1、第六章数列6.1数列的概念与表示专题2数列的通项公式(2015辽宁丹东一模,数列的通项公式,解答题,理17)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解:(1)由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2.由bn=an+1-an得,bn+1=bn+2,即bn+1-bn=2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得,bn=1+2(n-1)=2n-1,由bn=an+1-an得,an+1-an=2n-1.则a2-a1=1,a3-a2=3
2、,a4-a3=5,an-=2(n-1)-1,所以an-a1=1+3+5+2(n-1)-1=(n-1)2.又a1=1,所以an的通项公式an=(n-1)2+1=n2-2n+2.6.2等差数列及其前n项和专题2等差数列的性质(2015河北保定二模,等差数列的性质,选择题,理6)设Sn是等差数列an的前n项和,已知S7=49,则a2,a6的等差中项是()A.B.7C.7D.解析:在等差数列an中,由S7=49,得a4=7.a2,a6的等差中项a4=7.答案:B专题3等差数列前n项和公式与最值(2015辽宁锦州一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理11)等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a2
3、=10,S4=36,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的一个方向向量是()A.B.(-1,-1)C.D.解析:等差数列an中,设首项为a1,公差为d,由S2=10,S4=36,得解得a1=3,d=4.an=a1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1.则P(n,4n-1),Q(n+2,4n+7).过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是(2,8)=-4.答案:A6.3等比数列及其前n项和专题1等比数列的概念与运算(2015河北邯郸二模,等比数列的概念与运算,填空题,理15)已知数列an满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(nN*).若存在正实数使得数列an
4、+1+an为等比数列,则=.解析:由题意可知:an+2+an+1=(1+)an+1+an=(1+),=,解得=.a1=a2=1,a3=2,易验证当n=1时满足题意.故=.答案:专题2等比数列的性质(2015江西宜春奉新一中高考模拟,等比数列的性质,选择题,理4)已知数列an,bn满足bn=log2an,nN*,其中bn是等差数列,且a8a2 008=,则b1+b2+b3+b2 015=()A.log22 015B.2 015C.-2 015D.1 008解析:数列an,bn满足bn=log2an,nN*,其中bn是等差数列,数列an是等比数列.由a8a2008=,可得,即a1008=.a1a2
5、015=a2a2014=a1007a1009=,b1+b2+b3+b2015=log2(a1a2a2015)=log2=-2015.答案:C(2015河北衡水中学高三一调,等比数列的性质,选择题,理3)已知正数组成的等比数列an,若a1a20=100,那么a7+a14的最小值为()A.20B.25C.50D.不存在解析:正数组成的等比数列an,a1a20=100,a7+a142=2=2=20.当且仅当a7=a14时,a7+a14取最小值20.答案:A(2015辽宁锦州一模,等比数列的性质,选择题,理4)已知各项不为0的等差数列an满足a4-2+3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b
6、2b8b11等于()A.1B.2C.4D.8解析:数列an是各项不为0的等差数列,由a4-2+3a8=0,得(a4+a8)-2+2a8=0,2a6-2+2a8=0,2(a6+a8)-2=0,4a7-2=0,解得a7=2.则b7=a7=2.又数列bn是等比数列,则b2b8b11=b7qb7q4=23=8.答案:D专题3等比数列前n项和公式(2015江西南昌三模,等比数列前n项和公式,解答题,理17)已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,等比数列bn满足a1=b1,a2=b2,a5=b3.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设数列Cn对任意nN*均有+=an+1,求数列cn的前n项和Sn.
