1、东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室第三章第三章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影直线直线点点 点、直线和平面是构成立体的点、直线和平面是构成立体的基本基本几何元素几何元素平面平面3 3-1 -1 点的投影点的投影 P36P36东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 P36-39P36-39a ay ya ax xa az za aa a a a a a 正面投影正面投影
2、a a 侧面投影侧面投影a a水平投影水平投影1. 点的正面投影点的正面投影和水平投影的连和水平投影的连线垂直于线垂直于OX轴轴 （aaOX）；）；2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（轴（a aOZ）；）；3. 点的水平投影到点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离轴的距离（aax=a az）。）。a ax xa az z东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影例：已知点的正面投影例：已知点的正面投影a 和水平投影和水平投影a，求其侧面投影，求其侧面投影a a aa XZ
3、OYWYHaxa a OX ; a a OZ ; aax = a az东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室a aXZYH1. A（8，12，18）3.1 3.1 点的投影点的投影（习题集（习题集1414页）页）3.1.1 3.1.1 已知下列各点的坐标，画已知下列各点的坐标，画出它们的三面投影。出它们的三面投影。YWOcccYHZ1. XYW3.1.4 3.1.4 已知下列各点的两个投影，已知下列各点的两个投影，求作它们的第三投影。求作它们的第三投影。a东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影两点间的相对位置两点间的相对位置a aa a a a a
4、 ax xa ay ya az za aa a a a b b b bb b b b b bb b 两点间的相对位置可两点间的相对位置可通过比较它们同方向的通过比较它们同方向的坐标值大小来判断坐标值大小来判断两点中两点中X坐标大的点坐标大的点 在左方在左方两点中两点中Y坐标大的点坐标大的点 在前方在前方两点中两点中Z坐标大的点坐标大的点 在上方在上方东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影aa a bb b （ ）aa a （c ）cc 重影点及可见性重影点及可见性 当空间两点位于某一投影面的同一条投射线上时，它们的该面当空间两点位于某一投影面的同一条投射线
5、上时，它们的该面投影重合投影重合, ,这时，空间两点称为对该投影面的重影点。这时，空间两点称为对该投影面的重影点。对对H面的面的重影点重影点对对V面的面的重影点重影点上方点可见上方点可见前方点可见前方点可见上边、左上边、左边、前边边、前边的点可见。的点可见。 注意：注意：()()表示不可见，例如表示不可见，例如(a)(a)表示表示A A水平投影水平投影a a不可见。不可见。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室AB他们能看他们能看到自己的到自己的脚么？脚么？以眼睛为以眼睛为投影中心投影中心VHba(b)由重影点由重影点的可见性的可见性分析，他分析，他们看不到们看不到自己的脚。自己的脚。
6、ZXYOaH面面V面面东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 31 1 点的投影点的投影例：已知例：已知B点的三投影，点的三投影，A点在点在B点之右点之右8mm，之前，之前5mm，之上之上9mm，求，求A点的投影。点的投影。bb XZOYWYHb aa a 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3.1.5 3.1.5 点点B B在点在点A A的左面的左面14mm14mm，后面，后面12mm12mm，上面，上面10mm10mm，求作点，求作点B B的三面投影，并将的三面投影，并将ABAB连成直线。（习题集连成直线。（习题集1515页）页）YwXYHZaaaObbb10m10mm
7、 m14mm14mm12m12mm m东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影3 3-2 -2 直线的投影直线的投影一、直线的投影一、直线的投影二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性三、直线上的点的投影三、直线上的点的投影东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室一、直线的投影一、直线的投影P41 3 32 2 直线的投影直线的投影 aa a bb b XZOYWYHbb b aa a 直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影比如比如ABAB的水平投影是的水平投影是A A与与B B点的水平投影点的
8、水平投影a a与与b b连线连线直线对投影面的倾角直线对投影面的倾角东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性P44（表（表3-1，3-2）投影面平行线：投影面平行线：平平行于一个、倾斜于行于一个、倾斜于另两个投影面的直另两个投影面的直线线 V V面面正平线正平线 H H面面水平线水平线 W W面面侧平线侧平线投影面垂直线：投影面垂直线：垂垂直于一个、同时平直于一个、同时平行于另两个投影面行于另两个投影面的直线的直线 V V面面正垂线正垂线 H H面面铅垂线铅垂线 W W面面侧垂线侧垂线投影面倾斜线：投影
