1、3.2 利用利用DFT做连续信号的频谱分析做连续信号的频谱分析 采样截短DFT)(ajX)(atx( )x n)e(Xj ( )( )( )NNxnx n Rn)(jNeX)(kXNNkjNeX/2)(信号的频谱分析：利用信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱计算连续信号的频谱3.2 利用利用DFT做连续信号的频谱分析做连续信号的频谱分析 信号的频谱分析：利用信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱计算连续信号的频谱3.2 利用利用DFT做连续信号的频谱分析做连续信号的频谱分析 n 理论上，信号的时域长度和频域带宽不可能同理论上，信号的时域长度和频域带宽不可能同时为有限长，时域有限长
2、则带宽无限长，时域无时为有限长，时域有限长则带宽无限长，时域无限长则带宽有限长。限长则带宽有限长。n DFT对应的时域和频域信号都是有限长离散序对应的时域和频域信号都是有限长离散序列，并隐含周期性。列，并隐含周期性。3.2 利用利用DFT做连续信号的频谱分析做连续信号的频谱分析 信号的频谱分析：利用信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱计算连续信号的频谱所以利用所以利用DFT计算连续信号的频谱，需要进行以下计算连续信号的频谱，需要进行以下几步操作：几步操作：（1）频域限带：为满足抽样定理而进行的抗混叠）频域限带：为满足抽样定理而进行的抗混叠 滤波滤波 ，造成时域无限长，造成时域无限长（2
3、）时域抽样：造成频谱的周期延拓，可能产生）时域抽样：造成频谱的周期延拓，可能产生 频谱混叠频谱混叠 （ ）（3）时域截短：造成频谱泄露（频谱的扩散、拖）时域截短：造成频谱泄露（频谱的扩散、拖 尾、变宽）一个周期尾、变宽）一个周期N点点（4）频域抽样：造成时域周期延拓，可能产生时）频域抽样：造成时域周期延拓，可能产生时 域混叠（域混叠（F0fs/N，MN）2shff采样周期延拓频谱混叠时域截短频谱泄漏、混叠扩散/拖尾/变宽频域采样取主值序列取主值序列周期延拓00shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff0
4、01/TF0TNT0TNT0sfNFu 频率响应的混叠失真及参数的选择频率响应的混叠失真及参数的选择00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：同时提高信号最高频率和频率分辨率，同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数需增加采样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠， 必u信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾u参数选择的一般原则：参数选择的一般原则： NTf/Ns sf（3） 和和N确定以后，即可确定相应模拟信确定以后，即可确定相
5、应模拟信号的时间长度号的时间长度这里这里T是采样周期。是采样周期。0Ff 0F/fNs （2）根据频率分辩率）根据频率分辩率 ，确定所需，确定所需DFT的长度的长度maxfmaxsff 2（1）若已知信号的最高频率）若已知信号的最高频率 ，为防，为防止混止混 叠，选定采样频率叠，选定采样频率 ；0/2htT0112hhfTt如果不知道信号的最高频率 fh 怎么办？时域变化越快则高频分量越丰富取变化最快的两相邻峰点谷点之间的时间为半个周期。例如：人们只观察记录了一段时间的波形或数据，如图所示，应如何确定 fh 呢？u信号最高频率信号最高频率 fh 的确定的确定FFT例：有一频谱分析用的处理器，其
6、抽样点数必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：11024HzkHz）频率分辨率）信号最高频率0 1 2T NT试确定以下参量：）最小记录长度）抽样点间的最大时间间隔 （即最小抽样频率）3）在一个记录中最少点数1解： ）最小记录长度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽样间隔 （ ）3110125224 10hTmsf .3）最小记录点数30224 1080010hfNF 10221024800mN 取（1）混迭）混迭对连续信号对连续信号 x(t) 进行数字处理前，要进行采样进行数字处理前，要进行采样 na)nTt ()t (x)nT(x 采样序列的频谱
7、是连续信号频谱的周期延拓，采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，即，如采样率过低，不满足采样定理，即若若fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。字处理失去依据。u利用利用DFT做连续信号的频谱分析时出现的问题：做连续信号的频谱分析时出现的问题： 不满足抽样定理时产生频率混叠现象不满足抽样定理时产生频率混叠现象sT0)(tftm)(jFs0sT1m0t)(tfsT()sFj0sT1()sFj0sT1 （
8、2） 泄漏泄漏 处理实际信号序列处理实际信号序列 x（n）时，一般总要将它截）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形点，相当于乘以一个矩形窗窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。时，就是一个冲击函数。 我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积
9、的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。改善方法：改善方法：对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏泄漏1）增加）增加x(n)长度长度2）缓慢截短）缓慢截短 （3）栅栏效应）栅栏效应 N点点DFT是在频率区间是在频率区间 0，2 上对信号频谱上对信号频谱进行进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点点 X（k），且它们限制
10、在基频的整数倍上，这就），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，分被遮挡， 所以称之为所以称之为栅栏效应栅栏效应。 减小栅栏效应方法：减小栅栏效应方法：时域序列尾部补零，使谱时域序列尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。分量就可能被检测出来。改善方法：改善方法：增加频域抽样点数增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密（时域补零），
11、使谱线更密DFT只计算离散点（基频只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，的整数倍处）的频谱，而不是连续函数而不是连续函数(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填补零值可以改变对填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。的频率分辨率。n事实上我们通常规定事实上我们通常规定DFT的频率分辨率的频率分辨率 ，这里的这里的 N 是指信号是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的的有效长度，而不是补零的长度。长度。n不同长度的不同长度的x(n)其其DTFT的结果是不同的；的结果是不同的；n相同长度的相同
12、长度的x(n)尽管补零的长度不同但其尽管补零的长度不同但其DTFT的结的结果相同，他们的果相同，他们的DFT只是反映了对相同的只是反映了对相同的DTFT采用采用了不同的采样密度。了不同的采样密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填补零值可以改变对填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。的频率分辨率。n事实上我们通常规定事实上我们通常规定DFT的频率分辨率的频率分辨率 ，这里的这里的 N 是指信号是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的的有效长度，而不是补零的长度。长度。n不同长
13、度的不同长度的x(n)其其DTFT的结果是不同的；的结果是不同的；n相同长度的相同长度的x(n)尽管补零的长度不同但其尽管补零的长度不同但其DTFT的结的结果相同，他们的果相同，他们的DFT只是反映了对相同的只是反映了对相同的DTFT采用采用了不同的采样密度。了不同的采样密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0 njnjenxeX)()(deeXnxjnj )(21)(DTFT：IDTFT：n相同长度的相同长度的x(n)尽管补零的长度不同但其尽管补零的长度不同但其DTFT的结的结果相同，他们的果相同，他们的DFT只是反映了对相同的只是反映了对相同的DTFT采采用了不同的采样密度。用
14、了不同的采样密度。(5) 周期信号的谱分析周期信号的谱分析 )k(XN)j(Xa 可以得到单一谱线的可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理，选得合理， 可完全等于可完全等于 的采样。的采样。)tf2sin()t (xaa af对于连续的单一频率周期信号对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。为信号的频率。)8n2sin()fnf2sin()nTf2sin()n(xf8fsaaaas 截取整数周期，得到单一谱线的频谱截取整数周期，得到单一谱线的频谱(a)0510150246810kX(k)(b)19051015-1-0.500.51t/Tx(n)190510150246810kX(k)(d)051015-1-0.500.51t/Tx(n)(c)N=20两个半周期两个半周期N=16两个周期两个周期截取非整数周期引起频谱泄漏截取非整数周期引起频谱泄漏
