1、教学目标教学目标 n理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识n教学重点教学重点：求曲线的方程n教学难点教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法坐标平面上的点和有序数对建立了一一对应的关系. 代数代数有序数对有序数对 几何几何 点点点、曲线、坐标、方程间的关系点、曲线、坐标、方程间的关系n几何几何 代数代数n点点 点的坐标即有序实数对点的坐标即有序实数对(x,y) (x,y) 按规律的运动按规律的运动受某关系的制约受某关系的制约 曲线曲线C C 二元二元方程方程？0)y, x(f 研究与讨论：研究与讨论：（1）在直线坐标系中，方程
2、在直线坐标系中，方程 与曲线：与曲线： 一三象限角平分线的关系是什么？一三象限角平分线的关系是什么？ 0yxxy答：满足方程答：满足方程 的的 点点 在一三象限的在一三象限的 角平分线上，在一三象限角平分线上，在一三象限 角平分线上的点同时也满角平分线上的点同时也满 足方程足方程 0yx)y, x(0yxO 研究与讨论：研究与讨论：（2）过点）过点A（2，0）平行于）平行于 轴的直线轴的直线 与方与方 程的关系是什么？程的关系是什么？yl2x xy答：过答：过A（2，0）平行于）平行于 的的 直线直线 上的点上的点 满足满足 方程方程 ；但满足；但满足 方程方程 的点不一定的点不一定 在直线在
3、直线 上。上。 )y, x(yl2x 2x l)0 , 2(AO 研究与讨论：研究与讨论：（3）到两坐标轴的距离相等的点的轨迹与方程：）到两坐标轴的距离相等的点的轨迹与方程： 的关系是什么？的关系是什么？xy xy答：到两坐标轴的距离相等答：到两坐标轴的距离相等 的点的点 不一定满足方程不一定满足方程 ；但满足方程；但满足方程 的点的点 一定在曲线上。一定在曲线上。 （到两坐标轴的距离相等）（到两坐标轴的距离相等） )y, x(xy xy )y, x(O 问题与讨论： 问题：问题：对于曲线对于曲线C与方程与方程 的关系可能有哪几种情形？的关系可能有哪几种情形？0)y , x( f情形情形1 1
4、：在曲线在曲线C C上的点上的点 满足方程满足方程 , ,同时，以方程同时，以方程 的解为坐标的点的解为坐标的点 在曲线在曲线 C C 上。上。 )y, x(0)y , x( f0)y, x(f)y, x(情形情形2 2：在曲线：在曲线C C上的点上的点 满足方程满足方程 ；但以方程；但以方程 的解为坐的解为坐 标的点标的点 不一定在曲线不一定在曲线 C C 上。上。 )y, x(0)y , x( f0)y,x(f)y, x(情形情形3 3： 在曲线在曲线C C上的点上的点 不一定满足方程不一定满足方程 ；但以方程；但以方程 的解为坐的解为坐 标的点标的点 在曲线在曲线 C C 上。上。 )y
5、,x(0)y , x( f0)y, x(f)y, x(情形情形4 4： 曲线曲线C C上的点上的点 与以方程与以方程 的解为坐标的点的解为坐标的点 没有必然的没有必然的 联系。联系。 )y, x(0)y , x( f)y, x( 1 1、方程的曲线定义：、方程的曲线定义： 一般地在直角坐标系中，如果某曲线一般地在直角坐标系中，如果某曲线C C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上 的点与一个二元方程的点与一个二元方程( , )0f x y 的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系：（1 1）曲线）曲线C C上的点的坐标都是这个方程上的点的坐标都
6、是这个方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解；（2 2）以这个方程）以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的点的解为坐标的点都是曲线上的点都是曲线上的点. . 那么这个方程叫那么这个方程叫做曲线的方程做曲线的方程；这条曲线；这条曲线 叫做叫做方程的曲线方程的曲线。对曲线的方程定义的理解：（1 1）命题）命题1 1说明，曲线上没有坐标不满足方说明，曲线上没有坐标不满足方 程的点，也就是说曲线上所有的点都适程的点，也就是说曲线上所有的点都适 合这个条件而毫无例外（合这个条件而毫无例外（纯粹性纯粹性）（2 2）命题）命题2 2说明，适合条件的所有点都在曲说明，适合条件的所有点都在曲 线上而毫无遗
