1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 空间 图形的基本关系与公理 一、选择题 1.(2015 湖北卷 )l1， l2表示空间中的两条直线 ， 若 p： l1， l2是异面直线； q： l1， l2不相交 ，则 ( ) A.p 是 q 的充分条件 ， 但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件 ， 但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件 ， 也不是 q 的必要条件 解析 直线 l1， l2是异面直线 ， 一定有 l1与 l2不相交 ， 因此 p 是 q 的充分条件；若 l1与l2不相交 ， 那么 l1与 l2可能平行 ， 也可能是异
2、面直线 ， 所以 p 不是 q 的必要条件 .故选 A. 答 案 A 2.(2017 郑州联考 )已知直线 a 和平面 ， ， l， a? ， a? ， 且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c， 则直线 b 和 c 的位置关系是 ( ) A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 解析 依题意 ， 直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面 ， 选 D. 答案 D 3.给出下列说法： 梯形的四个顶点共面； 三条平行直线共面； 有三个公共点的两个平面重合； 三条直线两两相交 ， 可以确定 1 个或 3 个平面 .其中正确的序号是 ( ) A. B. C.
3、 D. 解 析 显然命题 正确 . 由于三棱柱的三条平行棱不共面 ， 错 . 命题 中 ， 两个平面重合或相交 ， 错 . 三条直线两两相交 ， 可确定 1 个或 3 个平面 ， 则命题 正确 . 答案 B 4.(2017 安庆 模拟 )a， b， c 是两两不同的三条直线 ， 下面四个命题中 ， 真命题是 ( ) A.若直线 a， b 异面 ， b， c 异面 ， 则 a， c 异面 B.若直线 a， b 相交 ， b， c 相交 ， 则 a， c 相交 C.若 a b， 则 a， b 与 c 所成的角相等 D.若 a b， b c， 则 a c 解析 若直线 a， b 异面 ， b， c
4、异面 ， 则 a， c 相交、平行或异面；若 a， b 相交 ， b， c相交 ， 则 a， c 相交、平行或异面；若 a b， b c， 则 a， c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确 .故选 C. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， E， F 分别为 BB1， CC1的中点 ， 那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 ( ) A.45 B.35 C.23 D.57 解析 连接 DF， 则 AE DF， D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角 . 设正方体棱长为 a， 则 D1D a， DF
5、52 a， D1F 52 a， cos D1FD ? ?52 a2 ? ?52 a2 a22 52 a 52 a 35. 答案 B 二、填空题 6.如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点 ，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60 . 其中正确的结论为 _(填序号 ). 解析 A， M， C1三点共面 ， 且在平面 AD1C1B 中 ， 但 C?平面 AD1C1B， C1?AM， 因此直线 AM 与CC1是异面
6、直线 ， 同理 AM 与 BN 也是异面直线 ， 错； M， B， B1三点共面 ， 且在平面 MBB1中 ， 但 N?平面 MBB1， B?MB1，因此直线 BN 与 MB1是异面直线 ， 正确；连接 D1C， 因为 D1C MN， 所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角 ， 且角为 60 . 答案 7.如图 ， 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 ， 且 AB CD， 则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 _. 解析 取 CD 的中点 H， 连接 EH， FH.在正四面体 CDEF 中 ， 由于 CD EH， CD HF， 且 EH
7、FH H， 所以 CD 平面 EFH， 所以 AB 平面 EFH， 则平面 EFH 与正方体的左右两侧面平行 ，则 EF 也与之平行 ， 与其余四个平面相交 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 4 8.(2014 全国 卷改编 )直三棱柱 ABC A1B1C1 中 ， BCA 90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点 ， BC CA CC1， 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 _. 解析 如图所示 ， 取 BC 中点 D， 连接 MN， ND， AD. M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点 ， MN 綉 12B1C1.又 BD 綉 12B1C1， MN 綉 BD
8、， 则四边形 BDNM 为平行四边形 ， 因此 ND BM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角 (或其补角 ). 设 BC 2， 则 BM ND 6， AN 5， AD 5， 在 ADN 中 ， 由余弦定理得 cos AND ND2 AN2 AD22ND AN 3010 . 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 3010 . 答案 3010 三、解答题 9.如图所示 ， 正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点 .问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 . 解 (
