1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.8 函数与方程 最新考纲 考情考向分析 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 . 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根 )的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度 . 1函数的零点 (1)函数零点的定义 函数 y f(x)的图像与横轴的交点的 横坐标 称为这个函数的零点 (2)几个等价关系 方程 f(x) 0 有实数根 ?函数 y f(x)的图像与 x 轴 有交点 ?函数 y f(x)有 零点
2、(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 若函数 y f(x)在闭区间 a， b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a) f(b)0)的图像与零点的关系 0 0 0)的图像 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 知识拓展 =【 ;精品教育资源文库 】 = 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 题组一 思考辨析 1判断下列结论是
3、否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点 ( ) (2)函数 y f(x)在区间 (a， b)内有零点 (函数图像连续不断 )，则 f(a) f(b)0 且函数 f(x)的图像连续不断， f(x)为增函数， f(x)的零点在区间 (2,3)内 3若函数 f(x) 3x 7 ln x 的零点位于区间 (n， n 1)(n N)内，则 n _. 答案 2 解析 由于 ln 21，所以 f(3)0，所以函数 f(x)的零点位于区间 (2,3)内，故 n 2. 4函数 f(x) 12x ? ?12 x的零点个数为 _ 答案 1 解析 作函数 y1 12x
4、 和 y2 ? ?12 x的图像如图所示， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由图像知函数 f(x)有 1 个零点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组三 易错自纠 5已知函数 f(x) x x(x0)， g(x) x ex， h(x) x ln x 的零点分别为 x1， x2， x3，则 ( ) A x11， 则函数 f(x)有 _个零点 答案 1 解析 当 x1 时，由 f(x) 2x 1 0，解得 x 0； 当 x1 时，由 f(x) 1 log2x 0，解得 x 12，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数f(x)只有 1 个零点 7 函数 f(x) ax 1 2a 在区间 ( 1,
5、1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ?13， 1 解析 函数 f(x)的图像为直线，由题意可得 f( 1)f(1)0， f(1) f(2)0， f(b) (b c)(b a)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间 (a， b)， (b， c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a， b)， (b， c)内，故选A. 3设函数 y1 x3与 y2 ? ?12 x 2的图像的交点为 (x0， y0)，若 x0( n， n 1)， n N，则 x0所在的区间是 _ 答案 (1,2) 解析 令 f(x) x3 ?
6、 ?12 x 2，则 f(x0) 0，易知 f(x)为增函数，且 f(1)0， x0所在的区间是 (1,2) 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理； (2)数形结合法 题型二 函数零点个数的判断 典例 (1)函数 f(x)? x2 2， x0 ，2x 6 ln x， x0 的零点个数是 _ 答案 2 解析 当 x0 时，令 x2 2 0，解得 x 2(正根舍去 )，所以在 ( ， 0上有一个零点；当 x0 时， f( x) 2 1x0 恒成立，所以 f(x)在 (0， ) 上是增函数 又因为 f(2) 2 ln 20，所以 f(x)在 (0， ) 上有一个零点
7、，综上，函数 f(x)的零点个数为 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) ex x 3，则 f(x)的零点个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0) 0，即 0 是函数 f(x)的一个零点， 当 x0 时，令 f(x) ex x 3 0，则 ex x 3， 分别画出函数 y1 ex和 y2 x 3 的图像，如图所示，两函数图像有一个交点，所以函数f(x)有一个零点， 根据对称性知，当 x0 的零点个数为 ( ) A 3 B 2 C 7 D
8、0 答案 B 解析 方法一 由 f(x) 0 得 ? x0 ，x2 x 2 0 或 ? x0， 1 ln x 0， 解得 x 2 或 x e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点 方法二 函数 f(x)的图像如图所示，由图像知函数 f(x)共有 2 个零点 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数为 _ 答案 2 解析 由 f(x) 0，得 |log0.5x| ? ?12 x， 作出函数 y1 |log0.5x|和 y2 ? ?12 x的图像， 由上图知两函数图像有 2 个交点， 故函数 f(x)有 2 个零点 题型三 函数零点的应用 命题
9、点 1 根据函数零点个数求参数 典例 已知函数 f(x) |x2 3x|， x R，若方程 f(x) a|x 1| 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (0,1)(9 ， ) 解析 设 y1 f(x) |x2 3x|， y2 a|x 1|， 在同一直角坐标系中作出 y1 |x2 3x|， y2 a|x 1|的图像如图所示 由图可知 f(x) a|x 1| 0有 4个互异的实数根等价于 y1 |x2 3x|与 y2 a|x 1|的图像有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1， 所以? y x2 3x，y a?1 x? 有两组不同解， 消去 y 得 x2
10、(3 a)x a 0 有两个不等实根， 所以 (3 a)2 4a0，即 a2 10a 90， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 a9. 又由图像得 a0， 09. 引申探究 本例中，若 f(x) a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取 值范围是 _ 答案 ? ?0， 94 解析 作出 y1 |x2 3x|， y2 a 的图像如图所示 当 x 32时， y1 94；当 x 0 或 x 3 时， y1 0， 由图像易知，当 y1 |x2 3x|和 y2 a 的图像有四个交点时， 00，解得 a15. (2)已知函数 f(x)? 0， x0 ，ex， x0， 则使函数 g(x) f(x) x
11、m 有零点的实数 m 的取值范围是( ) A 0,1) B ( ， 1) C ( ， 1(2 ， ) D ( ， 0(1 ， ) 答案 D 解析 函数 g(x) f(x) x m 的零点就是方程 f(x) x m 的根，画出 h(x) f(x) x? x， x0 ，ex x， x0 的大致图像 (图略 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 观察它与直线 y m 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x) f(x) x m 有零点 命题点 3 根据零点的范围求参数 典例 若函数 f(x) (m 2)x2 mx (2m 1)的两个零点分别在区间 ( 1,0)和区间 (1,2)内，
12、则 m 的取值范围是 _ 答案 ? ?14， 12 解析 依题意，结合函数 f(x)的图像分析可知 m 需满足? m2 ，f? 1? f?0?0， x2 2x， x0 ， 若函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 (0,1) 解析 画出函数 f(x)? 2x 1， x0， x2 2x， x0 的图像，如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由于函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，结合图像得 00)， 则 a t2 1t 1 ?t 2t 1 1 2 ? ?t 1? 2t 1 ，其中 t 11， 由基本不等式，得 (t 1) 2t 12 2， 当且仅当 t 2 1 时取等号，故 a2 2 2. 答案 (1)( 1,0) (2)( ， 2 2 2