9、面倾斜线：对对三个投影面都倾斜三个投影面都倾斜的直线的直线特殊位特殊位置直线置直线一般位置直线一般位置直线东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室水面为水面为H面面水平线水平线地面为地面为H面面正平线正平线屏幕为屏幕为V面面地面为地面为H面面铅锤线铅锤线屏幕为屏幕为V面面东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影1. 投影面平行线投影面平行线（1 1）正平线）正平线XZOYWYHaba b a b 投影特性：投影特性：a a b b =AB;=AB;abab OXOX、a a b bOZ;OZ;反映反映 、 角的真实角度。角的真实角度。aa a bb
10、 b 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影（2 2）水平线）水平线（3 3）侧平线）侧平线cd=CD;cd=CD;c c d dOXOX、 c c d dOYOYW W; ;反映反映 、 角角的真实角度的真实角度e e f f =EF;=EF;e e f fOZOZ、 efef Y YH H; ;反映反映 、 角角的真实角度的真实角度XZOYWYHff f ee e ef f fe e cc c dd d XZOYWYH cc c dd d 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影1)1)在与其平行的投影面上的
11、投在与其平行的投影面上的投影显实长，其与相邻投影轴的影显实长，其与相邻投影轴的夹角反映直线对另两投影面的夹角反映直线对另两投影面的真实倾角；真实倾角；2)2)另两个投影长度缩短，且分另两个投影长度缩短，且分别平行于相应的投影轴。别平行于相应的投影轴。例：过点例：过点A作正平线作正平线AB，长为长为20mm, 30。aa XO3020mmbb 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性aa a bb b 几个解？几个解？东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影2. 投影面垂直线投影面垂直线（1 1）正垂线）正垂线ZXOYWYHbaa (b )b a 投影
12、特性：投影特性：a a (b(b ) )积聚为一点积聚为一点; ;abab OXOX、a a b bOZOZ。ababa a b b AB;AB;ba b a(b )a 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影（2 2）铅垂线）铅垂线（3 3）侧垂线）侧垂线c(d)c(d)积聚为一点积聚为一点; ;c c d d OXOXc c d d OYOYW W; ;e e (f(f ) )积聚为积聚为一点一点; ;e e f f OZOZ、ef ef Y YH H; ;cc c （d）d d XZOYWYHcc c (d)d d c c d d c c d d
13、CD;CD;XZOYWYHff (f )ee e ef (f )fe e e e f f efefEF;EF;东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影aa a b(b )b 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性1)1)在与其垂直的投影面上的投在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；影积聚为一点；2)2)另两个投影显实长，且分别另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。垂直于相应的投影轴。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影3. 投影面倾斜线投影面倾斜线aa a bb b b bXZOYWYHb aa a
14、 投影特性：投影特性：1)1)直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线；直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线；2)2)投影不反映直线的实长和倾角。投影不反映直线的实长和倾角。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室例：判断各直线对投影面的相对位置例：判断各直线对投影面的相对位置（b ）bb XZOYWYHc aa a cdc d d AB为为_线线BC为为_线线CD为为_线线3 32 2 直线的投影直线的投影侧垂线侧垂线倾斜线倾斜线水平线水平线东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室aa a bb b 3 32 2 直线的投影直线的投影三、直线上点的投影三、直线上点的投影P42Za b
15、b XOYWYHb a ac c c 1 1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上； 2 2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。、点分线段成定比，其空间比等于投影比。 AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cbc c c东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室c AC:CB = ac:cb = ac:cb = 2:1 3 32 2 直线的投影直线的投影例例1 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成AC:CB=2 : 1两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。OXbb aa c0b0c 东北大学东北大学 工程图学