7、漏（线上而毫无遗漏（完备性完备性）（3 3）这两个命题是）这两个命题是互逆互逆的命题，并不是等价的命题，并不是等价 的命题，因而在的命题，因而在证明某方程是曲线的方证明某方程是曲线的方 程时必须分别予以证明程时必须分别予以证明。 练习A1.下面给出的下面给出的 方程方程F与曲线与曲线C中中,其中的曲线其中的曲线 是方程的曲线的是是方程的曲线的是: ( )0yx曲曲线线方方程程xxxxyyyyxy 0yx22yx )A()D()C()B(COOOO 练习练习A A2.下面给出的下面给出的 方程方程F与曲线与曲线C中中,其中的曲线是其中的曲线是 否为方程的曲线否为方程的曲线?为什么为什么? 方程方
8、程F: ; 曲线曲线C: 方程方程F: 曲线曲线C: 1yx222xy xy1答答: :不是不是. .因为还有满足方程的点因为还有满足方程的点没有在曲线上没有在曲线上.答答: :是是. .因为曲线的方程的两因为曲线的方程的两个命题都成立个命题都成立. . OO 练习A.如图如图:方程方程 表示的曲线的是表示的曲线的是: ( )A()D()C()B(2y4xOOOO 练习1.证明证明: :以坐标原点为圆心以坐标原点为圆心, ,半径为半径为5 5的圆的的圆的 方程是方程是: ,: ,并判断点并判断点: : 与与 是否在这个圆上是否在这个圆上. . 25yx22)4, 3(M1)2 ,52(M2 分
9、析分析:应该如何证明某曲线是一个方程的曲线应该如何证明某曲线是一个方程的曲线 ? ? 应该证明关于方程的曲线的两个命题都成立应该证明关于方程的曲线的两个命题都成立. . .如果点如果点 在方程为在方程为 的曲的曲线线 上上, ,则则sinsin =_=_ )cos,(sinA0y2x32练习练习B证明证明:证明证明:1.设设M(xM(x0 0,y ,y0 0 ) ) 是圆上任意一点是圆上任意一点.因为点因为点M到坐标到坐标原点的距离等于原点的距离等于5,所以所以 5yx2020 也就是也就是:25yx2020即即: M(xM(x0 0,y ,y0 0 ) ) 是方程是方程 的解的解.25yx2
10、22.设设M(xM(x0 0,y ,y0 0 ) ) 是方程是方程 的解的解,25yx22那么那么: 25yx2020两边开方取算术根两边开方取算术根,得得:5yx2020即点即点M(xM(x0 0,y ,y0 0 ) )到坐标原点的距离等于到坐标原点的距离等于,点点M(xM(x0 0,y ,y0 0 ) ) 是这个圆上的点是这个圆上的点.25yx22由由1、2可知，可知， 是以坐标原点为圆心，半径等于是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程。的圆的方程。xy5O练习练习B：点是否在曲线上的检验：点是否在曲线上的检验: 把点把点M1(3,- 4)的坐标代入方程的坐标代入方程25yx22左右两边
11、相等左右两边相等,(3,- 4)是方程的解是方程的解,所以点所以点M1在这个圆上在这个圆上;左右两边不等左右两边不等,)2 ,52( 不是方程的解不是方程的解,所以所以M2不在不在这个圆上这个圆上.xy51M2M要点要点: :1.1.掌握证明方程是某曲线的方程的方法掌握证明方程是某曲线的方程的方法: :要证明两个命题都成立要证明两个命题都成立. .2.2.检验点是否在曲线上的方法检验点是否在曲线上的方法: :点的坐标是点的坐标是否适合曲线的方程否适合曲线的方程. . 把把M2的坐标代入方程的坐标代入方程 , 25yx22O 练习. .如果点如果点 在方程为在方程为 的曲的曲线线 上上, ,则则
12、sinsin =_=_ )cos,(sinA0y2x32解解:因为点在曲线上因为点在曲线上,所以点的坐标适合方程所以点的坐标适合方程. 所以所以: 0cos2sin3202sin3sin22)2(sin21sin舍去 我们在必修课和选修我们在必修课和选修1-11-1中学中学习过一些曲线的方程。阅读课本习过一些曲线的方程。阅读课本P P3 3. .如何求曲线的方程？如何求曲线的方程？2 2、求曲线方程的一般步骤：、求曲线方程的一般步骤：1. 建系设标：建系设标：建立适当的坐标系，用建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点;. 列式列式：(列出限制条件列出限制条件)
