数据列l经一次累加得经一次累加得(1)(1)dxaxudt+=)(,),2(),1 ()0()0()0()0(Nxxxx)(,),2(),1 ()1()1()1()1(Nxxxx设 满足一阶常微分方程(1)x（2.1） （2.2） （2.3） 母板日期Company Logo 此方程满足初始条件此方程满足初始条件(1)(1)00( )ttxxt当时的解为0()(1)(1)0( )( ).a t tuuxtxteaa(2.3) 对等间隔取样的离散值 (注意到 ）则为 01t (1)(1)(1)(1).akuuxkxeaa(2.4) 灰色建模的途
15、径是一次累加序列（2.2）通过最小二乘法来估计常数a与u. 母板日期Company Logo) 1 ()1(x(1)(1)(1)(2),(3),.,()xxxN, 1) 1(ttt(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(2)(1)(2),xxxxxt (1)(1)(0)(0)(3)()(3),.,().xxNxxNtt(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),(3)(3),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )( ).xaxuxaxuxNaxNu+=+=+= 因 留作初值用，故将 用差分代替微分，
16、又因等间隔取样， 分别代入方程(2.3),故得 类似地有于是，由式（2.3）有 母板日期Company Logo)()1(iax(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),1(3)(3),1()(),1axxuaxxuaxNxNu tx)1()1(x)()1(ix)()(ixi由于 涉及到累加列 的两个时刻的值，因此， 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 替换为 把 项移到右边，并写成向量的数量积形式 (2.5) 母板日期Company Logo将（2.5）写为矩阵表达式(0)(0)(0)T(2),(3),() .yxxxN(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12(1)(1)(0
17、)12(2)(1)1(2)(3)(2)1(3).1()(1)1()xxxaxxxuxNxNxN 令这里，T表示转置.令( )( )1( )(1),(2,3,.,).2iixixiiN(2.6) 母板日期Company Logo(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)12(2)(1)1(3)(2)1,()(1) 1xxaxxUuxNxN 则(7.6)式的矩阵形式为BUy 方程组(7.6)的最小二乘估计为 yBBBuaUTT1)(2.6)(2.7)母板日期Company Logo把估计值 au与代入（7.4）式得时间响应方程 (1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa1,2,1kN当时，由(
18、2.8)式算得的 ) 1()1(kx是拟合值； kN当时，) 1()1(kx为预报值.这是相对于一次累加序列 )1(x的拟合值，用后减运算还原， 1,2,1kN当时，就可得原始序列 )0(x的拟合值 (0)(1)xk ；kN当时，可得原始序列 )0(x预报值.(2.8)母板日期Company Logo 2. 2.精度检验精度检验 (1)(1)残差检验：分别计算残差检验：分别计算母板日期Company Logol（3 3）预测精度等级对照表，见表）预测精度等级对照表，见表7.1.7.1. 母板日期Company Logol由于模型是基于一阶常微分方程（2.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为
19、GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理.l注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（2.3）. 母板日期Company Logo 3.GM(1,1) 3.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，综上所述，GM(1,1)GM(1,1)的建模步骤如下：的建模步骤如下：母板日期Company Logo数列预测母板日期Company Logo数列预测l对系统
20、行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如 粮食产量的预测 商品销售量发展变化的预测 年平均降水量发展变化的预测 人口的预测 货运量的预测 外贸额发展变化的预测l这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。l预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。母板日期Company Logo 【例例】某市某市2001200120052005年火灾的统计数据见下表年火灾的统计数据见下表. . 试建立模型，并对该试建立模型，并对该市市20062006年的火灾发生状况做出预测。年的火灾发生状况做出预测。 表表 某市某市2001200120052005年火灾数据
21、年火灾数据年份年份2001200120022002200320032004200420052005 火灾火灾( (起起) )87879797120120166166161161母板日期Company Logo解解 利用利用MATLABMATLAB软件计算，输出分析数据如下：软件计算，输出分析数据如下：原始数列原始数列( (元素共元素共5 5个个): 87): 87，9797，120120，166166，161161预测结果如下：预测结果如下：1dx/dt+ax=u1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512a=-0.16668512，u=81.11892433u=81.118924332
22、2时间响应方程：时间响应方程： X(k+1)=573.6597X(k+1)=573.6597* *exp(0.1667k)-486.6597exp(0.1667k)-486.659733残差残差 E(k)E(k)： (1)0.00000000 (2)-7.05165921 (1)0.00000000 (2)-7.05165921 (3)-2.92477940 (4)20.77885211 (5)-10.56168104 (3)-2.92477940 (4)20.77885211 (5)-10.56168104 母板日期Company Logo4 4 第一次累加值第一次累加值: (1) 87.0
