1、1西南财经大学西南财经大学省级精品课程省级精品课程经济管理数学分析经济管理数学分析课题组版权所有课题组版权所有 请勿外传请勿外传 2第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续2 二元函数的极限二元函数的极限3 二元函数的连续性二元函数的连续性1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数经济管理数学分析经济管理数学分析31 平面点集与多元函数平面点集与多元函数第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续4P坐坐标标平平面面上上满满足足某某种种条条件件 的的点点平平的的面面集集合合，称称为为点点集集，并并):(1 全全平平面面上上的的点点所所组组例例，成成的的点点集集如如
2、一一 平面点集平面点集(3)矩矩形形及及其其内内部部所所有有点点的的集集合合：1.平面点集的基本概念平面点集的基本概念(P85)(2)r平平面面上上以以原原点点为为中中心心， 为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点的的集集合合：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 ( , )|( , ).Ex yx yP 记记作作 满满足足条条件件2( , )|,.Rx yxy 222( , )|.Cx yxyr( , )|,.Sx yaxb cyd , , , , ( , )|,.a bc da bc dx yaxb cyd 记记作作：，即即5平
3、平面面点点集集( ; )( ).U AU A 记记作作或或22200000000 ( , )|0()() ( , )|0 |,0 |,( , )(,)(,).( 86)x yxxyyx yxxyyx yxyA xyP 平平面面点点集集与与分分圆圆空空心心邻邻域域方方空空心心邻邻域域别别称称为为以以点点为为中中心心的的和和( ; )( ).UAUA 记记作作或或A xyOA xyO 2.点与点集的关系点与点集的关系(按内外关系按内外关系)：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数22200( , )|()()x yxxyy 00 ( ,
4、 )|,|x yxxyy 与与00(,).( 86)A xyP分分别别称称为为以以点点为为中中心心方方邻邻域域和和圆圆邻邻域域的的6( )( )(i)( 86)AU AUEPA 若若存存在在点点 的的某某邻邻内内点点域域，：使使得得，则则称称x + y = 0 xyO如图如图D1例如，例如，平面点集平面点集D1 = (x, y)| x + y 0 ： 易见，直线上方每一点易见，直线上方每一点都是都是D1的内点的内点. 但直线上的但直线上的点不是点不是D1的内点的内点. .第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数int.AEEEE点点
5、是是点点集集 的的； 的的内内点点构构成成的的集集合合称称为为 的的，记记作作内内点点内内部部7xyOx2 + y2 = 111D2 易知，圆内部的每一点都是易知，圆内部的每一点都是 DD2 的内点的内点. . 但圆周上的点不是但圆周上的点不是 DD2 的内点的内点. .又如，又如，平面点集平面点集D2 = (x, y)| x2 + y2 1 ， 如图：如图：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数8(ii)( 86)( )( ) APU AU AE 若若存存在在点点 的的某某邻邻域域，使使得得外外点点：，(iii)( 86)PAE若
6、若在在点点 的的任任何何邻邻域域内内既既含含有有属属于于 的的界界点点：点点，又又含含其中其中CE=R2E是是E关于全平面的关于全平面的余集余集，E 的全体界点所成集合称为的全体界点所成集合称为 E 的的边界边界，记作记作 E. 例如，例如，平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x+y 0的边界是直线的边界是直线 x +y = 0 上上点的全体点的全体. 平面点集平面点集D2 = (x, y)| x2 + y2 1 的边界是单位圆周的边界是单位圆周 x2 + y2 =1上的点的全体上的点的全体. 如图如图所示：所示：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集
7、与多元函数平面点集与多元函数.AE则则称称点点 是是点点集集外外点点的的EAE 有有不不属属于于 的的点点，则则称称点点 是是点点集集 的的. . 即即对对任任何何点点正正数数界界，恒恒有有( ; )( ; ).U AEU ACE且且9xyO11x2 + y2 = 1D2x + y = 0 xyOE 的界点可以是的界点可以是 E 中的点中的点，也可以不是也可以不是 E 中的点中的点. .D1例如，例如，平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x+y 0的边界是直线的边界是直线 x +y = 0 上上点的全体点的全体. 平面点集平面点集D2 = (x, y)| x2 + y2 1 的边界是单
8、位圆周的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体上的点的全体. 如图如图所示：所示：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数10(i)()(87AUAEP 若若在在点点 的的任任何何空空心心邻邻域域内内都都含含点点：有有聚聚中中的的点点， 从几何上看从几何上看，所谓所谓A是是E的聚点是指在的聚点是指在A的附近聚集了无限多个的附近聚集了无限多个 E 中的点中的点. 即在即在A的任意近的任意近旁旁都有无限多个都有无限多个 E 中的点中的点.A如图所示如图所示3.点与点集的关系点与点集的关系(按疏密关系按疏密关系)：第十六章多元函