13、 写出满足条件写出满足条件p的点的集合的点的集合P = | p(M) ;. 代入：代入： 用坐标表示条件用坐标表示条件p(M) ，列出方程，列出方程 f (x,y) =0 ;4. 化简：化简：化方程为最简形式；化方程为最简形式；. 证明：证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。上的点。(习惯上加以补充说明，习惯上加以补充说明，查缺补漏查缺补漏)说明：说明：一般情况下一般情况下,化简前后方程的解集是相同的化简前后方程的解集是相同的,步骤步骤（5）可以省略不写可以省略不写,如有特殊情况如有特殊情况,可适当予以说明可适当予以说明.另外另外,根据情
14、况根据情况,也可以省略步骤（也可以省略步骤（2）,直接列出曲线方程直接列出曲线方程.3、求轨迹方程的常见方法、求轨迹方程的常见方法:1.直接法直接法:直接法即是根据已知条件探求动点所满直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来，一般有五个步骤动点坐标表示出来，一般有五个步骤.2、几何法：几何法：就是从问题的几何特征出发，运用平就是从问题的几何特征出发，运用平面几何的知识，建立几何图形中面几何的知识，建立几何图形中几何量几何量(线段长、线段长、角等角等)的关系的关系，从而可先确定出动点的轨迹是什么，从而可
15、先确定出动点的轨迹是什么图形或转化为动点坐标的形式即得到所求的曲线图形或转化为动点坐标的形式即得到所求的曲线方程。方程。建系设点建系设点写等式即找相等关系写等式即找相等关系等式坐标化等式坐标化化简化简修正修正3.代入法代入法:这个方法又叫这个方法又叫相关点法相关点法或或坐标代换法坐标代换法或或坐标转移法或坐标转移法或主从动点法主从动点法。如果动点如果动点M(x,y) 依赖于已知曲线依赖于已知曲线F(x,y)=0上的另一上的另一个动点个动点P(x,y)而运动，则利用动点而运动，则利用动点P(x,y)是定是定曲线曲线F(x,y)=0上的动点上的动点,另一动点另一动点M(x，y)依赖于依赖于P(x,
16、y)，那么想办法用，那么想办法用M(x，y)的坐标把的坐标把P(x,y)的坐标表示出来即关系式的坐标表示出来即关系式x=f(x,y),y=g(x,y)，后，后代入方程代入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨迹方程的轨迹方程.例例3.已知已知x轴上的一定点轴上的一定点A（1,0），），Q为椭圆为椭圆 上的动点，求上的动点，求AQ中点中点M的轨迹方程的轨迹方程.MAQ2-2xOy1422 yx解：设动点解：设动点M M的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，Q(XQ(X0 0,Y,Y0 0) )则则M M是是AQAQ的中点得的中点得因为因为Q(x0,y0)点为椭圆点为椭圆 上的点上的点
17、 1422 yx所以有所以有 1)2(4) 12(22yx即即 14)21(22yx所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是 14)21(22yx001202xxyy00 x =2x-1y =2y解得220014xy代入法代入法: 练习C1. 根据方程根据方程F,自己构造曲线自己构造曲线C,使曲线使曲线C满足该题所满足该题所 提出的要求提出的要求. .已知方程已知方程F : 构造曲线构造曲线C,使曲线使曲线C上的点上的点 都满足方程都满足方程F,而满足方程而满足方程F的点不全在曲线的点不全在曲线C上上.已知方程已知方程F: 构造曲线构造曲线C,使曲线使曲线C上的上的 点不全满足方程点不全满足方程
18、,而满足方程的点都在曲线而满足方程的点都在曲线C上上.已知方程已知方程F: 构造曲线构造曲线C, 使满足方程使满足方程F的点都在曲线的点都在曲线C上上,且曲线且曲线C上的点上的点 都满足方程都满足方程F.1xy 0 xy0)1yx)(1yx(22 练习C.已知方程已知方程F : 构造曲线构造曲线C,使曲线使曲线C上的点上的点 都满足方程都满足方程F,而满足方程而满足方程F的点不全在曲线的点不全在曲线C上上.1xy 解解.如图如图:构造曲线构造曲线C为双曲线为双曲线x1y xy的一支的一支,则满足曲线上则满足曲线上的点全满足方程的点全满足方程,而满而满足方程的点不全在曲足方程的点不全在曲线线C上
