1、生活中的数学生活中的数学 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由许多同许多同心圆心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系. .o o. . . . .C. . . . .B. . .A A. . . .点与圆的位置关系有三种：点与圆的位置关系有三种：点在点在圆内圆内，点在，点在圆上圆
2、上，点在，点在圆外圆外r问题：设问题：设O O半径为半径为 r r , , 说出来点说出来点A A，点，点B B，点点C C与圆心与圆心O O 的距离与半径的关系：的距离与半径的关系：COABOC r.问题：观察图中点问题：观察图中点A，点，点B，点，点C与圆的位置关系？与圆的位置关系？点点C在圆外在圆外.点点A在圆内，在圆内，点点B在圆上，在圆上，OA r，OB = r， 问问 题题 探探 究究设设O O的半径为的半径为r r，点，点P P到圆心的距离到圆心的距离OP = dOP = d，则有：，则有：点点P在圆上在圆上 d = r；点点P在圆外在圆外 d r . 点点P在圆内在圆内 d r
3、 ； 符号符号 读读作作“等价于等价于”，它，它表示从符号表示从符号 的左端可以得到右的左端可以得到右端从右端也可以得端从右端也可以得到左端到左端rOA问题问题3 3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否能否 判断点和圆的位置关系？判断点和圆的位置关系？PPP射击靶图上，有一组以靶心射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表弹着点位置对应的环数来表示弹着
4、点与靶心的距离决示弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，定了它在哪个圆内，弹着点弹着点离靶心越近离靶心越近，它所在的区域它所在的区域就越靠内，对应的环数也就就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好越高，射击的成绩越好. .你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？练习：已知圆的半径等于练习：已知圆的半径等于5 5厘米，点到圆心的距离是厘米，点到圆心的距离是: :A A、8 8厘米厘米 B B、4 4厘米厘米 C C、5 5厘米。厘米。请你分别说出点与圆的位置关系。请你分别说出点与圆的位置关系。点在圆外点在圆外点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上例：
5、如图已知矩形例：如图已知矩形ABCDABCD的边的边AB=3AB=3厘米，厘米，AD=4AD=4厘米厘米典型例题典型例题ADCB（1 1）以点）以点A A为圆心，为圆心，3 3厘米为半径作厘米为半径作圆圆A A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系的位置关系如何？如何？( (B B在圆上，在圆上，D D在圆外，在圆外，C C在圆外在圆外) )（2 2）以点）以点A A为圆心，为圆心，4 4厘米为半厘米为半径作圆径作圆A A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的的位置关系如何？位置关系如何？( (B B在圆内，在圆内，D D在圆上，在圆上，C C在圆外在圆外) )
6、（3 3）以点）以点A A为圆心，为圆心，5 5厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？( (B B在圆内，在圆内，D D在圆内，在圆内，C C在圆上在圆上) )2cm3cm1.1.画出由所有到已知点的距离大于或等于画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm2cm并且小于或等于并且小于或等于3cm3cm的点组成的图形的点组成的图形. .（课本第（课本第9595页）页）O解：满足距离大于或等于解：满足距离大于或等于2cm2cm并且小于或等并且小于或等于于3cm3cm的点组成的图形是以的点组成的图形是以2cm 2cm 和和3c
7、m3cm为半径为半径的圆组成的的圆组成的圆环圆环上上. .2.2.体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是 6.4m6.4m和和5.1m5.1m，他们投出的铅球分别落在图中，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？哪个区域内？ （课本第（课本第9595页）页）AAB过一点可作几条直线？过两点可以作几条直过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？线？过三点呢？过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线( (直线公理直线公理) )（“有且只有有且只有”就是就是“确定确定”的意思的意思）l经过一点可以作无数条直线；经过一点可以作无数条直线；过三点过三点1 1
8、、若、若三点共线三点共线，则过这三点只能，则过这三点只能作一条直线作一条直线. .ABC2 2、若、若三点不共线三点不共线，则过这三点不，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线可作三条直线. .ABC直线公理直线公理：两点确定一条直线两点确定一条直线 对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？过一点能作几个圆？过一点能作几个圆？无数个无数个A过过A点的圆的点的圆的圆心圆心有何特点？有何特点？圆心圆心是是平面上除平面上除A点外的点外的任意一点任意一点过两点能作几个圆？过两点能作几个圆？AB过过A A、B B两点的圆的两点的圆的圆心圆心有何
9、特点？有何特点？n经过两点经过两点A,BA,B的圆的的圆的圆心在线段圆心在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线上上. .n以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意一点为圆心的垂直平分线上的任意一点为圆心, ,这这点到点到A A或或B B的距离为半径作圆的距离为半径作圆. .OOABC1 1、连结、连结ABAB，作线段，作线段ABAB的垂的垂直平分线直平分线DEDE，ODEGF2 2、连结、连结BCBC，作线段，作线段BCBC的垂直平的垂直平分线分线FGFG，交，交DEDE于点于点O O，3 3、以、以O O为圆心，为圆心，OBOB为半径作圆，为半径作圆，作法：作法：OO就是所求作的圆就是所求作
