1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 平行关系 一、选择题 1.(2017 榆林 模拟 )有下列命题： 若直线 l 平行于平面 内的无数条直线 ， 则直线 l ； 若直线 a 在平面 外 ， 则 a ； 若直线 a b， b ， 则 a ； 若直线 a b， b ， 则 a 平行于平面 内的无数条直线 . 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 命题 l 可以在平面 内 ， 不正确；命题 直线 a 与平面 可以是相交关系 ， 不正确；命题 a 可以在平面 内 ， 不正确；命题 正确 . 答案 A 2.设 m， n 是不同的直线 ， ， 是不同的平面 ， 且 m
2、， n ， 则 “ ” 是 “ m 且 n ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若 m， n ， ， 则 m 且 n ；反之若 m， n ， m 且 n ， 则 与 相交或平行 ， 即 “ ” 是 “ m 且 n ” 的充分不必要条件 . 答案 A 3.(2017 长郡中学质检 )如图所示的三棱柱 ABC A1B1C1中 ， 过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE， 则 DE 与 AB 的位置关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上 均有可能 解析 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ， AB A1B1， AB
3、 平面 ABC， A1B1?平面 ABC， A1B1 平面 ABC， 过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE. DE A1B1， DE AB. 答案 B 4.下列四个正方体图形中 ， A， B 为正方体的两个顶 点， M， N， P 分别为其所在棱的中点 ，能得出 AB 平面 MNP 的图形的序号是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D. 解析 中 ， 易知 NP AA ， MN A B， 平面 MNP 平面 AA B， 可得出 AB 平面 MNP(如图 ). 中 ， NP AB， 能得出 AB 平面 MNP. 在 中不能判定 AB 平面 MNP. 答案 B 5
4、.已知 m， n 表示两条不同直线 ， 表示平面 ， 下列说法正确的是 ( ) A.若 m ， n ， 则 m n B.若 m ， n ， 则 m n C.若 m ， m n， 则 n D.若 m ， m n， 则 n 解析 若 m ， n ， 则 m， n 平行、相交或异面 ， A 错；若 m ， n ， 则 m n，因为直线与平面垂直时 ， 它垂直于平面内任一直线 ， B 正确；若 m ， m n， 则 n 或 n ， C 错；若 m ， m n，则 n 与 可能相交 ， 可能平行 ， 也可能 n ， D 错 . 答案 B 二、填空题 6.在四面体 A BCD 中 ， M， N 分别是 A
5、CD， BCD 的重心 ， 则四面体的四个面中与 MN 平行的是 _. 解析 如图 ， 取 CD 的中点 E. 连接 AE， BE， 由于 M， N 分别是 ACD， BCD 的重心 ， 所以 AE， BE分别过 M， N， 则 EM MA 1 2， EN BN 12 ， 所以 MN AB. 因为 AB 平面 ABD， MN?平面 ABD， AB 平面 ABC， MN?平面 ABC， 所以 MN 平面 ABD， MN 平面 ABC. 答案 平面 ABD 与平面 ABC 7.如图所示 ， 正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB 2， 点 E 为 AD 的中点 ，=【 ;精品教育资源文库
6、】 = 点 F 在 CD 上 .若 EF 平面 AB1C， 则线段 EF 的长度等于 _. 解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB 2， AC 2 2.又 E 为 AD 中点 ， EF 平面 AB1C，EF 平面 ADC， 平面 ADC 平面 AB1C AC， EF AC， F 为 DC 中点 ， EF 12AC 2. 答案 2 8.(2017承德模拟 )如图所示 ， 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 ， E， F，G， H 分别是棱 CC1， C1D1， D1D， DC 的中点 ， N 是 BC 的中点 ， 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动 ， 则 M 只需满
7、足条件 _时 ， 就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可 ， 不必考虑全部可能情况 ) 解析 连接 HN， FH， FN， 则 FH DD1， HN BD， 平面 FHN 平面 B1BDD1， 只需 M FH， 则 MN 平面 FHN， MN 平面 B1BDD1. 答案 点 M 在线段 FH 上 (或点 M 与点 H 重合 ) 三、解答题 9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图 所示 . (1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处 (不需说明理由 )； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系 ， 并证明你的结论 . 解 (