23、00000 (2) 184.000000 (3) 304.000000 : (1) 87.000000 (2) 184.000000 (3) 304.000000 (4) 470.000000 (5)631.000000 (4) 470.000000 (5)631.000000 5 5 相对残差相对残差e(k)e(k)：(1) 0.00000000 (2) -0.07269752 (3) -0.02437316 (1) 0.00000000 (2) -0.07269752 (3) -0.02437316 (4) 0.12517381 (5)-0.06560050 (4) 0.12517381
24、(5)-0.06560050 6 6 原数据均值原数据均值avg(x)avg(x)：126.20000000126.200000007 7 原数据方差原数据方差 S(1)S(1)：32.3196534632.319653468 8 残差的均值残差的均值avg(E)avg(E)：0.060183120.060183129 9 残差的方差残差的方差 S(2)S(2)：12.2635185112.2635185110 10 后验差比值后验差比值 C C： 0.379444620.3794446211 11 小误差概率小误差概率 P P：1.000000001.0000000012 12 模型计算值模
25、型计算值X(k)X(k)： (1) 87.00000000 (2) 104.05165921 (1) 87.00000000 (2) 104.05165921 (3) 122.92477940 (4)145.22114789 (5) 171.56168104 (3) 122.92477940 (4)145.22114789 (5) 171.56168104 13 13 预测的结果预测的结果X X* *(k)(k)： (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (3) 282.87305194 (4)33
26、4.18119203 (5) 394.79571611 (6) 466.40463669 (3) 282.87305194 (4)334.18119203 (5) 394.79571611 (6) 466.40463669 n预测精度等级：预测精度等级： 合格！合格！ n结果表明：如果该市不采取更有效的防火措施，结果表明：如果该市不采取更有效的防火措施， 20062006年的火灾事故次数约为年的火灾事故次数约为 203 次次. .母板日期Company Logo灾变与异常值预测母板日期Company Logol灾变预测l对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预
27、测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如： 年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾 年平均降水量小于某个阈值是旱灾 年产量大于某个指定值，是丰年 年产量小于某个指定值，是欠年 环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染 人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变 银行存款超出某个值是经济跃变l 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不
28、是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。母板日期Company Logo1. 灾变预测的数学原理与特征 灾变预测与数据预测的不同点，在于它不是预测序列数据的量的变化，而是预测异常值或“灾变”点出现的时间，它是应用灰色区间（间隔）的预测而进行的。所以，灾变预测的基本要求是“定量求时”。灾变预测的数学原理描述如下：母板日期Company Logo母板日期Company Logo母板日期Company Logo3.实际问题旱灾预测l【例】某地年降水量原始数据序列如下表所示，根据多年的时间观测，每当年降水量小于43044
29、0mm时，该地区将发生旱灾.所以，选择阈值=435mm, 利用GM(1,1)模型进行旱灾预报. . 母板日期Company Logo某地年降水量（mm）原始数据母板日期Company Logo母板日期Company Logo母板日期Company Logo母板日期Company Logo拓扑预测母板日期Company Logol拓扑预测（亦称波形预测、整体预测）拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义l对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测。l对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测。l对生产系统
30、来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测。而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。母板日期Company Logol灰色拓扑预测是灰色拓扑预测是 当系统中的原始数据频频波动且摆动幅度较大，往往难以找到适当的模拟模型时所采用的一种根据原始数据预测未来行为数据发展变化的预测方法；其思路是将系统特征值分层次用GM(1，1)模型进行预测，再把分层的结果置于同一 预测面上，连接起来得到预测波形.母板日期Company Logol具体方法如下：母板日期Company Logol例： 母板日期Company Logo母板日期Company Logo母板日期Co
31、mpany Logo母板日期Company Logo系统预测母板日期Company Logol系统综合预测 将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中各环节的行为特征量是系统的中间输出。 系统综合预测，是控制系统动态研究的内容。其预测模型与前述数列预测、灾变预测的不同。它不是一个孤立的GM（1，1）模型，而是一串相互关联的GM（1，N）模型，即控制理论中的状态模型，或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。母板日期Company Logol例：母板日期Company Logol预测结果：青岛理工大学 管理学院
