1、 第第3章章 静态电磁场静态电磁场： 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 恒定电场的基本方程与场的特性恒定电场的基本方程与场的特性3.2 恒定恒定电场与静电场的比拟电场与静电场的比拟 接地系统接地系统3.3 恒定磁场的基本方程与场的特性恒定磁场的基本方程与场的特性3.4 自由空间中的磁场自由空间中的磁场3.5 媒质中的磁场媒质中的磁场3.6 电感电感3.7 磁磁场能量场能量3.8 磁场力磁场力3.1 恒定电场的基本方程与场的特性恒定电场的基本方程与场的特性 产生恒定电场的场源：产生恒定电场的场源： 处于处于；P132 左下左下角注释角注释3.1.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基
2、本方程 无散、无旋场无散、无旋场1. 由由任一闭合面任一闭合面 S 内流出的内流出的电流，应等于该面内的电荷的减少率，即电流，应等于该面内的电荷的减少率，即 SCFdd0dSqJSt 3. GTd00SJSJ STd00SElE 4. JE5. E20电流连续性方程电流连续性方程无散无散(源源)无旋无旋媒质方程媒质方程ldlE02. 01222200 ,0U通解 ，代入边界条件，得21CC )(0U电位函数解 取圆柱坐标系 ，边值问题)(eeE0U电场强度例例2.5.2 已知导电片厚度为 h，当 ; 0 0时，试求电导片的电阻。0, U时电流)(d)(d0eeSJhUISba电导)mS(ln0
3、abhUIG电流密度eUEJ0abhUln0eeE0U电场强度3.1.2 电功率电功率 电动势电动势dd dWU qdddWPtd ddU qtd dU IddElJSdEJ VJ( ) t(d )ttdUdSdSddlv tdqEv1等位面2等位面223d(W/m )dPJpEJEVpEJ电流通过导体时发生热量的定律电流通过导体时发生热量的定律, ,称为称为 edeEl(电源内) 提供非静电力将其它形式的提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。能转为电能的装置称为电源。1 电源 (Source)电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
4、qfEee局外场强ef局外力2 电源电动势电源电动势 (Source EMF)图2.2.1 恒定电流的形成因此，对闭合环路积分lEEd)(lec局外场 Ee 是非保守场。)(ecEEJ图图2.2.2 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强lEdlee电源电动势总场强ecEEE dlElee 0 llelElEcdd 下 页上 页返 回 导电媒质中的电场：导电媒质中的电场： 无源部分无源部分 JEEJ 有源部分有源部分 eqJEEqE极板上自由电荷激励的库仑场场强极板上自由电荷激励的库仑场场强 eE局外场强局外场强( (非电场强非电场强) ) eeddFEq 含源部分导电媒质的电导率含源部分导
5、电媒质的电导率 3.1.3 不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件1n2nd0SJSJJ1t2td0SElEE1122tgtg两种导电媒质均为线性且各向同性两种导电媒质均为线性且各向同性 对比对比P75推导过程推导过程2.与与分界面上的边界条件分界面上的边界条件1122tgtg19020例例 3.1 一接地系统一接地系统 解解 615 10S/m 钢钢2210S/m 土土壤壤189 59 5028020 + + + + + + + + U 1 2 2nE2E2tE2tE2nE2Ec1Jc1JE线20c2n0Jc1n0J1n2n0JJ1t1t2t1JEEc1n1n10JEE2n 0