10、的圆已知已知：不在同一直线上的三点：不在同一直线上的三点 A、B、C求作：求作： O，使它经过使它经过A、B、C1、三点不共线三点不共线 请你证明你作的圆符合要求l证明证明:点点O在在AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，lOA=OB.n同理同理,OB=OC.nOA=OB=OC.n点点A,B,C在以在以O为圆心，为圆心，OA长为半径的圆上长为半径的圆上.n O就是所求作的圆就是所求作的圆,l在上面的作图过程中在上面的作图过程中. .l直线直线DE和和FG只有一个交点只有一个交点O,并且点并且点O到到A,B,C三个点的距离相等三个点的距离相等,n经过点经过点A,B,CA,B,C三点可以作一个圆三点
11、可以作一个圆, ,并且只能作一并且只能作一个圆个圆. .定理：不在同一直线上的三点确定一个圆OABCO1 1。由定理可知：。由定理可知：经过三角经过三角形三个顶点可以作一个圆形三个顶点可以作一个圆. .并且只能作一个圆并且只能作一个圆.2 2。经过三角形各顶点的圆。经过三角形各顶点的圆叫做叫做三角形的外接圆三角形的外接圆。3 3。三角形三角形外接圆的圆心叫做外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心，这个三角形，这个三角形叫做叫做这个圆的内接三角形这个圆的内接三角形。ABC圆的内接三角圆的内接三角 形形三角形的外接三角形的外接 圆圆三角形三角形 的外心的外心ABCO 外心外心 1.1.三边垂直平
12、分线的交点三边垂直平分线的交点2.2.到三个顶点距离相等到三个顶点距离相等锐角三角形外心在锐角三角形外心在ABCABC的内部的内部OABCABCO直角三角形外心是直角三角形外心是斜边斜边ABAB的中点的中点钝角三角形外心在钝角三角形外心在ABCABC的外部的外部三角形的外心是否一定在三角形的内部？课堂练习4.4.判断题判断题：（1 1）过三点一定可以作圆）过三点一定可以作圆（ ）（2 2）三角形有且只有一个外接圆）三角形有且只有一个外接圆（ ）（3 3）任意一个圆有一个内接三角形，并且只有）任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形一个内接三角形 （ ）（4 4）三角形的外心就是这个三
13、角形任意两边垂）三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点直平分线的交点 （ ）（5 5）三角形的外心到三边的距离相等（）三角形的外心到三边的距离相等（ ）错错对对错错对对错错（2 2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP不能不能证明：证明：先先假设假设命题的结论不成立，命题的结论不成立，什么叫反证法？什么叫反证法？ 然后由此经过推然后由此经过推理得出理得出矛盾矛盾( (常与公理、定理、定义或已知常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾条件相矛盾) )，由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，从而得到原命题成立，
14、 这种方法叫做这种方法叫做反证法反证法5.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形中至少有一个三角形中至少有一个角不大于角不大于60”时，假设应是时，假设应是( )A.三角形中没有一个角大于三角形中没有一个角大于60；B.三角形中有一个角大于三角形中有一个角大于60;C. 三角形中三个角都大于三角形中三个角都大于60;D. 三角形中有一个角小于三角形中有一个角小于60。C6.如图，已知如图，已知ABCD,CDEF,垂足为垂足为N.AB与与EF交于点交于点M.求证：求证：ABEF.思考：思考： 如图，如图，CDCD所在的直线垂直平分线所在的直线垂直平分线段段ABAB，怎样用这样的工具找到圆形工件
15、的，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心圆心DABCOA A、B B两点在圆上，所以两点在圆上，所以圆心必与圆心必与A A、B B两点的距离两点的距离相等，相等，又又和一条线段的两个端点和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，垂直平分线上，圆心在圆心在CDCD所在的直线上，因此可以做所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心任意两条直径，它们的交点为圆心. . 如何解决“破镜重圆”的问题：ABCO圆心一定在弦的垂直平分线上思考：思考：任意四个点是不是可以作一个圆？任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明请举例说明. . 不一定不一定1. 1.
16、 四点在一条直线上不能作圆；四点在一条直线上不能作圆；3. 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆可能作不出一个圆. .ABCDABCDABCDABCD2. 2. 三点在同一直线上三点在同一直线上, , 另一点不在这条另一点不在这条直线上不能作圆；直线上不能作圆；我学会了什么我学会了什么 ？过两点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆.圆心在以已知圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上两点为端点的线段的垂直平分线上.实际问题实际问题直线公理直线公理过一点可以作无数个圆过一点可以作无数个圆过三点过三点过不在同一条直线上的三点确定一个圆过不在
17、同一条直线上的三点确定一个圆过在同一直线上的三点不能作圆过在同一直线上的三点不能作圆外心、三角形外接圆、圆的内接三角形外心、三角形外接圆、圆的内接三角形实际问题实际问题作圆作圆引入引入解决解决类比类比OADCB巩固练习巩固练习1.如图，等腰如图，等腰ABC中中AB=AC=13cm,BC=10cm,点点O为外心。求外接圆的半径。为外心。求外接圆的半径。2、为美化校园，学校要把一块三角为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花三角形三个顶点处各有一棵名贵花树树(A、B、C），），若不动花树若不动花树，还要，还要建一个建一个
18、最大的圆形喷水池最大的圆形喷水池，请设计，请设计你的实施方案。你的实施方案。CBA3. 3. 如果直角三角形的两条直角边分别是如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗吗? ?是多少是多少? ?4.4.在在ABCABC中中,AB=AC=13,BC=10,AB=AC=13,BC=10,试求这个三试求这个三角形的外接圆的面积角形的外接圆的面积. .5.如图，如图，BD、CE是是ABC的高。的高。求证：求证：E,B,C,D四点在同一个圆上。四点在同一个圆上。F6.如图，如图， O是是ABC的外接圆，的外接圆，BAC与与ABC的平分线相交于点的平分线相交于点I,延长延长AI交交 O于点于点D,连接连接BD,DC.(1)求证：求证：BD=DC=DI(2)若若 O的直径为的直径为10，BAC=120。求。求BDC的面积。的面积。7.已知：如图，已知：如图，ABC内接于内接于 O，BC=12cm，A=60求求 O的直径的直径