9、数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数.AEEE则则称称点点 是是点点集集 的的. . 聚聚点点本本身身可可能能属属于于 ，也也可可能能不不属属于于聚聚点点11 D1 的界点的界点是是D1的聚点，但它不属于的聚点，但它不属于D1； D2 的界点的界点是是D2的聚的聚点，但它属于点，但它属于D2.例如例如 , 平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x + y 0和和D2 = (x, y)| x2 + y2 1 如图如图所示：所示：xyO11x2 + y2 = 1D2x + y = 0 xyOD1第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极
10、限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数12(ii)( 87)APEE 若若点点，但但不不是是 的的聚聚点点，即即存存孤孤立立点点：在在某某一一正正显显然然，孤孤立立点点一一定定是是界界点点；内内点点和和非非孤孤立立的的界界点点一一定定是是聚聚点点；22 1( 87( , )|14).Dx yPxy设设例例平面点集平面点集2214xyD满满足足条条件件的的一一切切点点都都是是 的的内内点点；221xyDD 满满足足条条件件 的的一一切切点点都都是是 的的界界点点，它它们们都都属属于于 ；224 xyDD 满满足足条条件件= = 的的一一切切点点也也是是 的的界界点点，但但它它们们都
11、都不不属属于于；.DD点点集集 连连同同它它外外圆圆边边界界上上的的一一切切点点都都是是 的的聚聚点点第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数( ; ).UAEAE 数数 ，使使得得，则则称称点点 为为 的的孤孤立立点点.既既不不是是聚聚点点，又又不不是是孤孤立立点点，则则必必为为外外点点13(in(i)( 87)tEEP若若平平面面点点集集所所属属的的每每一一点点都都是是 的的内内点点 即即开开集集： 例如，例如，平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x + y 0是开集是开集. 平面点集平面点集D2 = (x, y)| x2
12、 + y2 1 不是开集不是开集.xyOE一般地，一般地，E如如右右图图所示：所示：若若E E不包含边界不包含边界，则，则E E为开集为开集. . 若若E E包含边界包含边界，则，则E E不是开集不是开集. . 4.一些重要的平面点集一些重要的平面点集第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数).EE= =，则则称称开开集集为为14.(ii)( 87)EEEP若若平平面面点点集集 的的所所有有聚聚点点都都属属于于 ，则则称称集集：为为闭闭集集闭闭(iii)( 87)PEE若若非非空空开开集集 具具有有，即即 中中任任连连通通意意开开域域
13、性性：两两点点之之间间如图如图X XY YE E 连通连通Y YX XE E 不连通不连通例如例如 , 平面点集平面点集 D2 = (x, y)| x2 + y2 1 是闭集是闭集.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数.EE若若点点集集 没没有有聚聚点点，这这时时也也称称 为为闭闭集集()E都都可可用用一一条条完完全全含含于于 的的有有限限折折线线 有有限限条条直直线线段段连连接接而而成成的的折折线线 相相().E连连接接，则则称称 为为或或称称开开域域连连通通开开集集15(iv)( 87).P开域连同其边界所成的点集称开域连同其
14、边界所成的点集称区域：区域：为为闭区域闭区域闭闭从几何上看从几何上看，闭闭区区域是连成一片的域是连成一片的，包括边界的平面点集包括边界的平面点集. . 从几何上看，所谓从几何上看，所谓 E 是连通集是连通集，是指是指 E 是连成一片的是连成一片的，E 中的中的点都可用折线连接点都可用折线连接. 例如，例如，平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x+y 0和和D2 = (x, y)| x2 + y2 1 都是连通集都是连通集.例如，例如，平面点集平面点集 D2 = (x, y)| x2 + y2 1 是闭是闭区区域域. . (v)( 87)P开区域、闭区域，或者开区域连同开区域、闭区域，或
15、者开区域连同区域：区域：其一部分边其一部分边第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数.界点所成的点集，称为界点所成的点集，称为区域区域统统16(vi)( 88)EPr对于平面点集 ，若存在某一正数对于平面点集 ，若存在某一正数有界点集：有界点集：，使得，使得 例如，例如，平面点集平面点集 D1 = (x, y)| x+y 0是无界集是无界集，它是无界开区它是无界开区域域，而平面点集而平面点集 D2 = (x, y)| x2 + y2 1 是有界集是有界集，它是有界闭区域它是有界闭区域.12121212,12112222121212(
16、88)()sup(,)(,)(,)(,) (,)()() . ().P PEPd EP PP PPPPPxyxyP Pxxyyd EE ：，其其中中表表示示 与与两两点点之之间间的的距距离离，当当 、 的的坐坐标标分分别别为为和和时时，则则于于是是，当当且且仅仅当当为为有有限限值值时时直直是是有有界界点点集集径径第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数( ; )()EU O rOE ，其中 是坐标原点 也可以是其他固定点 ，则称 是，其中 是坐标原点 也可以是其他固定点 ，则称 是有有.界点集界点集172R* *二二 上上的的完完备备