6、 E2ta 111sinsinaRrr20011sinsin(sincos)d4xyIaaAeerr202sin4xIaAer 202sin4IaAer2dSa dmI S024rm eArSCS032cossin4rBAmeerdSBSdSAS A rdlAlddSLFSFLBA 泛定方程：泛定方程： cHJ0cBJ0cAJ20cAJ 矢量泊松方程矢量泊松方程 c0J 20A矢量拉氏方程矢量拉氏方程 BHBA 2AAA 0A 的直接积分计算式，显然是的直接积分计算式，显然是 的特解。的特解。 A20cAJ 位函数位函数 的价值的价值 A 全域求解全域求解 平行平面磁场平行平面磁场 轴对称磁场
7、轴对称磁场 cczzJJ ezzAA e( Bx , By ) ccJJ e AA e ( B , Bz ) 3.4.3 场分布：基于标量磁位场分布：基于标量磁位 m的分析的分析 cHJc0J 0HmH 0BH0mB m仅在仅在才有定义，故仅允许在激磁电流区域外，才有定义，故仅允许在激磁电流区域外，应用应用 m，分析磁场；，分析磁场； m类同于类同于 ，但应注意，它不同于，但应注意，它不同于 有确切的物理意有确切的物理意义义 mm( )( , , )rx y zCdBABABAUEl0m1dQPQPUBlmmlel mm01dddlBlel m01dQPQPUBlmmmmmdQPPQ 01dP
8、nQmPBlI000111dddPnQmPPnQQmPBlBlBl0011ddPnQPmQBlBlI001dd1PnPmQQBllIB P n I Q m r 01d2PrQmPBlI001d21dPmQrQPBlBlI P n I Q m r 工程分析要求工程分析要求 m、Um为单值函数的表述，为此，需为单值函数的表述，为此，需设置设置“”，以消除，以消除 m的多值性，由此得以避免的多值性，由此得以避免闭合积分路径与电流之间的交链，从而保证闭合积分路径与电流之间的交链，从而保证 m多值性，对多值性，对 计算并无影响；计算并无影响； BH、d0lBl I S l m_ m+ 0B0mm00m0
9、 0m02mm0 均匀介质均匀介质拉普拉斯方程拉普拉斯方程0mB 3.4.4 磁场磁场线线 1.1.类同于电场类同于电场 zyxBzByBxddddddzzBBB p63磁感应磁感应线的性质线的性质图3.2.3 导线位于铁板上方图3.2.4 长直螺线管的磁场磁感应线是闭合的曲线;磁感应线不能相交；磁感应强处 ，磁感应线稠密，反之，稀疏。 闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；下 页上 页返 回例例3.13 无限长直载流导线的磁场线分布。无限长直载流导线的磁场线分布。 解解 02IBeB e 0zBBd0d0z 12CzCdddzzBBB x y I z 2.平行平面场平行平面场 zzJJ
10、ezzAA eBAyyxxzzxyzAAAAeeeyzAzxyAxzzxyAAeeyxxxyyB eB eddd0zzzAAxyAxyzA 常量常量3.轴对称场轴对称场 JJ eAA eBA1zzzAAAAeeezAAz 1zAeAez zzB eB eA常量常量1dd0AAzzddd0AAAzz磁偶极子的磁场磁偶极子的磁场一对反向电流传输线一对反向电流传输线一对同向电流传输线一对同向电流传输线两对反相电流传输线两对反相电流传输线3.5 媒质中的磁场媒质中的磁场 3.5.1 媒质磁化媒质磁化 (1) 原子核的自旋原子核的自旋 (2) 电子的自旋电子的自旋 (3) 电子绕原子核的环行电子绕原子核