7、解:(1)由题意a2=1+d,a5=1+4d,且a1,a2,a5成等比数列,(1+d)2=1+4d,又d0,d=2,an=1+(n-1)d=2n-1.又b2=a2=3,q=3,bn=3n-1.(2)+=an+1,=a2,c1=3.又+=an(n2),-得=an+1-an=2,cn=2bn=23n-1(n2),cn=当n=1时,Sn=c1=3,当n2时,Sn=c1+c2+cn=3+2(31+32+3n-1)=3+2=3n.所以Sn=3n.(2015河北邯郸二模,等比数列前n项和公式,选择题,理7)设数列an的前n项之积为Pn=a1a2an(nN*),若Pn=2,则+=()A.B.C.D.解析:由
8、Pn=a1a2an(nN*),Pn=2,得a1a2an=,a1=20=1,a1a2an-1=(n2),两式作商得an=2n-1(n2),当n=1时上式成立,an=2n-1(n2).则,由,是以1为首项,以为公比的等比数列,+.答案:B(2015河北衡水中学高三一调,等比数列前n项和公式,选择题,理12)已知定义在0,+)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x0,2)时,f(x)=-2x2+4x.设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为an(nN*),且an的前n项和为Sn,则Sn=()A.2-B.4-C.2-D.4-解析:定义在0,+)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),
9、f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x+2)=f(x),f(x+6)=f(x+4)=f(x),f(x+2n)=f(x).设x2n-2,2n),则x-(2n-2)0,2).当x0,2)时,f(x)=-2x2+4x,fx-(2n-2)=-2x-(2n-2)2+4x-(2n-2).f(x)=-2(x-2n+1)2+2.f(x)=21-n-2(x-2n+1)2+2,x2n-2,2n),x=2n-1时,f(x)的最大值为22-n.an=22-n.an表示以2为首项,为公比的等比数列.an的前n项和为Sn=4-.答案:B(2015辽宁葫芦岛二模,等比数列前n项和公式,选择题,理5)已知数列an满足2
10、an+1+an=0,a2=1,则an的前9项和等于()A.-(1-2-9)B.(1-2-9)C.-(1+2-9)D.(1-2-9)解析:2an+1+an=0,a2=1,a1=-2a2=-2,又=-,数列an是以-2为首项,-为公比的等比数列,Sn=(-1)n2-n-1,S9=(-2-9-1)=-(1+2-9).答案:C(2015辽宁葫芦岛二模,等比数列前n项和公式,填空题,理16)在数列an中,a10,an+1=an,Sn为an的前n项和.记Rn=,则数列Rn的最大项为第项.解析:a10,an+1=an,an=a1()n-1=a1,an+1=a1.Sn=,S2n=.Rn=,比较R3,R4,R5
11、可知当n=4时,Rn取得最大值.答案:46.4数列求和专题2错位相减求和(2015辽宁锦州二模,错位相减求和,解答题,理17)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列an的通项公式an;(2)设Tn为数列的前n项和,求Tn;(3)设bn=,证明:b1+b2+b3+bn.解:(1)由nN*时,nan+1=Sn+n(n+1),得n2时,(n-1)an=Sn-1+(n-1)n.-,得nan+1-(n-1)an=an+2n,即an+1-an=2(n2).又当n=1时,a2=S1+12.所以a2=a1+2.所以对一切正整数n,有an+1-an=2,所以数
12、列an为以2为首项,2为公差的等差数列,故an=2n.(2)由(1)得,所以Tn=1+,两边同乘以,得Tn=+,-,得Tn=1+,整理得Tn=4-.(3)证明:由(1)知,bn=.所以b1+b2+b3+bn=.专题3裂项相消求和(2015江西宜春奉新一中高考模拟,裂项相消求和,解答题,理17)在ABC中,角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且满足b2+c2=bc+a2.(1)求角A的大小;(2)已知等差数列an的公差不为零,若a1cos A=1,且a2,a4,a8成等比数列,求的前n项和Sn.解:(1)b2+c2-a2=bc,cosA=,A(0,),A=.(2)设an的公差为d,a1cosA
13、=1,且a2,a4,a8成等比数列,a1=2,且=a2a8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且d0,解得d=2.an=2n.,Sn=+=1-.(2015河北保定二模,裂项相消求和,解答题,理17)已知等差数列an的前n项和为Sn,公比为q的等比数列bn的首项为,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列an,bn的通项公式an,bn;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则解得所以an=2+3(n-1)=3n-1,bn=.(2)=+22n+1,即有Tn=(22n+3-8)=.6.5数列的综合应用专题3数列中的探索性问题(2015辽宁丹东二模,数列中的探索性问题,填空题,理16)设数列an的前n项和是Sn,数列Sn的前n项乘积是Tn,若Sn+Tn=1,若数列an中的项最接近,则n0=.解析:当n=1时,S1+T1=1,即S1=;当n=2时,S2+S1S2=1,即S2=;当n=3时,S3+S1S2S3=1,即S3=;猜想Sn=,从而an=Sn-Sn-1=.令n0(n0+1)=2015,n0(44,45).a44=,a45=,n0=44.答案:449
