1、第八章 正弦电源作用下的动态电路、相量法基础本章讨论单一频率正弦电源作用下的动态电路分析；介绍相量法基础。返回目录返回目录8.1 正弦电压和电流8.1.1 正弦电压和电流8.1.2 正弦量的三要素8.1.3 同频率正弦量的相位差8.1.4 正弦电流、正弦电压的有效值8.1.1 正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间t 的 sin 函数或 cos 函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为 cos 函数。当线性电路中所有的激励源都为同一频率的正弦交流电源时，若电路是稳定的，则电路进入稳定后，电路中各个电流和电压都是与电源同频
2、率的正弦量，此时的电路称为正弦电流电路，简称为交流电路。给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。)(cosimtIii+-u)(cosumtUu8.1.2 正弦量的三要素)(cosimtIiD 振幅 ImD 角频率Im 是电流 i 的最大值。)1(22Tf是 i 的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度 / 秒，电流 i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ，有如下关系)(cosimtIiD 初相位 ii 是 t = 0 时刻 i 的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。i由于 co
3、s 函数是周期函数，故i 是多值的，一般取i 的值与计时起点的选择有关。ti0ti00iti00i0i正弦量的振幅、初相位和角频率一旦确定，其变化规律就完全确定了。所以我们将振幅、初相位和角频率称为正弦量的三要素.8.1.3 同频率正弦量的相位差,)(cosumtUuF 同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。F 相位差 的单位：弧度、度。)(cosimtIi例:u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：iuiuiutt)()(F 相位差 是多值的，一般取 。F 同频率正弦量相位差的几种情况u 与 i 同相,0iuu 超前 i ,0iuu 滞后 i,0iuu 与 i 反相,iuu 与 i
4、正交,2iuuittuituitui当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们的初相位会改变,但是由于两者初相位的改变量相同,因此它们的相位差保持不变.相位差反映的是两个同频率正弦量的相位关系,与计时起点的选择无关.例1：已知ooo12030150求 u1 与 u2 的相位差 。)()120314sin(101Vtuo)()30314cos(1002Vtuo解：)()150314cos(10)210314cos(10)120314sin(101Vtttuooo即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。例2：已知ooo240120)120(求 u 与 i 的相位差 。)()120cos(VtU
5、uom解： u 超前 i (2 / 3) 弧度 。)()120cos(AtIiom即o1208.1.4 正弦电压、电流的有效值F 若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义为：TdttiTI02)(1以电流为例讨论。同样可推得正弦电压 u 的有效值为：)(cosimtIiF 正弦电流 的有效值为：mmTimTimIIdttITdttITI707.022)(2cos11)(cos102022mmUUU707.02F 有效值 的物理意义：TTdtiRdtRiw0210211Ri1周期电流 i1通过电阻R，R在一周期时间T内吸收的电能为RTIw222恒定电流 I2通过电阻R，R在T时间内吸收
6、的电能为若有TdtiTI02122即TdtiTI02121则有12wwRI28.2.1 复数的表示方法8.2.2 复数的运算8.2.3 正弦量的相量表示8.2 正弦量的相量表示相量法是利用欧拉公式将正弦量表示为复数量,从而将正弦量的求导,积分,求和运算转变为复变量的代数运算,这样就大大减化了正弦电流电路的计算.8.2.1 复数的表示方法F 直角坐标形式：)1(21jjaaA其中 a1 、 a2 均为实数， a1 是A的实部， a2 是A的虚部。F 向量表示：A+1+jaa1a2a ：复数A的模 ：复数A的辐角有：)(122221aaarctgaaasincos21aaaaF 三角函数形式：si
7、ncosjaaAF 指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：sincosjej可得：jeaA 简写作：A a 例1：已知 ，求其极坐标形式。4020jA解：oooarctga57.11643.63180)2040(72.442000402022故 A44.72 -116.57 o例2：已知 A= 13 112.6 o ，求其直角坐标形式。解：124.67sin136.112sin1354.67cos136.112cos1321ooooaa125jA8.2.2 复数的运算F 取实部、取虚部F 加减法运算21jaaA设则21)Im(,)Re(aAaA2121,bjbBajaA设则)()(2211ba