17、性性定定理理2200000,(; ), 1( 88 lim,.)nnnnnnPPRPRNnNPU PPPPPPP n 设为平面点列，为一固定点.若对设为平面点列，为一固定点.若对任给的正数 ，存在正整数使得当时，有则称任给的正数 ，存在正整数使得当时，有则称点列于点记点列于点记收敛收敛定义定义作作或或000000 (,)(,)limlimlimnnnnnnnnnxyxyPPPPxxyy 在在坐坐标标平平面面中中，若若以以与与分分别别表表示示与与 时时，等等价价于于；000(,)limlim0.nnnnnnnP PPPPP 同同样样地地，当当以以表表示示点点与与之之间间距距离离时时，等等价价于于
18、16.1(,88 (,)nnnpPNnNPpP P 平面点列收敛的充要条件是：任平面点列收敛的充要条件是：任给正数 ，存在 ，使得当时，对一切正整数 ，都有给正数 ，存在 ，使得当时，对一切正整数 ，都有 定理柯西准则定理柯西准则第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数18210(1) ,1,2,; (2)16.2(,(),lim0,1,289),nnnnnnnnDRDDndd DdDPPn 定理闭域套定理定理闭域套定理 设是中的闭域列，它满足：设是中的闭域列，它满足： 则存在唯一的点则存在唯一的点2216.3().,89 ERERP
19、 设为有界无限点集，则 在设为有界无限点集，则 在中至少有一中至少有一定理聚点理定理聚点理个聚点个聚点定定21216.4(,.,90)nPDRDD 设为一有界闭域，为设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了一开域族，它覆盖了定理有限覆盖定定理有限覆盖定，则在中必存在有限个开域，则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖了它们同样覆盖了理 理 29 ).(0knnPRPP 有界无限点集必存在收敛子列有界无限点集必存在收敛子列推论推论第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数19三三二二元元函函数数22( 90)DRPfD 设平面点集，若按照某对应法
20、则设平面点集，若按照某对应法则义义，定定中每中每221().3( 91)Pzxy例例 ( , ) ( ).zf xzf Py 也记或也记或 ( , ),( , )Wzzf x yx yD点集点集 D D 定义域定义域， 值域值域. .x、y 自变量自变量，z 因变量因变量. .函数的两个要素函数的两个要素: :定义域、对应法则定义域、对应法则. .22 .5( 91) zxyP例例第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数( , )P x yzfD一点都有惟一确定的实数 与之对应，则称 为定义在 上的一点都有惟一确定的实数 与之对应，则
21、称 为定义在 上的 :,fDR，记作，记作二元函数二元函数.Pz20与一元函数相类似，对于定义域约定：与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .222arcsin(3) ( , ) .xyf x yxy 求二元函求二元函例例数的定义域数的定义域解解 则则所求定义域为所求定义域为222( , )|24,.Dx yxyxy第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数其中其中D为有界半开半闭区域为有界半开半闭区域. .2231xy ，20 xy ，2224xy
22、 ，2.xy 21二元函数二元函数 z = f (x,y) 的的几何意义几何意义如图所示如图所示 设函数设函数z = f (x,y)的定义域为的定义域为D，对于任意取定的，对于任意取定的(x,y)D ，对应的函数值为对应的函数值为 z = f (x,y). 以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当，当(x,y)取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集 (x,y,z)| z = f (x,y), (x,y)D ， 二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面通常是一张曲面. .第十六章多元函数的极限
23、与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数22例如，例如，1.1. z = ax+by+c 一张平面一张平面，如图，如图Oxyz 球心在球心在(0，0，0) ，半径半径为为R的上半球球面的上半球球面S，如图，如图222 2.zRxyROxyzS第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数23 顶点在原点，位于顶点在原点，位于xoy面上方面上方 的园锥面的园锥面S22 3.zxyOxyzSOyzxS22 4. zyx 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)S注注 与例与例4(P91)的区别的区别第十六章多元
24、函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数24121212( )(,)( ): (,) 3( 92) (,)nnnnERf xEP xxxyf xEfERxxxyyf xxPxn 设 为中的点集，若有某个对应法则，设 为中的点集，若有某个对应法则，使 中每一点， ，都有惟一确定的实数 与之对应，使 中每一点， ，都有惟一确定的实数 与之对应，则称为定义在 上的，记作则称为定义在 上的，记作 ，,也常记作：也常记作： 元函元函 , ,数数定义定义，12, ( ),.nxxxEyf PPE （， ，）（， ，）或或n四四元元函函数数第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数25
