1、第六章数列6.3等比数列及其前n项和专题3等比数列前n项和公式(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列an的前n项和为Sn,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=()A.-20B.0C.7D.40解析:设数列的公比为q(q1),则-3a1,-a2,a3成等差数列,-3a1+a3=-2a2,a1=1,-3+q2+2q=0,q1,q=-3.S4=1-3+9-27=-20.故选A.答案:A(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=ak时的切线和x轴交于ak+1,若
2、a1=1,则数列an的前n项和为()A.13+23nB.23n-1C.3-23nD.3-2n3n-1解析:函数y=x3,y=3x2,ak3-0ak-ak+1=3ak2,即akak-ak+1=3,化简,得3ak+1=2ak,即ak+1ak=23,又a1=1,Sn=1-23n1-23=3-2n3n-1,故选D.答案:D6.5数列的综合应用专题1数列与不等式相结合问题(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+1=2an,则使不等式a12+a22+an252n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得
3、a1=1.当n2时,Sn+1=2an,Sn-1+1=2an-1,an=2(an-an-1),anan-1=2.数列an是以1为首项,2为公比的等比数列.an=2n-1,an2=4n-1.a12+a22+an2=1+4+42+4n-1=4n-14-1=13(4n-1).13(4n-1)52n+1.2n(2n-30)1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4.答案:4专题2数列与函数相结合问题(2015河南省洛阳市高考数学一模,数列与函数相结合问题,解答题,理17)已知an,bn均为等差数列,前n项和分别为Sn,Tn.(1)若平面内三个不共线向量OA,OB,OC满足OC=a3OA+a15OB,且A,
4、B,C三点共线.是否存在正整数n,使Sn为定值?若存在,请求出此定值;若不存在,请说明理由;(2)若对nN+,有SnTn=31n+101n+3,求使anbn为整数的正整数n的集合.解:(1)A,B,C三点共线.R,使AC=AB,OC-OA=(OB-OA),即OC=(1-)OA+OB,由平面向量的基本定理,得1-=a3,=a15,消去得到a3+a15=1,a3+a15=a1+a17=1,S17=1217(a1+a17)=172.即存在n=17时,S17为定值172.(2)由于anbn=a1+a2n-1b1+b2n-1=S2n-1T2n-1=31(2n-1)+1012n-1+3=31+4n+1,根据题意n+1的可能取值为2,4,所以n的取值为1或3,即使anbn为整数的正整数n的集合为1,3.3