19、上.(或在或在 满足方程满足方程的所有点中挖掉一部的所有点中挖掉一部分点分点)x1y O 练习C.已知方程已知方程F: 构造曲线构造曲线C,使曲线使曲线C上的上的 点不全满足方程点不全满足方程,而以方程的解为坐标点都在曲线而以方程的解为坐标点都在曲线C上上.0 xy解解:. 构造的曲线构造的曲线C是抛是抛物线物线2xy yx0 xyxy (或另外增加一或另外增加一条曲线条曲线) . 则曲线则曲线C上的点上的点不全满足方程不全满足方程F,而以方程而以方程F的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上上(即在方程的曲线上增即在方程的曲线上增加了一些点或另外的曲线加了一些点或另外的曲线). O2
20、xy 练习C.已知方程已知方程F: 构造曲线构造曲线C, 使满足方程使满足方程F的点都在曲线的点都在曲线C上上,且曲线且曲线C上的点上的点 都满足方程都满足方程F.0)1yx)(1yx(22解解:. 构造的曲线构造的曲线C由以原点为圆心由以原点为圆心,以以1为为 半径的圆和直线半径的圆和直线01yx 组成组成.则满足方程的点都在曲线则满足方程的点都在曲线C上上,且曲线且曲线 C上的点都满足方程上的点都满足方程F. 学习小结.曲线与方程的关系: ()曲线上的每一点的坐标都满足方程; ().以方程的解为坐标的点都在曲线上.才称曲线为方程的曲线,方程为曲线的方程.如何证明、判断曲线是方程的曲线，方程
21、是 曲线的方程和点与曲线的关系. .点、曲线、方程之间的内在联系.点、曲线、方程间的关系n几何 代数n 点 点的坐标 满足几何条件满足代数条件 曲线 方程点、曲线、方程间的关系n几何 代数n 点 点的坐标 满足几何条件满足代数条件 曲线 方程 O 00yxM,0y-x xy152 .图图 ;,.,的解是方程么的坐标那即轴的距离相等它到两直线上的任意一点是这条如果点说是就这的方程是线的直限第一、三象分平在直角坐标系中我们知道00000000 yxyxyxyxMyx .,152000000 图它一定在这条直线上的距离相等点到两坐标轴那么以这个解为坐标的即的解即的解是方程如果yxyxyxyx,反过来
22、 O 00yxM,xy252 .图图 222rbyax ;,.,的解是方程标这说明它的坐也就是即的距离一定等于半径那么它到圆心圆上的点是如果就是说这为半径的圆的方程是为圆心、以又如2220022020202000222rbyaxyxrbyaxrbyaxyxMrbyaxrba O 00yxM,xy252 .图图 222rbyax .,25220202202022200 圆的圆上为半径为圆心它一定在以距离为的到点即以这个解为坐标的点也就是即的解方程是如果反过来rbarbarbyaxrbyaxrbyaxyx :,)(,的实数解建立如下关系的实数解建立如下关系二元方程二元方程上的点与一个上的点与一个点
23、的轨迹点的轨迹集合或适合某种条件的集合或适合某种条件的看作点的看作点的如果某曲线如果某曲线在直角坐标系中在直角坐标系中一般地一般地0 yxfC ;个方程的解个方程的解曲线上点的坐标都是这曲线上点的坐标都是这1 .的点的点为坐标的点都是曲线上为坐标的点都是曲线上以这个方程的解以这个方程的解2 .;,curve这条曲线叫做这条曲线叫做这个方程叫做这个方程叫做那么那么曲线的方程曲线的方程的曲线的曲线方程方程 .,00 yxfyxf也可以说成曲线也可以说成曲线曲线方程是曲线方程是?的关系吗的关系吗物线和相应的方程之间物线和相应的方程之间椭圆、双曲线、抛椭圆、双曲线、抛你能用同样的方法说明你能用同样的方
24、法说明探究探究 .kxykk 点的轨迹方程是点的轨迹方程是的的距离的积是常数距离的积是常数证明与两条坐标轴的证明与两条坐标轴的例例01OMQRxy352 .图图 .|,|,|.,.kyxxyyxMyxM 0000003521所以轴的距离为与轴的距离为与因为点是轨迹上的任意一点设如图证明 .,的解是方程即 xyyx00.,程的关系程的关系解曲线与方解曲线与方形结合理形结合理数数通过动画实验演示通过动画实验演示 .|,kyxkxyyxM 111112则的解是方程的坐标设点OMQRxy352 .图图.,| |,|曲线上的点是点离的积是常数到这两条直线的距点因此纵轴、横轴的距离到正是点而11111Mk
