1、最短路径问题最短路径问题路径和最短的几何模型在中考题中的变式拓展驶向胜利的彼岸画一画 1. 已知已知M、N是直线是直线AB异侧的两个定点异侧的两个定点在直线在直线AB上定一点上定一点P，使，使PM+PN的值最小的值最小 2.M、N是直线是直线AB同侧的两个定点同侧的两个定点在直线在直线AB上确定一点上确定一点P，使，使PM+PN的值最的值最小小最短路径基本模型最短路径基本模型条件：如图，条件：如图，M、N是直线是直线AB异侧的两个定点异侧的两个定点问题：在直线问题：在直线AB上定一点上定一点P，使，使PM+PN的值最小的值最小方法：连接方法：连接M、N交直线交直线AB于一点即为于一点即为P依据
2、：线段公理：两点之间线段最短依据：线段公理：两点之间线段最短 最短路径变式模型最短路径变式模型条件：如图，条件：如图，M、N是直线是直线AB同侧的两个定点同侧的两个定点问题：在直线问题：在直线AB上确定一点上确定一点P，使，使PM+PN的值最小的值最小思想方法：将思想方法：将M、N在在AB的同侧转化成在的同侧转化成在AB的异侧，的异侧， 将线段将线段PM，PN首尾相连成一条线段，化折为直。找首尾相连成一条线段，化折为直。找出出M、N中的某一点关于直线中的某一点关于直线AB的对称点，连接对称的对称点，连接对称点与另一点交直线点与另一点交直线AB于一点即为求作的于一点即为求作的P点点依据：两点之间
3、线段最短和轴对称性质依据：两点之间线段最短和轴对称性质 解决解决“变式模型变式模型”的思想方法，的思想方法，就是利用轴对称将线段就是利用轴对称将线段PM，PN首首尾相连成一条线段，化折为直，根尾相连成一条线段，化折为直，根据据“两点之间线段最短两点之间线段最短”得到问题得到问题的答案的答案. 变式模型的拓展应用变式模型的拓展应用-中考题例中考题例1 . （09年抚顺中考题）如图所示，正方形年抚顺中考题）如图所示，正方形ABCD的面积为的面积为12，ABE是等边三角形，是等边三角形，点点E在正方形内，在对角线在正方形内，在对角线AC上有一上有一P点，点，使使PD+PE的和最小，则这个最小值为（的
4、和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 DADEPBC2 32 66 2.（2015辽宁省盘锦辽宁省盘锦,第第15题题3分）如图，分）如图，菱形菱形ABCD的边长为的边长为2，DAB=60，E为为BC的中点，在对角线的中点，在对角线AC上存在一点上存在一点P，使使PBE的周长最小，则的周长最小，则PBE的周长的的周长的最小值为最小值为( ) 3（2015南宁）如图，南宁）如图，AB是是 O的直的直径，径，AB=8，点，点M在在 O上，上，MAB=20，N是弧是弧MB的中点，的中点，P是直径是直径AB上的一动点若上的一动点若MN=1，则，则PMN周长的最小值为（）周长的最小值为（）A4 B5
5、 C6 D74.（2015攀枝花）如图，在边长为攀枝花）如图，在边长为2的的等边等边ABC中，中，D为为BC的中点，的中点，E是是AC边上一点，则边上一点，则BE+DE的最小值是的最小值是（ ） 5、（09漳州中考题）如图AOB=45，PAOB是内一点，OP=10，Q、R分别是OA,OB上的动点求PQR周长的最小值1.中考题常以特殊三角形、四边形、圆为问题背景，由图形轴对称性结合题意求解。2.思想方法：把线段首尾相连在同一条直线 上，化折为直。关键：根据图形的轴对称性巧妙选择一个定点的对称点，化折为直。 备战演练 1.如图如图1，正方形，正方形ABCD的边长为的边长为2，E为为AB 的中点，的
6、中点，P是是AC上一动点则上一动点则PB+PE的最小值是的最小值是( ) （画出（画出示意图）示意图）2.（2014黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（ ） 3.（09 山西省中考题）如图，山西省中考题）如图， 在锐角在锐角ABC中，中，AB， BAC45，BAC的角平线交的角平线交BC于点于点D，M、N分别是分别是AD和和AB上的动点，则上的动点，则BMMN的最小值是的最小值是_. 4.（2015营口，第营口，第10题题3分）如图，点分）如图，点P是是AOB内任意一点，内任意一点，OP=5cm
7、，点，点M和点和点N分别是射线分别是射线OA和射线和射线OB上的动点，上的动点，PMN周长的最小值是周长的最小值是5cm，则，则AOB的的度数是度数是( ) A25 B30 C35 D40 OMPBAN 1.解决路径和最短问题的思想方法什么？解决路径和最短问题的思想方法什么？ 2.路径和最短问题常与哪些图形结合？路径和最短问题常与哪些图形结合？ 3.如何解答以等边三角形、特殊四边形（矩形如何解答以等边三角形、特殊四边形（矩形 菱形菱形 正方形）、圆、特殊角（正方形）、圆、特殊角（30 、 45）为问题背景的最短路径问题为问题背景的最短路径问题？驶向胜利的彼岸1.（09年山东济南）如图，抛物线年
8、山东济南）如图，抛物线 的对称轴为的对称轴为 与与X轴交于轴交于A,B两点，与两点，与Y轴交于点轴交于点C,其中其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求这条抛物线的函数表达式；）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点）已知在对称轴上存在一点P，使得，使得 的周长最的周长最 小请求出点小请求出点P的坐标；的坐标；（3）若点是线段上的一个动点（不与点）若点是线段上的一个动点（不与点O、点、点C重重合）过点合）过点D作作 交交x轴于点轴于点E连接连接PD,PE设设CD的长为的长为m， 的面积为的面积为s求求s与与x之间的函数关之间的函数关系式试说明系式试说明s是否存在最大值，若存在
9、，请求出最大是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由20yaxbxc a1x，PBCDEPCPBCOACxyBEPDOACxyBEPD 2（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）已届山东省潍坊市昌乐县中考一模）已知正比例函数知正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于在第一象限的图象交于A点，过点，过A点作点作x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为P点，已知点，已知OAP的面积为的面积为1（1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2）如果点）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点为反比例函数在第一象
10、限图象上的点（点（点B与点与点A不重合），且点不重合），且点B的横坐标为的横坐标为2，在，在x轴上求一点轴上求一点M，使，使MA+MB最小最小 3（2015成都）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （为常数，且）的图象交于 A（1，a）、 B两点（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及PAB的面积4yx kyx4. 已知矩形已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，Q是是BC边上的任意一点边上的任意一点. 连接连接AQ、DQ（1）ADQ的周长最小值是（的周长最小值是（ ）（2）点）点P是是AD边上的一动点（边上的一动点（P异于异于A、D），过），过P作作PEDQ交交AQ于于E，作，作PFAQ交交DQ于于F.设设AP的长为的长为x，试求，试求PEF的面积的面积S关于关于x的函数关系式，并求的函数关系式，并求当当P在何处时，在何处时，S取得最大值？最大值为多取得最大值？最大值为多少？少？