11、的环行单元电流单元电流 ( 束缚电流束缚电流 ) 磁偶极子磁偶极子 dmI S0iim 自旋磁矩自旋磁矩轨道磁矩轨道磁矩2）介质的磁化）介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不无外磁场作用时，介质对外不显磁性，显磁性，nii10m1）磁偶极子）磁偶极子 (magnetic dipole)nii10m 在外磁场作用下，磁偶极子发在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，生旋转，SmdIAm2 磁偶极矩磁偶极矩图3.2.14 介质的磁化下 页上 页返 回图3.2.13 磁偶极子m=IdSdS 转矩为转矩为 Ti=miB ，旋转方向使磁偶极矩方向与外，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为
12、磁化现象。磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。图3.2.15 磁偶极子受磁场力而转动 类同于电场，定义每单元体积内，由元电流类同于电场，定义每单元体积内，由元电流对应的磁偶极子磁矩的矢量和，即对应的磁偶极子磁矩的矢量和，即磁化强度矢量。磁化强度矢量。 VniiV10limmM（A/m） 媒质被磁化后呈现的媒质被磁化后呈现的，可以看作是在可以看作是在媒质中出现了等效的束缚电流，即媒质中出现了等效的束缚电流，即。 mMI rReRrrrVdVxozy( , , )P x y zmIddmM V 02dd4RmeAr02d4RMeVr02dd4RMeAVR n00d4dd4VVSM rAARR
13、eSM rV p1613-313-39 M rJ 分分布布 mJM r nM reK 分分布布 mnKM re 由斯托克斯定理由斯托克斯定理 可知可知 均匀磁化时，均匀磁化时， 为一常矢量为一常矢量 M m0JM r 不均匀磁化时不均匀磁化时 m0J mmdddlSSMlMSJSI在磁化媒质中，磁化强在磁化媒质中，磁化强度沿任一闭合回路的的度沿任一闭合回路的的环量等于该闭合回路所环量等于该闭合回路所包围的总磁化电流包围的总磁化电流磁偶极子与电偶极子对比磁偶极子与电偶极子对比模模 型型极化与磁化极化与磁化 电场与磁场电场与磁场电电偶偶极极子子磁磁偶偶极极子子dp qSmdIMJmnmeMKneP
14、pP- p3.5.2 磁场强度磁场强度 一般形式的安培环路定律一般形式的安培环路定律H0mdlBlII0dlBMlI0A/mBHMddlSHlIJS磁场强度磁场强度0dlIMl 上式表明，上式表明，沿任一闭合曲线的环量等于沿任一闭合曲线的环量等于该闭合曲线所限定面积上穿过的传导电流代数和，该闭合曲线所限定面积上穿过的传导电流代数和，而与媒质的分布无关。而与媒质的分布无关。 H环量传导电流，绝非意味环量传导电流，绝非意味H的分布与介质无的分布与介质无关（事实上，关（事实上， 即已给出）即已给出） 由此可见，由此可见，的引入简化了媒质中磁的引入简化了媒质中磁场的分析计算，正如使用场的分析计算，正如
15、使用可以简化可以简化电介质中电场的计算一样。电介质中电场的计算一样。积分形式积分形式ddlSHlIJS0A/mBHMMHmMH0m0r1BHHH 0A/mBHMm 媒质的磁化率媒质的磁化率 媒质的磁导率媒质的磁导率 H/mr 媒质的相对磁导率媒质的相对磁导率按物质磁化的不同性质，可将物质分为按物质磁化的不同性质，可将物质分为 00B 0iim 0r1r1Cu, Zn, Ag, Hg, Sb, Bi 等等 00B 0iim 0r1Al, Sn, Mg, W, Pt 等等 “磁畴磁畴” ( magnetic domain ) 的概念的概念 磁畴为非常小的区域，其内所有磁偶极子取同方向排列，但磁畴为
16、非常小的区域，其内所有磁偶极子取同方向排列，但在非磁化状态时，相邻磁畴中磁偶极子排列方向不同。在非磁化状态时，相邻磁畴中磁偶极子排列方向不同。 (3) 铁磁性物质铁磁性物质(内部存在磁畴内部存在磁畴) 0Fe, Ni, Co 和它们的某和它们的某些合金工频电磁设备些合金工频电磁设备 与铁磁材料的主要差异在于：与铁磁材料的主要差异在于： a. 较大；较大； b. 剩磁小剩磁小 c. 起始起始大大 用于高频、微波技术中用于高频、微波技术中 如铁氧体如铁氧体 MnOFe2O3等等 te12nKKeP11,BH1l2ll22,BHne12狭小矩形回路狭小矩形回路l lnKKentnee e dlHlI
