1、1 一、一、对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的概念的概念 二、对弧长曲线积分的计算二、对弧长曲线积分的计算 三、几何与物理意义三、几何与物理意义第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分2问题的提出问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值3一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）（第一类曲线积分）的
2、概念的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设1. 1. 定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L4.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或
3、在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分曲线积分曲线积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 弧长元素（弧微分）弧长元素（弧微分）0 ds52.2.存在条件：存在条件：.),(,),(存存在在对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf3.3.推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 6注意
4、：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),( ),(. 2 LdsyxfLyxf曲曲线线积积分分记记为为对对弧弧长长的的上上在在闭闭曲曲线线函函数数74.4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL Lsd)4( l 为曲线弧为曲线弧 L的长度的长度)l 积分路径可加性积分路径可加性 L-L),()
5、,( )5(dsyxfdsyxf与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关8二、对弧长曲线积分的计算二、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设证证: :根据定义根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(9, ,1kkktt点点),(kktttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()
6、(22 )(, )(kkf )()()(22由由一一致致连连续续性性连连续续注注意意tt 设各分点对应参数为设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为对应参数为 则则,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf 积分中值定理积分中值定理10 Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 因此因此注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限, 0, 0 kkts因此积分限必须满足因此积分限必须满足! xdydsdxyo2. 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于因此
7、上述计算公式相当于“换元法换元法”. 11特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc (3) 如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则则syxfL d),( sin)(,cos)( rrf d)()(22rr 12推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(: ttztytx则则 szyxfd),(ttttd)()()(222 )(),(, )(tttf13例例1:1:).(,sin
8、,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解: :dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin tdbtbaabtdtbtaab22022222202222sinsin)(21sincossin21 dububaab10222)(21.)(3)(22bababaab 14例例2:2:.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解: :dyyyI222)2(1 . 0 例例3:3:)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzd
9、sI解解: :.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I15例例4.如如图图所所示示是是封封闭闭路路径径，其其中中计计算算,d OABOLsxyL xyoA)1 , 1(B2xy BOABOA dxy dxy dxy d ssssxyL1x0 , 0y:OA 0 dxy OAs1y0 , 1x:AB 21 dxy ABs161x0 ,xy:BO 2dx2x1x dxy 2103BOsdt4t14t81 1012012455 d sxyL12061245517三、几何与物理意义三、几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM
10、 ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 18,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 注：可推广至空间曲线弧注：可推广至空间曲线弧19例例5. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为 2的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I (设线密度设线密度 = 1). 解解: 建
11、立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2 d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则则 )(sincos: RyRxL20例例6. 计算计算,dsxIL其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用利用对称性对称性 , 得得sxILd41 4022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox21d d s例例7. 计算计算,d)(222szyxI其中其中 为球面为球面22
12、yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2( 18d229 20 Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y则则22例例8. 计算计算,d2sx其中其中 为球面为球面 2222azyx被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2若不用轮换对称性直接计算，关键是将曲线方程化为参数方程，繁琐若不用轮换对称性直接计算，关键是将曲线方程化为参数方程，繁琐2
13、3思考思考: 例例8中中 改为改为 0)1()1(2222zyxazyx计算计算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX 0 :2222ZYXaZYX, 则则sx d2 sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2, 如何如何24小结小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用25思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示
14、弧段的长度. .26思考与练习思考与练习1. 已知椭圆已知椭圆134:22yxL周长为周长为a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:272. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量的质量smLd222ka 而而sxLd22kaa20dcostt0(1)28syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为故重心坐标为),0,0(k222dkasmL
