1、第十四章选修模块14.1几何证明选讲专题2相似三角形的判定与性质(2015辽宁丹东一模,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)已知A,B,C,D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,ACDE,AC与BD相交于H点.(1)求证:BD平分ABC;(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.解:(1)证明:ACDE,直线DE为圆O的切线,D是弧的中点,即.又ABD,DBC分别是两弧所对的圆周角,故有ABD=DBC.BD平分ABC.(2)CAB=CDB且ABD=DBC,ABHDBC,.又,AD=DC.AB=4,AD=6,BD=8,AH=3.(2015河北邯郸二模,相似三角形的判定与性质,解答题
2、,理22)如图,已知AB为半圆O的直径,C为圆弧上一点,过点C作半圆的切线CF,过点A作CF的垂线,垂足为D,AD交半圆于点E,连结EC,BC,AC.(1)证明:AC平分BAD;(2)若AB=3,DE=,求ABC的面积.(1)证明:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得DCA=CBA.又因为CDA=BCA=90,得BAC=CAD.所以AC平分BAD.(2)解:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得DCE=CDA.又因为CAD=CAB,所以DCE=CAB.可得DCECAB,则.又因为EC=BC,AB=3,DE=,所以BC=,即SABC=.专题4圆周角、弦切角及圆的切线(2015辽宁葫芦岛二模,圆
3、周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.(1)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得ABE=BCE,而ABE=CBE,CBE=BCE,BE=CE.又DBBE,DE为O的直径,DCE=90.DBEDCE,DC=DB.(2)解:由(1)可知:CDE=BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30.CFBF.RtB
4、CF的外接圆的半径为.(2015河北保定二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)如图,C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,ACB平分线DC交AE于点F,交AB于D点.(1)求ADF的度数;(2)若AB=AC,求ACBC.解:(1)AC为圆O的切线,B=EAC.又DC是ACB的平分线,ACD=DCB.B+DCB=EAC+ACD,即ADF=AFD.又BE为圆O的直径,DAE=90.ADF=(180-DAE)=45.(2)B=EAC,ACB=ACB,ACEBCA.又AB=AC,B=ACB=30.在RtABE中,=tanB=tan30=.专题5圆内接四边形的判定及性质(2015辽宁
5、锦州一模,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)如图,在正ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆;(2)若正ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.(1)证明:AE=AB,BE=AB.在正ABC中,AD=AC,AD=BE.又AB=BC,BAD=CBE,BADCBE.ADB=BEC,即ADF+AEF=.A,E,F,D四点共圆.(2)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,AE=AB,AG=GE=AB=.AD=AC=,DAE=60,AGD为正三角形.GD=AG=AD=,即GA=GE=GD
6、=.点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.(2015辽宁锦州二模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图,圆M与圆N相交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10.(1)求AB的长;(2)求.解:(1)根据弦切角定理,知BAC=BDA,ACB=DAB,ABCDBA,则,故AB2=BCBD=50,AB=5.(2)根据切割线定理,知CA2=CBCF,DA2=DBDE,两式相除,得.(*)由ABCDBA,得,又,由(*)得=1.专题7与
7、圆有关的比例线段(2015辽宁丹东二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)如图,AB是O的直径,CB与O相切于点B,E为线段BC上一点,连接AC,AE,分别交O于D,G两点,连接DG交CB于点F.(1)求证:C,D,E,G四点共圆;(2)若F为EB的三等分点且靠近点E,GA=3GE,求证:CE=EB.(1)证明:连接BD,则AGD=ABD.ABD+DAB=90,C+CAB=90,C=AGD.C+DGE=180,C,E,G,D四点共圆.(2)解:设EG=x,GA=3x,由切割线定理EGEA=EB2,则EB=2x.又F为EB三等分点,EF=,FB=.又FEFC=FGFD,FGFD=FB2,FC=
8、,CE=2x,即CE=EB.(2015江西南昌三模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)如图,四边形ABCD内接于O,过点A作O的切线EP交CB的延长线于P,已知EAD=PCA.证明:(1)AD=AB;(2)DA2=DCBP.证明:(1)EP与O相切于点A,EAD=DCA.又EAD=PCA,DCA=PCA,AD=AB.(2)四边形ABCD内接于O,D=PBA.又DCA=PCA=PAB,ADCPBA.,即,DA2=DCBP.14.2坐标系与参数方程专题4曲线的参数方程的求解(2015辽宁丹东二模,曲线的参数方程的求解,解答题,理23)长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动,=
9、2,点P的轨迹为曲线C.(1)以直线AB的倾斜角为参数,写出曲线C的参数方程;(2)求点P到点D(0,-1)距离d的取值范围.解:(1)设P(x,y),如图,则根据题意可知:x=|AB|cos(-)=-2cos,y=|AB|sin(-)=sin,曲线C的参数方程是.(2)设P(-2cos,sin),则|PD|=.,sin(0,1),2|PD|,故d的取值范围是.(2015辽宁锦州一模,曲线的参数方程的求解,解答题,理23)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角=,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.解:(1)直线的参数方程为(t
10、为参数),即(t为参数).(2)把直线代入x2+y2=4,得=4,即t2+(+1)t-2=0,故t1t2=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2.专题6极坐标方程与参数方程的应用(2015辽宁丹东一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-4cos+6=0.(1)求C的参数方程;(2)若点P(x,y)在曲线C上,求x+y的最大值和最小值.解:(1)C的极坐标方程化为2-4cos-4sin+6=0,C的直角坐标方程是x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2,C的参数方