17、1t12t11dlHlHlHlK l 1t2tHHK0K 1t2tHHH 的切向分量不连续的切向分量不连续H 的切向分量连续的切向分量连续根据旋度方程根据旋度方程3.5.3 不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件B1n= B2n B 的法向分量连续的法向分量连续, , 由由 可得可得0l根据散度方程根据散度方程0dSBs 理论上，在理想导体理论上，在理想导体( )，超导体表，超导体表面才可能有面才可能有 ；K 当分界面上当分界面上K = 0时，同样有时，同样有 线的折射定律：线的折射定律： B2121tgtg媒质均匀、各向同性，分界面媒质均匀、各向同性，分界面 K=02.( 1)
18、与与( 2 0 )分界面上的边界条件分界面上的边界条件 1 2 类比于恒定电流的电场类比于恒定电流的电场190201t2t0HHB1n= B2n 2121tgtg 当以矢量磁位当以矢量磁位 或标量磁位或标量磁位 m为计算场量，则对应为计算场量，则对应于以上两种边界条件的表达式为于以上两种边界条件的表达式为 A1n2n1t2tBBHHK1212tt1211AAAAKzzJJ ezzAA e1z2121211zzzzAAAAKnn平行平面场平行平面场(2D) (1)m1m212m1m2nnC1z2120zzzAAAAnn1n2n2D1t2t0BBHH 1n2n1t2tBBHHm1m212m1m2n
19、n(2)3.5.4 场分布场分布:基于场量基于场量 的分析的分析;边值问题边值问题;镜像法镜像法H例例3.13 无限长直圆形载流导线的磁场。无限长直圆形载流导线的磁场。 解解 (1) 解法一：应用一般形式的安培环路定律解法一：应用一般形式的安培环路定律111dd2llHlHlH12IHeaa22Ia22d2lHlHI2IHea0BH(2) 解法二：基于矢量磁位的边值问题解法二：基于矢量磁位的边值问题 ,zzAAAe 22zzAA e 222111122211zzzzAAAAz222210,zzAAPD (1)(2)1011,zzAJPD 12zzaaAA120011zzaaAA衔接条件：衔接条
20、件： (3)(4)100zA1100ddzAB 为为有有限限值值参考点参考点 ：(5)(6)直接积分式直接积分式(1)，得，得 210101ddd2zzzAJCJC 210121ln4zzAJCC 直接积分式直接积分式(2)，得，得 234lnzACC100010ddzABAeBe 为有限值为有限值10C 20C 由式由式(5)可得可得 0112dd2zIABeeaa 220102144zzIAJaa 由式由式(3)和式和式(4)联立求解，可得联立求解，可得 004ln42IICa 032IC 002ln42zIIAaa 022dd2zIABeea 导线内、外导线内、外 B 的变化曲线的变化曲
21、线例例3.14 书书P174 例例3-16 注意到本例与书注意到本例与书 P85 例例2-14 在场结构上的对在场结构上的对称性称性 平行平面场、几何形状媒质结构。因此平行平面场、几何形状媒质结构。因此基于微分方程的相似性，即基于微分方程的相似性，即 22m00HE的的解解答答的的解解答答以及定解条件相似性以及定解条件相似性 D1 I o 1 2 h x y D2 zzJJ e具体物理量、物理参数间类比关系为具体物理量、物理参数间类比关系为 平行平面磁场平行平面磁场 平行平面静电场平行平面静电场 zzJA2212zzAAnAnAzz22111121nn2211Az Jz 1/ SzSJIdlq