9、1)AM， CN 不是异面直线 .理由：连接 MN， A1C1， AC. 因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点 ， 所以 MN A1C1. 又因为 A1A 綉 C1C， 所以四边形 A1ACC1为平行四边形 ， 所以 A1C1 AC， 所以 MN AC， 所以 A， M， N， C 在同一平面内 ， 故 AM 和 CN 不是异面直线 . (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线 . 理由：因为 ABCD A1B1C1D1是正方体 ， 所以 B， C， C1， D1不共面 .假设 D1B 与 CC1不是异面直线 ， 则存在平面 ， 使 D1B?平面 ， CC1?平面 ， 所以 D1
10、， B， C， C1 ， 这与 B， C， C1， D1不 共面矛盾 .所以假设不成立 ， 即 D1B 和 CC1是异面直线 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.(2017 咸阳中学 月考 )如图所示 ， 在三棱锥 P ABC 中 ， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点 .已知 BAC 2 ， AB 2， AC 2 3， PA2.求： (1)三棱锥 P ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 . 解 (1)S ABC 12 2 2 3 2 3， 三棱锥 P ABC 的体积为 V 13S ABC PA 13 2 3 2 43 3. (2)如图 ， 取 P
11、B 的中点 E， 连接 DE， AE， 则 ED BC， 所以 ADE是异面直线 BC 与 AD 所成的角 (或其补角 ). 在 ADE 中 ， DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. 11.以下四个命题中 ， 不共面的四点中 ， 其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面 ， 点 A， B， C， E 共面 ， 则点 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面 ， 直线 a， c 共面 ， 则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 . 正确命题的个数是 (
12、 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 假设其中有三点共线 ， 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 ， 这与四点不共面矛盾 ， 故其中任意三点不共线 ， 所以 正确 . 从条件看出两平面有三个公共点 A， B， C，但是若 A， B， C 共线 ， 则结论不正确； 不正确； 不正确 ， 因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平 面上 ，如空间四边形 . 答案 B 12.若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4， 满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4， 则下列结论一定正确的是 ( ) A.l1 l4 B.l1 l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l
13、4的位置关系不确定 解析 如图 ， 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 记 l1 DD1， l2 DC， l3=【 ;精品教育资源文库 】 = DA.若 l4 AA1， 满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4， 此时 l1 l4， 可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4， 则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4， 则 l1与 l4异面；取 C1D1为 l4， 则 l1与 l4相交且 垂直 . 因此 l1与 l4的位置关系不能确定 . 答案 D 13.如图 ， 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直 ， 且AC BC 2， ACB 90，
14、F， G 分别是线段 AE， BC 的中点 ， 则 AD 与GF 所成的角的余弦值为 _. 解析 取 DE 的中点 H， 连接 HF， GH.由题设 ， HF 綉 12AD. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角 (或其补角 ). 在 GHF 中 ， 可求 HF 2， GF GH 6， cos HFG 2 6 62 2 6 36 . 答案 36 14.如图 ， 在四棱锥 O ABCD 中 ， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 ， OA底面 ABCD， OA 2， M 为 OA 的中点 . (1)求四棱锥 O ABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 . 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S 4， 所以四棱锥 O ABCD 的体积 V 13 4 2 83. (2)如图 ， 连接 AC， 设线段 AC 的中点为 E， 连接 ME， DE. 又 M 为 OA 中点 ， ME OC， 则 EMD(或其补角 )为异面直线 OC 与 MD 所成的角 ， 由已知可得 DE2， EM 3， MD 5， ( 2)2 ( 3)2 ( 5)2， DEM 为直角三角形 ， tan EMD DEEM 23 63 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 63 .
