1、1 4.1 Z 4.1 Z变换及其收敛域变换及其收敛域 第四章第四章 Z Z变换变换 4.2 Z 4.2 Z反变换反变换 4.3 Z 4.3 Z变换的性质变换的性质 4.4 Z 4.4 Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系2 4.3 4.3 Z Z变换的性质变换的性质这些性质表示这些性质表示离散序列离散序列在在时域时域和和Z Z域域间的关系间的关系（一）线性性质（一）线性性质则则21),()()()(RzRzbYzaXnbynaxZ Z若若21),()(xxRzRzXnxZ Z21),()(yyRzRzYnyZ Z其中其中a,b为任意常数，为任意常数，111,maxyxRRR 2
2、22,minyxRRR3（二）位移性质（二）位移性质双边双边Z变换：变换： x(n)是双边序列是双边序列若若)()(zXnxZ Z则则)()(zXzmnxmZ Z证明证明：根据双边根据双边Z Z变换的定义变换的定义nnzmnxmnx)()(Z Z4令令 k=n+m,k=n+m,则上式变为则上式变为kmkzkxmnx)()()(Z Zkmkzzkx)()(zXzm同理：同理：)()(zXzmnxmZ Z（二）位移性质（二）位移性质nnzmnxmnx)()(Z Z5单边单边Z变换的位移性质变换的位移性质1 1、若、若x(n)x(n)是是双边序列双边序列，其，其单边单边Z Z变换变换为：为：)()(
3、)(zXnunxZ Z10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ Z左移左移证明：证明：0)()()(nnzmnxnumnxZ Z（二）位移性质（二）位移性质6令令mnk则则mknmkmkzzkxnumnx)()()(Z Zmkkmzkxz)(100)()(mkkkkmzkxzkxz10)()(mkkmzkxzXz（二）位移性质（二）位移性质0)()()(nnzmnxnumnxZ Z71)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ Z右移右移2 2、若、若x(n)x(n)是是单边序列单边序列，其，其单边单边Z Z变换变换为：为：)()()(zXznumnxmZ Z10)()()(
4、)(mkkmzkxzXznumnxZ Z（二）位移性质（二）位移性质8例例 4.3-2 求周期序列求周期序列 x(n)的的Z变换变换解：若周期序列解：若周期序列x(n) x(n) 的周期为的周期为N N，即，即0)()(nNnxnx 令令x x1 1(n)(n)表示表示x(nx(n）的第一个周期，因为）的第一个周期，因为x x1 1(n)(n)是有是有限长序列，所以其限长序列，所以其Z Z变换为变换为0)()(1011zznxzXNnn（二）位移性质（二）位移性质9x(n)x(n)的的Z Z变换为变换为NNzzzXzX211)()(11)(1zzzzXNN周期序列周期序列x(n)x(n)用用x
5、 x1 1(n)(n)表示，为表示，为)2()()()(111NnxNnxnxnx（二）位移性质（二）位移性质10例：已知单边例：已知单边Z变换变换azazzan,其中其中an是双边序列是双边序列求求 an-1u(n), an-1u(n-1) 的单边的单边Z变换。变换。解：设解：设nanx)(则则1) 1(nanx1、由单边、由单边Z变换公式变换公式zxzXznuan) 1()()(11aazzz11（二）位移性质（二）位移性质112、anu(n)是单边序列，所以是单边序列，所以an-1u(n-1)的的Z变换为变换为)() 1(11zXznuanazzz1aznuan1) 1(1即即（二）位移
6、性质（二）位移性质12（三）（三）Z域微分（序列线性加权）域微分（序列线性加权）x(n)是有始序列是有始序列若若)()(zXnxZ Z则则dzzdXznnx)()()(Z Z证明：证明：0)()(nnznxzX对上式两边求导，得对上式两边求导，得130)()()(nndzzdnxdzzdX0)1()()(nnznnx01)(nnznnxzdzzdXznnx)()()(Z Z（三）（三）Z域微分（序列线性加权）域微分（序列线性加权）14例：已知例：已知1)(zznu求求nu(n)的的Z变换变换解：解：1)()(zzdzdznun2) 1( zz2) 1()(zznun（三）（三）Z域微分（序列线
7、性加权）域微分（序列线性加权）15（四）（四）Z域尺度变换（序列指数加权）域尺度变换（序列指数加权）若若21),()(xxRzRzXnxZ Z则则11)()(xxnRazRazXnxaZ Z证明：证明：0)()(nnnnznxanxaZ Z)()(0azXaznxnn16同理：同理：11)()(xxnRazRazXnxaZ Z11)()() 1(xxnRzRzXnxZ Z 在在Z域反褶，则域反褶，则时域中时域中函数在正负之间交函数在正负之间交替跳跃替跳跃（四）（四）Z域尺度变换（序列指数加权）域尺度变换（序列指数加权）17（五）初值定理（五）初值定理若若x(n)是单边序列，且是单边序列，且)(