22、SS,d2121II 1212 II1212 2122 类比课本类比课本p97式式2-110例例3.15 无限大铁板附近载流导线无限大铁板附近载流导线 I 的磁场。的磁场。102 解解 (1) 空气中的场分布：空气中的场分布： 2121III (2) 铁板中的场分布：铁板中的场分布： 12120II 20H 2m20H m2Const1t2t0HH 222BH 22Ier022022Ier0Ier3.6 电感电感 电感电感(自感自感L和互感和互感M ) 描述一个电路或两个相邻电路描述一个电路或两个相邻电路间因电流变化而感生电动势效应的物理参数。间因电流变化而感生电动势效应的物理参数。 dddd
23、LLLiuLttddddMMMiuMtt1122LLLLWILWWII全全交交链链部部分分全全交交链链LLWLLWLII全交链：全交链： II1W1L2W2L3W3L112233LLLLWWW1122LLLWWLII部分交链：部分交链：dddLLI当场中含有铁磁媒质当场中含有铁磁媒质(媒质非线性媒质非线性) 动态自感动态自感 静态与动态自感是同一的决定于线圈几何形状、静态与动态自感是同一的决定于线圈几何形状、尺寸，以及媒质磁导率的物理参数。尺寸，以及媒质磁导率的物理参数。 电感的计算电感的计算 设定线设定线圈中的圈中的电流电流I 各类方法各类方法 1. 2. A边边值值问问题题的的特特解解()
24、LM HB、dSBSAdlAl()LMW()L M例例 3.16 同轴电缆的自感同轴电缆的自感 L。l a , b 解解 (1) 绝缘层中的外磁链绝缘层中的外磁链 o xyzao0bBddSl0o2IBabddSl0ooodddd2IBSB Slo1W oodd00ooddln22baIIlbla(2) 缆芯中的内磁链缆芯中的内磁链 i ： 0i22IBaa0iii2dddd2IBSB Slao1IW2i21IWa2i2:1I IWa2i2Wa300iiii40dddaIIlWla(3) 全自感磁链全自感磁链 L ： ioLi0o214lnLlLILbLa 内自感内自感 Li 与导线尺寸无关，
25、仅与磁导率和线长有关；与导线尺寸无关，仅与磁导率和线长有关； 外自感外自感 Lo 与导线几何尺寸、磁导率有关。与导线几何尺寸、磁导率有关。 书书P182 例例3-20 计算两线传输线的自感。计算两线传输线的自感。 两线传输线的内自感为两线传输线的内自感为 llL00i23.6.2 互感互感 MMI21221MW221211WMI1 12122WMIdddMMI动态互感动态互感 例例3.17 两对输电线间的互感。两对输电线间的互感。 解解 (1) dMASBS0d2ADACDDIl0ln2ADACIlDD0ln2ADACIlDD(2) 0ln2BCMBMBBDIlDD0ln2ADBCMMAMBA
26、CBDIlDDDD0ln2ADBCMACBDlDDMIDD3.6.3 线形回路的电感线形回路的电感 线性媒质中线形回路电感计算公式线性媒质中线形回路电感计算公式(诺以曼公式诺以曼公式)： oLI2WodlAl0d4lWI lAr0dd4llWIllr oWI20dd4llWllr 122MI202 22d4PlW IlAr1121dPlAl1 122WI1212021dd4llWWllr 1202221dd4llW Illr 3.7 磁场能量磁场能量 磁场对载流导体有力的作用，即是磁场具有能量的表征。磁场对载流导体有力的作用，即是磁场具有能量的表征。 单个载流回路的单个载流回路的Wm eKI(
27、0)R LddWei tm0ddIWWiL im12WIdt 时间内时间内dddLi ttdLidiL i212LILi线性媒质线性媒质 n 个载流回路的个载流回路的Wm 类比于静电场类比于静电场 在各向同性线性媒质中，以第在各向同性线性媒质中，以第 k 个回路为例，个回路为例，其磁链可表示为其磁链可表示为 e112nkkkWqm112nkkkWI1 122kkKkkknnL IM IMIM I1nkkkhhhh kL IM I2m1111122nnnkkkhkhkkhh kWL IMI I2221 12 2111222n nLILILI 12 1 213 1 3(1)1nnnnM I IM