25、MMyx .,的点的轨迹方程积为常数的是与两条坐标轴的距离可知、由021 kkkxy 1 数轴数轴(直线坐标系直线坐标系)： 2 平面直角坐标系：平面直角坐标系： 3 空间直角坐标系：空间直角坐标系：任意任意点点P实数实数x确确 定定有序实数对有序实数对(x, y)确定确定 有序实数组有序实数组(x, y, z)确定确定 建立坐标系建立坐标系目的目的是是确定点的位置确定点的位置. 创建坐标系的创建坐标系的基本原则基本原则： (1) 任意一点都有确定的坐标与它对应；任意一点都有确定的坐标与它对应； (2) 依据一个点的坐标就能确定此点的位置依据一个点的坐标就能确定此点的位置. 求出此点在该坐标系
26、中的求出此点在该坐标系中的坐标坐标.阅读理解课本阅读理解课本P2， 回答思考交流问题。回答思考交流问题。222221.(2)(3)252.()()xyxaybr “曲线与方程曲线与方程”是解析几何的重要概念是解析几何的重要概念. “在直角坐标系中，如果曲线在直角坐标系中，如果曲线C上的点与上的点与 一个二元方程一个二元方程f (x，y)0的实解有如下关系的实解有如下关系: 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解; 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那末：那末：“这个方程叫做曲线的方程；这个方程叫做曲线的方程；这条曲
27、线叫做方程的曲线这条曲线叫做方程的曲线.” 这段话既抽这段话既抽象，读起来又拗口象，读起来又拗口. 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解;2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.图图(1)中曲线与方程中曲线与方程y 之间关系是符合以上两之间关系是符合以上两条标准的；图条标准的；图(2)中曲线与方程中曲线与方程y 仅符合标准仅符合标准2；图；图(3)中曲线与方程中曲线与方程y 仅符合标准仅符合标准1.则我则我们称图们称图(1)的曲线是方程的曲线是方程y 的曲线的曲线,方程方程y 称为图称为图(1)中曲线的方程中曲线的方程,
28、而图而图(2)、(3)所示曲线所示曲线则不能称为方程则不能称为方程y 的曲线的曲线.x1x1x1x1x1x1例例1 判断以下方程是否为曲线的方程判断以下方程是否为曲线的方程: (1) 经过点经过点(3,0)且垂直于且垂直于x 轴的直线轴的直线 与与 x 3; (2) 与坐标轴距离相等的点的集合与坐标轴距离相等的点的集合 与与xy0.例例2. 直角坐标系中直角坐标系中,方程方程 x y1的曲线是的曲线是: (A) (B) (C) (D)(C)求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy说明：说明：1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个三个独立条件。 解：设M(
29、x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是集合 P=M| |MC|=r 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2例例4：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，需用一个支柱支撑， 求支柱求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（系，设圆心坐标是
30、（0，b）圆的半径是圆的半径是r ,则圆的方程则圆的方程是是x2+(y-b)2=r2 。把把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是：所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标x= -2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。练习练习： P34 1、2.作业作业： P7 习题习题1-1 A组组 1； 7.（1）、（）、（3） ； 8.
