1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.5 垂直关系 最新考纲 考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想 . 1直线与平面垂直 图形 条件 结论 判定 a b， b (b为 内的 任意 一条直线 ) a a m， a n， m， n ， m n O a a b， a b 性质
2、a ， b a b a ， b a b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ，那么这两个平面互相垂直 ?l l ? 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面 ? al l a?l 知识拓展 重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一
3、条直线 (证明线线垂直的一个重要方法 ) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (3)直线 a ， b ，则 a b.( ) (4)若 ， a ，则 a .( ) (5)若直线 a 平面 ，直线 b ，则直线 a 与 b 垂直 ( ) (6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 题组二 教材改编 2下列命题中错误的是 (
4、 ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项均是正确的 3在三棱锥 P ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的 _心； (2)若 PA PB， PB PC， PC PA
5、，则点 O 是 ABC 的 _心 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图 1，连接 OA， OB， OC， OP， 在 Rt POA， Rt POB 和 Rt POC 中， PA PC PB， 所以 OA OB OC，即 O 为 ABC 的外心 (2)如图 2，延长 AO， BO， CO 分别交 BC， AC， AB 于 H， D， G. PC PA， PB PC， PA PB P， PC 平面 PAB， 又 AB 平面 PAB， PC AB， AB PO， PO PC P， AB 平面 PGC，又 CG 平面 PGC， AB CG，即 CG 为 ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，
6、 AH 分别为 ABC 边 AC， BC 上的高， 即 O 为 ABC 的垂心 题组三 易错自纠 4 (2017 湖南六校联考 )已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出 m 的是 ( ) A 且 m B 且 m C m n 且 n D m n 且 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由线面垂直的判定定理，可知 C 正确 5.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O， M， N 分别是线段 BD， DD1， D1C1的中点，则直线 OM 与 AC， MN 的位置关系是 ( ) A与 AC， MN 均垂直 B与 AC
7、垂直，与 MN 不垂直 C与 AC 不垂直，与 MN 垂直 D与 AC， MN 均不垂直 答案 A 解析 因为 DD1 平面 ABCD，所以 AC DD1， 又因为 AC BD， DD1 BD D， 所以 AC 平面 BDD1B1， 因为 OM 平面 BDD1B1，所以 OM AC. 设正方体的棱长为 2， 则 OM 1 2 3， MN 1 1 2， ON 1 4 5， 所以 OM2 MN2 ON2，所以 OM MN.故选 A. 6.如图所示， AB 是半圆 O 的直径， VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A， B的任意一点， M， N 分别为 VA， VC 的中点，则
8、下列结论正确的是 ( ) A MN AB B平面 VAC 平面 VBC C MN 与 BC 所成的角为 45 D OC 平面 VAC 答案 B 解析 由题意得 BC AC，因为 VA 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 VA BC.因为 AC VA A，所以 BC 平面 VAC.因为 BC 平面 VBC，所以平面 VAC 平面 VBC.故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 典例 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC 60 ，PA AB BC， E 是 PC 的中点 证明： (1)CD
9、 AE； (2)PD 平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， CD 平面 ABCD， PA CD. 又 AC CD， PA AC A， PA， AC 平面 PAC， CD 平面 PAC. 而 AE 平面 PAC， CD AE. (2)由 PA AB BC， ABC 60 ，可 得 AC PA. E 是 PC 的中点， AE PC. 由 (1)知 AE CD，且 PC CD C， PC， CD 平面 PCD， AE 平面 PCD， 而 PD 平面 PCD， AE PD. PA 底面 ABCD， AB 平面 ABCD， PA AB. 又 AB AD，且 P
10、A AD A， AB 平面 PAD，而 PD 平面 PAD， AB PD.又 AB AE A， AB， AE 平面 ABE， PD 平面 ABE. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法： 判定定理； 垂直于平面的传递性 (a b， a ?b )； 面面平行的性质 (a ， ?a )； 面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AC BC， BC CC1.设 AB
11、1的中点为 D， B1C BC1 E. 求证： (1)DE 平面 AA1C1C； (2)BC1 AB1. 证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DE AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C， AC 平面 AA1C1C， 所以 DE 平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1 平面 ABC. 因为 AC 平面 ABC， 所以 AC CC1. 又因为 AC BC， CC1 平面 BCC1B1， BC 平面 BCC1B1， BC CC1 C， 所以 AC 平面 BCC1B1. 又因为 BC1 平面 BCC1B1， 所
12、以 BC1 AC. 因为 BC CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1 B1C. 因为 AC， B1C 平面 B1AC， AC B1C C， 所以 BC1 平面 B1AC. 又因为 AB1 平面 B1AC，所以 BC1 AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 典例 (2018 开封模拟 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB AC， AB PA， AB CD， AB 2CD，=【 ;精品教育资源文库 】 = E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点 (1)求证： CE 平面 PAD； (2)求证：平面 EFG 平面 EMN. 证
13、明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH， DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊 12AB. 又 CD 綊 12AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE DH. 又 DH 平面 PAD， CE?平面 PAD， 所以 CE 平面 PAD. 方法二 连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF 12AB. 又 CD 12AB， 所以 AF CD. 又 AF CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CF AD，又 CF?平面 PAD， AD 平面 PAD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 CF 平面 PAD.
14、因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点，所以 EF PA. 又 EF?平面 PAD， PA 平面 PAD， 所以 EF 平面 PAD. 因为 CF EF F，故平面 CEF 平面 PAD. 又 CE 平面 CEF，所以 CE 平面 PAD. (2)因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点，所以 EF PA. 又因为 AB PA， 所以 EF AB，同理可证 AB FG. 又因为 EF FG F， EF， FG 平面 EFG， 所以 AB 平面 EFG. 又因为 M， N 分别为 PD， PC 的中点， 所以 MN CD，又 AB CD，所以 MN AB， 所以 MN 平面 EFG.
15、又因为 MN 平面 EMN，所以平面 EFG 平面 EMN. 引申探究 1在本例条件下，证明：平面 EMN 平面 PAC. 证明 因为 AB PA， AB AC， 且 PA AC A， PA， AC 平面 PAC， 所以 AB 平面 PAC. 又 MN CD， CD AB，所以 MN AB， 所以 MN 平面 PAC. 又 MN 平面 EMN， 所以平面 EMN 平面 PAC. 2在本例条件下，证明：平面 EFG 平面 PAC. 证明 因为 E， F， G 分别为 PB， AB， BC 的中点， 所以 EF PA， FG AC， 又 EF?平面 PAC， PA 平面 PAC， 所以 EF 平面 PAC. 同理 FG 平面 PAC. 又 EF FG F， 所以平面 EFG 平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 面面垂 直的定义； =【 ;精品教育资源文库 】 = 面面垂直的判定定理