16、教研室工程图学教研室3 32 2 直线的投影直线的投影例例2 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。bccca定比作图方法定比作图方法东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室a”b”3 32 2 直线的投影直线的投影例例2 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。OZYHYWc”c东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影3 3-3 -3 平面的投影平面的投影一、平面的投影一、平面的投影二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线东北大学
17、东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影一、平面的投影一、平面的投影1. 用几何元素表示平面用几何元素表示平面(P49)各种形式可以互相转换各种形式可以互相转换bb aa c cxobb aa c cxoa bb ac cxobb aa c cxod dbb aa c cxo不共线三点不共线三点直线和线外一点直线和线外一点两相交直线两相交直线平面图形平面图形两平行直线两平行直线东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影2. 用迹线表示平面用迹线表示平面(P50)PVPHPW XZOYWYHPVPHPW迹线迹线 平面与投影面的
18、交线平面与投影面的交线正面迹线正面迹线水平迹线水平迹线侧面迹线侧面迹线平面对投影平面对投影面的倾角面的倾角 、 、 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性P50 表表3-3，3-4投影面垂直面：投影面垂直面：垂垂直于一个、倾斜于直于一个、倾斜于另两个投影面的平另两个投影面的平面面 V V面面正平面正平面 H H面面水平面水平面 W W面面侧平面侧平面投影面平行面：投影面平行面：平平行于一个、同时垂行于一个、同时垂直于另两个投影面直于另两个投影面的平面的平面 V V面面正垂面正垂面 H H面面铅垂面铅垂
19、面 W W面面侧垂面侧垂面投影面倾斜面：投影面倾斜面：对对三个投影面都倾斜三个投影面都倾斜的平面的平面特殊位特殊位置平面置平面一般位置平面一般位置平面东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室aa (b )bcda b c d d (c )3 33 3 平面的投影平面的投影1. 投影面垂直面投影面垂直面(P51)（1 1）正垂面）正垂面PVXZOYWYHa b c d a (b )d (c )abdc 投影特性：投影特性：a a b b c c d d 积聚为直线积聚为直线; ;abcdabcd和和a a b b c c d d 为面积缩小的类似形。为面积缩小的类似形。反映反映 、 角的真
20、实角度；角的真实角度； PV东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影hh g e(g)h f (f)f e e (g)f (f)f e e heh g h g XZOYWYH（2 2）铅垂面）铅垂面（3 3）侧垂面）侧垂面反映反映 、 角角的真实角度的真实角度; ;i i l j i XZOYWYHj jk(l )(k ) RW (l )i (k )j i l j K ijklRWefgh-efgh-直线直线; ;e e f f g g h h 和和e e f f g g h h -类似形。类似形。反映反映 、 角角的真实角度的真实角度; ;i j k
21、l -直线直线; ;ijklijkl和和i i j j k k l l -类似形。类似形。QHQH东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性(P52)aa (b )bcdb c d d (c ) 1)1)在与其垂直的投影面上的投在与其垂直的投影面上的投影积聚为直线，其与相邻投影影积聚为直线，其与相邻投影轴的夹角反映平面对另两投影轴的夹角反映平面对另两投影面的真实倾角；面的真实倾角；2)2)另两投影为面积缩小的类似另两投影为面积缩小的类似形。形。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室a (d )(c )b
22、a(b)d(c)PWPH3 33 3 平面的投影平面的投影2. 投影面平行面投影面平行面(P52-53) （1 1）正平面）正平面XZOYWYHa b a(b)a (d )d d(c)(c )b PHPWa b d c 投影特性：投影特性：a a b b c c d d 显示平面的实形显示平面的实形; ;abcdabcd和和a a b b c c d d 积聚为直线；积聚为直线；abcdOXabcdOX轴、轴、a a b b c c d d OZOZ轴。轴。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影（2 2）水平面）水平面（3 3）侧平面）侧平面efghe
23、fgh实形实形; ;efghefgh和和e e f f g g h h -直线，分别平直线，分别平行于行于OXOX、OYOYW W轴轴i j k l -实形实形; ;i i j j k k l l 和和ijklijkl-直线，分别平直线，分别平行于行于OZOZ、OYOYH H轴轴XZOYWYHff f (e )QV(g )g (h )egh(h )e efghf (e )g (h ) e (h ) f (g )QVi (i ) l j XZOYWYHi(j)l k RH(j ) k (k)li j k l (i ) l (j ) k i(j)(k)lRH东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学