28、I IMII 基于基于 的计算式的计算式 AdkkklAlm112nkkkWIm11d2knkkklWIAl ddkkIlJ Vm1d2VWAJ V单个载流回路的自感：单个载流回路的自感： mm22WIH BWLI 、设设 定定和式化为积分，并扩展至整个空间和式化为积分，并扩展至整个空间 mm1dd2VVWwVHB Vm12wHB 22122mBHw3.7.2 磁场能量的分布及其分布密度磁场能量的分布及其分布密度 3.8 磁场力磁场力 磁场力磁场力(电磁力电磁力)是磁场具有能量的一种体现是磁场具有能量的一种体现(孤立的孤立的载流回路载流回路，载流回路载流回路之间、之间、磁铁磁铁之间、之间、电流
29、和磁铁电流和磁铁之之间，均有此种磁场力的存在间，均有此种磁场力的存在) 1. 安培力计算公式安培力计算公式载流回路在磁场中受力载流回路在磁场中受力 ddFIlBdlFI lB1112101321d4PlI lrrBBrr221211222ddllBlFFI212112103122dd4llI lrrrIlr 1221FF 2. 洛仑兹力计算公式洛仑兹力计算公式运动电荷受力运动电荷受力 ddFq vB3. 虚位移法虚位移法 mdddgWWF g1ddnkkkWIm11dd2nggkkkWIdW外源送入系统的能量外源送入系统的能量 dgWm 相应于某一广义坐标变化相应于某一广义坐标变化(dg)而引
30、起的而引起的Wm的增量的增量 Fdg 在在dg方向上，广义力方向上，广义力(磁场力磁场力)所作的功所作的功 mmddkkgICICWWFggconst1,kIknm11dd2kngkkIkWI常量mddkgICF gW1ddnkkkWI1d2Wconst1,kknmmddkkgCCWWFgg 例例3.18 均匀外磁场中载流线圈受力均匀外磁场中载流线圈受力 。 解解m=I1S mm121121cosWWII BS互1m121sinsinICWTBI SBm TmB 若载流线圈中的电流若载流线圈中的电流I1 反向反向(如图中虚线所示如图中虚线所示)，则，则其相互作用能为负值，由此得作用力矩为其相互
31、作用能为负值，由此得作用力矩为 sin1m12BmWTCI规律性认识规律性认识载流回路受力后，其转向总使回路交链载流回路受力后，其转向总使回路交链尽可能多的磁通量。尽可能多的磁通量。 例例3.19 定性分析两载流圆线圈间的电磁力定性分析两载流圆线圈间的电磁力 。m1 2aI CI CWMFI Ixx0M xM0Mx0aF 0M xM0Mx120bI CMFI Ix 1F2FF F 1 212FFFB H、2221N/m22BH4. 法拉第观点求磁场力法拉第观点求磁场力 侧压力侧压力纵张力纵张力P194 书例书例3-26 求电磁铁对衔铁的吸力。求电磁铁对衔铁的吸力。规律性认识规律性认识 铁磁体与
32、空气界铁磁体与空气界面上的磁场力面上的磁场力 B2； 在不同媒质分界在不同媒质分界面上的磁场力总面上的磁场力总是由是由 大者指向大者指向 小者，且方向小者，且方向垂直于分界面。垂直于分界面。 磁矢位磁矢位（A）边值问题边值问题解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法分离变量法分离变量法镜像法镜像法电感的计算电感的计算磁场能量及力磁场能量及力磁路及其计算磁路及其计算基本实验定律基本实验定律 (安培力定律）安培力定律）磁感应强度磁感应强度（B）(毕奥毕奥萨法尔定律萨法尔定律)H 的旋度的旋度基本方程基本方程B 的散度的散度磁位磁位 )m分界面衔接条件分界面衔接条件下 页上 页返 回下 页返 回