11、程是(是参数).(2)点P(x,y)在曲线C上,由(是参数),得到x+y=4+2sin,x+y的最大值是6,最小值是2.(2015辽宁葫芦岛二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为cos=a,且点A在直线上.(1)求a的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线与圆的位置关系.解:(1)由点A在直线cos=a上,可得a=cos0=,故直线的方程可化为cos+sin=2,从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)
12、2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,圆心到直线的距离d=1,直线与圆相交.(2015辽宁锦州二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若,直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.解:(1)C的直角坐标为(1,1),圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.化为极坐标方程是2-2(cos+sin)-1=0.(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,得(1+tcos)2+(1+tsin)2=3,即t2+2t(cos+sin)-1=0.t
13、1+t2=-2(cos+sin),t1t2=-1.|AB|=|t1-t2|=2.,2,2|AB|2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.解:(1)当m=5时,f(x)=由f(x)2可得,或,或.解得-x-1,解得-1x2的解集为.(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1取得最小值2,因为f(x)=在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-22,即m4.(2015江西南昌三模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知关于x的不等式m-|x-
14、2|1,其解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解:(1)不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1,其解集为0,4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b2,当且仅当a=b=时,a2+b2取最小值为.(2015河北保定二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知aR,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.解:(1)若a=1,则|2
15、x-1|+|x+3|2x+4.当x-3时,原不等式可化为-3x-22x+4,可得x-3;当-3x时,原不等式可化为4-x2x+4,可得3x0,即x时,原不等式可化为3x+22x+4,可得x2.综上,A=x|x0,或x2.(2)当x-2时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立;当x-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4,xa+1或x.a+1-2或a+1.a-2.综上,a的取值范围为a-2.(2015河北邯郸二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知函数f(x)=|x+a|+2|x+1|.(1)当a=-1时,求不等式f(x)5的解集;(2)若f(x)|x+1|+3a
16、-7恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=-1时,不等式f(x)5可化为解得x.不等式f(x)5的解集为.(2)原不等式即为|x+a|+|x+1|3a-7恒成立,|x+a|+|x+1|a-1|,|a-1|3a-7,解得a0).(1)当a=1时,求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,可得2|x-1|1,即|x-1|,解得x,或x,不等式的解集为.(2)|ax-1|+|ax-a|a-1|,不等式|ax-1|+|ax-a|1解集为R,等价于|a-1|1.解得a2,或a0.又a0,a2.实数a的取值范围为2,+).(2015辽宁锦州二模,含绝对值
17、不等式的解法,解答题,理24)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)若关于x的不等式g(x)0的解集为-5,-1,求实数m的值;(2)若f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.解:(1)由题意可得-|x+3|+m0的解集为-5,-1.由-|x+3|+m0,可得-m-3xm-3,求得m=2.(2)由题意可得|x-2|-|x+3|+m恒成立,即m|x-2|+|x+3|.而|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5,m5.(2015辽宁锦州一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)4
18、的解集;(2)若不等式f(x)|m-2|的解集是非空集合,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=令-x+4=4或3x=4,得x=0,或x=,所以不等式f(x)4的解集是(-,0.(2)f(x)在(-,1上递减,在1,+)上递增,所以f(x)f(1)=3.由于不等式f(x)3.解得,m5,即实数m的取值范围是(-,-1)(5,+).专题3含绝对值不等式的问题(2015辽宁葫芦岛二模,含绝对值不等式的问题,解答题,理24)已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,aR).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集.(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.解:(1)当a
19、=1时,f(x)=|2x-1|+x-5=由解得x2;由解得x-4.f(x)0的解集为x|x2或x-4.(2)由f(x)=0得|2x-1|=-ax+5.作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图象,观察可以知道,当-2a2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,函数y=f(x)有两个不同的零点.故a的取值范围是(-2,2).专题4不等式的证明(2015辽宁丹东二模,不等式的证明,解答题,理24)已知a,b为正实数.(1)若a+b=2,求的最小值;(2)求证:a2b2+a2+b2ab(a+b+1).(1)解:(1+a+1+b)=,等号成立的条件为,而a+b=2,所以a=,b=.所求的最小值为.(2)证明:由基本不等式得a2b2+a22a2b,a2b2+b22b2a,b2+a22ab,三式相加得2a2b2+2a2+2b22a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).所以a2b2+a2+b2ab(a+b+1).16