24、教研室3 33 3 平面的投影平面的投影a b a(b)a (d )d d(c)(c )b 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性1)1)在与其平行的投影面上的投在与其平行的投影面上的投影反映平面的实形；影反映平面的实形；2)2)另两个投影积聚成直线，且另两个投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。分别平行于相应的投影轴。3. 投影面倾斜面投影面倾斜面1)1)三个投影均为面积缩小的类三个投影均为面积缩小的类似形；似形；2)2)投影中不反映平面的真实形投影中不反映平面的真实形状和倾角。状和倾角。a b ac bca c b 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室ABC为为_面面S
25、AC为为_面面SAB为为_面面SBC为为_面面3 33 3 平面的投影平面的投影例例1 判断三棱锥各表面的位置判断三棱锥各表面的位置水平水平侧垂侧垂倾斜倾斜倾斜倾斜东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室f fee XOa b abc c 1 1、直线通过平面上两个点；、直线通过平面上两个点；3 33 3 平面的投影平面的投影三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线(P55)1. 直线和点在平面上的几何条件直线和点在平面上的几何条件dd g g 2 2、直线通过平面内一个点，且平行于平面内任一直线；、直线通过平面内一个点，且平行于平面内任一直线；3 3、点在平面内的任一直线上；、点在平面
26、内的任一直线上；d dgg XOa b abc cG点在点在ABC平面内吗？平面内吗？东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影例例2 过点过点A作铅垂面，使作铅垂面，使 30例例3 过直线过直线AB作正垂面作正垂面b c aa XObc30XOa b abc c还能作哪些位置的平面？还能作哪些位置的平面？东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室d3 33 3 平面的投影平面的投影2.在平面上取点和直线在平面上取点和直线 已知平面的各投影及平面上点和直线的一个投影，根据点已知平面的各投影及平面上点和直线的一个投影，根据点和直线在平面上的从属关系，求出
27、点和直线其他投影。和直线在平面上的从属关系，求出点和直线其他投影。例例1 已知点已知点D、E在在ABC平面内，求平面内，求 d 和和 e 。1 1d XOXOa b abc ca b abc ce22 e 东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室h3 33 3 平面的投影平面的投影例例2 完成四边形完成四边形ABCD上缺口上缺口EFGH的水平投影（的水平投影（a b g h ， b c g f ）。）。adbc ca e d h b g f XO1 2 21fg3 3e分析：分析： 共面二直线，若一组共面二直线，若一组同面投影平行，则它们同面投影平行，则它们空空间为平行两直线间为平行两直
28、线。 EFGH EFGH与与ABCDABCD共面，求共面，求EFGHEFGH水平投影，为水平投影，为面上取面上取线线的问题。的问题。 定点（定点（已知端点已知端点、直直线交点线交点）、）、定线（定线（平行、平行、交线交线）、线上取点等方法）、线上取点等方法求出求出东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室3 33 3 平面的投影平面的投影3.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线(P56)满足双重条件：满足双重条件：1.1.线在面上的几何条件；线在面上的几何条件；2.2.投影面平行线的投影投影面平行线的投影特性。特性。东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室nmXOa b ac b
29、cmnk3 33 3 平面的投影平面的投影例例1 在在ABC平面内，过点平面内，过点S 作正平线，过点作正平线，过点B作水平线作水平线。例例2 在在ABC平面内取一点平面内取一点K，距离距离V面为面为m，距离，距离H面为面为n 。s XOa b ac bcsd e def 1 1fk 1 2 3 4 1234K K在平面在平面内距内距V V面面为为m m的正的正平线上、平线上、同时在距同时在距H H面为面为n n的的水平线上水平线上东北大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室 作业 直线投影P14-18 平面投影P19-22注意注意： 保留作图痕迹 作图辅助线为细实线 不可见点用（）表示东北
30、大学东北大学 工程图学教研室工程图学教研室点投影点投影一个点一个点两个点两个点相对位相对位置置面投影面投影迹线迹线平行面平行面aa X, aa Z, aax=aazX:左左右右,Y:前前后后,Z:上上下下重影点重影点X:左左,Y:前前,Z:上的点可见上的点可见线投影线投影平行线平行线垂直线垂直线倾斜线倾斜线平行投影反映实长与倾角平行投影反映实长与倾角垂直投影集聚成点，其他投影为实长垂直投影集聚成点，其他投影为实长线上取点线上取点线上点的投影在线投影上，线上点的投影在线投影上，满足三等、定比满足三等、定比平行投影反映实形，其他投平行投影反映实形，其他投影集聚成直线影集聚成直线垂直面垂直面垂直投影集聚成直线垂直投影集聚成直线取点线取点线定点（交点、定比）、定线（平行）定点（交点、定比）、定线（平行）面上投影面平行线面上投影面平行线线在面上，线是投影面平行线线在面上，线是投影面平行线