8、1)点 F， G， H 的位置如图所示 . (2)平面 BEG 平面 ACH， 证明如下：因为 ABCD EFGH 为正方体 ， 所以 BC FG， BC FG， 又 FG EH， FG EH， 所以 BC EH， BC EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形 ， 所以 BE CH.又 CH 平面 ACH， BE?平面 ACH， 所以 BE 平面 ACH.同理 BG 平面 ACH. 又 BE BG B， 所以平面 BEG 平 面 ACH. 10.(2014 全国 卷 )如图，四棱锥 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 为矩形 ， PA 平面 ABCD， E 为 PD 的中点 . (1)证
9、明： PB 平面 AEC； (2)设 AP 1， AD 3， 三棱锥 P ABD 的体积 V 34 ， 求 A到平面 PBC 的距离 . (1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O， 连接 EO. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 ABCD 为矩形 ， 所以 O 为 BD 的中点 . 又 E 为 PD 的中点 ， 所以 EO PB. 又因为 EO 平面 AEC， PB?平面 AEC， 所以 PB 平面 AEC. (2)解 V 16PA AB AD 36 AB. 由 V 34 ， 可得 AB 32.作 AH PB 交 PB 于 H. 由题设知 AB BC， PA BC， 且 PA AB
10、A， 所以 BC 平面 PAB.又 AH 平面 PAB， 所以 BC AH， 又 PB BC B， 故 AH 平面 PBC. PB 平面 PBC， AH PB， 在 Rt PAB 中 ， 由勾股定理可得 PB 132 ， 所以 AH PA ABPB 3 1313 . 所以 A 到平面 PBC 的距离为 3 1313 . 11.给出下列关于互不相同的直线 l， m， n 和平面 ， ， 的三个命题： 若 l 与 m 为异面直线 ， l ， m ， 则 ； 若 ， l ， m ， 则 l m； 若 l， m， n， l ， 则 m n. 其中真命题的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0
11、解析 中当 与 不平行时 ， 也可能存在符合题意的 l， m； 中 l 与 m 也可能异面； 中 ? l l? n?l n， 同理 ， l m， 则 m n， 正确 . 答案 C 12.在四面体 ABCD 中 ， 截面 PQMN 是正方形 ， 则在下列结论中 ， 错误的是( ) A.AC BD B.AC 截面 PQMN C.AC BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 解析 因为截面 PQMN 是正方形 ， 所以 MN QP， 又 PQ 平面 ABC， MN?平面 ABC， 则 MN=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面 ABC， 由线面平行的性质知 MN AC， 又 MN 平面
12、 PQMN， AC?平面 PQMN， 则 AC 截面PQMN， 同理可得 MQ BD， 又 MN QM， 则 AC BD， 故 A， B 正确 . 又因为 BD MQ， 所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角 ， 即为 45 ， 故D 正确 . 答案 C 13.如图所示 ， 棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形 ， 设 D 是 A1C1上的点且 A1B 平面 B1CD，则 A1D DC1的值为 _. 解 析 设 BC1 B1C O， 连接 OD. A1B 平面 B1CD 且平面 A1BC1 平面 B1CD OD， A1B OD， 四边形 BCC1B
13、1是菱形 ， O 为 BC1的中点 ， D 为 A1C1的中点 ， 则 A1D DC1 1. 答案 1 14.(2015 江苏卷 )如 图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ， 已知 AC BC， BC CC1.设 AB1的中点为 D， B1C BC1 E.求证： (1)DE 平面 AA1C1C； (2)BC1 AB1. 证明 (1)由题意知 ， E为 B1C的中点 ， 又 D为 AB1的中点 ， 因此 DE AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C， AC 平面 AA1C1C， 所以 DE 平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 ， 所以 CC1 平面 ABC.因为 AC 平面 ABC， 所以 AC CC1. 又因为 AC BC， CC1 平面 BCC1B1， BC 平面 BCC1B1， BC CC1 C， 所以 AC 平面 BCC1B1.又因为 BC1 平面 BCC1B1， 所以 BC1 AC.因为 BC CC1， 所以矩形 BCC1B1是正方形 ， 因此 BC1 B1C. 因为 AC， B1C 平面 B1AC， AC B1C C， 所以 BC1 平面 B1AC.又因为 AB1 平面 B1AC， 所以 BC1 AB1.