8、)(zXnxZ Z则则)(lim)0(zXxz18（六）终值定理（六）终值定理若若x(n)是单边序列，且是单边序列，且)()(zXnxZ Z则则)()1(lim)(lim1zXznxzn终值定理使用的条件终值定理使用的条件1、只有在、只有在n时时x(n)收敛的情况，才能用它收敛的情况，才能用它 来确定来确定x(n)的值。的值。2、X(z)的收敛半径应小于或等于的收敛半径应小于或等于119（七）时域卷积定理（七）时域卷积定理若若21),()(xxRzRzXnxZ Z21),()(yyRzRzYnyZ Z则则21),()()()(RzRzYzXnynxZ Z222,minyxRRR 111,max
9、yxRRR 其中其中return20 4.4 4.4 Z Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系一、一、Z平面与平面与S平面的映射关系平面的映射关系sTez 或或zTsln1将将s s用直角坐标表示，用直角坐标表示， z z用极坐标表示，用极坐标表示，jsjezz 将上两式代入将上两式代入Z Z平面与平面与S S平面的映射关系式，得平面的映射关系式，得TjTTjjeeeezz)(21TjTTjjeeeezz)(所以：所以：TezT,S平面与平面与Z平面的映射关系如下：平面的映射关系如下：1、|z|与与 （复变量（复变量s的实部）的关系的实部）的关系Tez0（S平面的虚轴平面的虚轴）
10、（Z平面的单位圆）平面的单位圆）1z220（S的右半平面）的右半平面）1z（Z平面的单位圆外部）平面的单位圆外部）0（S的左半平面）的左半平面）1z（Z平面的单位圆内部）平面的单位圆内部）0S平面平行于虚轴的直线平面平行于虚轴的直线Tez0Z平面的圆，半径为平面的圆，半径为Te0Tez23j1 zRe zjImS平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系242、 与与 （复变量（复变量s的虚部）的关系的虚部）的关系T0（S平面的平行于实轴的直线）平面的平行于实轴的直线）T0（Z平面的始于原点，辐角为平面的始于原点，辐角为 = 0T的辐射线的辐射线）S平面到平面到Z平面的映射是多值映射平面的映射
11、是多值映射因为在因为在S S平面上沿虚轴移动，对应于平面上沿虚轴移动，对应于Z Z平面平面上沿单位圆周期性地旋转上沿单位圆周期性地旋转0（S平面的实轴）平面的实轴）0（Z平面的正实轴）平面的正实轴）25 在在S S平面平面沿虚轴沿虚轴每平移每平移2 2 / / ，则对应，则对应在在Z Z平面平面上上沿单位圆转一周沿单位圆转一周1 zRe zjImjT2T226二、二、Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系拉氏变换拉氏变换F(s)Z变换变换X(z)拉氏变换的拉氏变换的原连续函数原连续函数 f(t)离散信号离散信号 f(n)拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样Z变换变换27已知拉氏变换已知拉氏
12、变换F(s)，则原连续函数为，则原连续函数为jjstdsesFjtf)(21)(将将f(t)以周期以周期T进行抽样进行抽样jjsnTndsesFjnTf, 2 , 1 , 0)(21)(对对f(nT)进行进行Z变换变换二、二、Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系280)()(nnznTfzF0)(21nnjjsnTzdsesFjjjnnsnTdszesFj0)(21jjnnsTdszesFj01)(21二、二、Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系对对f(nT)进行进行Z变换变换29当当, 11zesT即即sTez 和式收敛于和式收敛于01111)(nsTnsTzez
13、edszesFjzFjjsT11)(21)()()(21sTjjsTezdsezszFj30这个积分可用留数来计算，即这个积分可用留数来计算，即iisTsezsFzszF,)(Re)(Si是是F(s)的极点。的极点。当当F(s)有一单阶极点有一单阶极点Si时时|)()(,)(ReiSssTiisTezzsFSsSezsFzsTSiiezzk31当当F(s)有有N个单阶极点时个单阶极点时NrTSrrezzkzF1)(作业：作业：4-1（1，3，9）、）、4-4（1，3，11）、）、4-5、 4-6、4-9、4-10（1）return321对带宽对带宽 为为20KHz的信号的信号 进行抽样，其最大
14、允许的抽样进行抽样，其最大允许的抽样间隔（奈奎斯特间隔）间隔（奈奎斯特间隔） =（25us ） s， 信号信号 的带宽为（的带宽为（40kHz 40kHz ）KHz,KHz,，其奈奎斯特频率，其奈奎斯特频率 =( 80=( 80kHz kHz ）KHz KHz 。mf)(tfsT)2 ( tfsf1.连续信号连续信号 ，该信号拉普拉斯变换，该信号拉普拉斯变换收敛域为（收敛域为（ ）。）。 )()(tuettfatnaa0a(A)(B)(C)(D)2已知信号已知信号f(t)的频带宽度为的频带宽度为，所以信号，所以信号y(t)=f(4t-9) 的频带的频带宽度为（宽度为（ ）。）。 (A) (B) (C) (D) 4494494