8、jbaBAA+1+jB-BA-BA-BA+1+jBCA+B+CF 乘除运算ajeaA例： 设bajjebbjbBeaajaA2121,设则)()()()(122122112121babajbabajbbjaaBA或)(babajjjebaebeaBA22212112222122112121bbbabajbbbabajbbjaaBA)(babajjjebaebeaBA则)90(90oaaojjjeaeaeAj)90(90oaaojjjeaeaeAj)180(1801oaaojjjeaeaeA)(cos2)(cosiimtItIi定义： 一个正弦量的相量是复常数。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其
9、相量之间是一一对应的关系。 相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用复平面的向量图表示，称为相量图。可表示为：设某一正弦电流为)(Re)(Re)(tjjmtjmeeIeIiiiijmmeIIijeII称 为电流 i 的振幅相量。mI称 为电流 i 的有效值相量(简称相量)。I有：)2(Re)(RetjtjmeIeIimIiIi可记为、8.2.3 正弦量的相量例1：已知解：6,)(12414.1iAI,)()6314(cos414.1Ati,)()6314(sin1.311VtuI求相量 及 ，并画出相量图。U)(6/1AI)()3314(cos1 .311)6314(sin1 .311Vtt
10、u3,)(22021 .311uVU)(3/220VU+1+jUI画相量图时， 和 的长度采用不同的比例。UI解：)()36280cos(1002)1002(Re)2(Re6280)3(11AteeeIitjjtj)()6280(cos1022Ati 例2：已知求 i1 及 i2 。 )(3/1001AI,1000,)(102HzfAI62802f也可直接写出正弦量表达式：oiAI0,)(1022)(102AI由 知 得：F 引理1. 唯一性引理：)()()(22112211txatxaXaXaF 引理2. 线性引理其中 a1、 a2 为实常数。当且仅当两个同频率正弦量的相量相等时，该两正弦量
11、相等。，则有：若 x1(t) 与 x2(t) 同是角频率为 的正弦量，且)(,)(2211txXtxX补充: 相量法的几个引理)2(Re)2(Re)(22112211tjtjeXaeXaxaxa)()()(22112211txatxaXaXa即证毕.证明：)2(Re)2(Re2211tjtjeXaeXa)(2Re2211tjeXaXaF 引理3. 微分引理：若 x (t) 是角频率为 的正弦量，且,)( txXdttdxty)()(则 也是角频率为 的正弦量，且其相量 为YXjY证明：设AXtAtx,)(cos2)(则)2(cos2)2(cos2)(sin2)(tAtAtAdtdxtyXjAA
12、Y22证毕.例：,)20314(cos321otx,)110314(cos822otx212xxx求解：得)14.73314(cos102otxooXXX11082032221ojj14.7310)52.774.2()05.264.5( 8.3 基尔霍夫定律的相量形式v 基尔霍夫电压定律时域方程： 0)( tu（对任一回路）在正弦稳态电路中，所有电压和电流都是同频率正弦量，对上式两边同时取相量，有相量形式方程： 0U（对任一回路）v 基尔霍夫电流定律时域方程： 0)( ti（对任一节点）相量形式方程： 0I（对任一节点）注意相量求和的含义！例1：已知i1i2i3)()90314(cos421A
13、tio)()314(cos322Ati，求 i3 。解ojIII15.53534213)()13.53314(cos523Atioabc例2：已知)()60(cos102Vtuoab)()120(sin82Vtuobc，求 uac 。 解：)()5.67(cos04.52VtuoacooocbbacajjUUU5 .6704.5)493.6()66.85(308120108.4 电路元件VAR的相量形式v 电阻)(cos2itIi 正弦稳态电路中，设Ri+-u时域方程：)()(tiRtu则)(cos2utUiRu 对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：IRU+1+jIU 相量方程可分为两
14、个实数方程：iuIRU,特点：u 与 i 同频率的正弦量，相位相同，最大值或有效值之间满足欧姆定律； u 与 i 幅值之比等于 R。uitv 电感)(cos2itIi正弦稳态电路中，设时域方程：dttidLtu)()(则)(cos2utUdtdiLu 对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：ILjU+-uiUI+1+j相量方程可分为两个实数方程：2,iuILU特点：u 超前 i ( / 2)弧度； u 与 i 幅值之比等于 L， L 反映电感对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大。uitv 电容)(cos2utUu正弦稳态电路中，设时域方程：dttudCti)()(则)
15、(cos2itIdtduCi 对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：UCjI+-uiUI+1+j相量方程可分为两个实数方程：2,)1(iuICU特点：u 滞后 i ( / 2)弧度； u 与 i 幅值之比等于 ( 1 / C ), 它反映电容对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小。uitv 受控源时域方程：)()(12tutu正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的正弦量。对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：VCVS)()(12tugtiVCCS)()(12titiCCCS)()(12tirtuCCVSVCVS12UU12UgI12II受控源特性方程的相量形式12IrUVCCSCCCSCCVS
