1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出第第八八章章 位移法位移法 8-1 概述概述8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程8-6 对称性的利用对称性的利用结构力学中南大学中南大学返 回退 出已有的知识：已有的知识：（2 2）静定结构的内力分析和位移计算；）静定结构的内力分析和位移计算；（1 1）结构组成分析；）结构组成分析；（3 3）超静定结构的内力分析和位移计算）超静定结构的内力分析
2、和位移计算力法。力法。已解得如下单跨已解得如下单跨超静定梁的结果超静定梁的结果: :ABAB8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出位移法：位移法：以结点的位移以结点的位移(角位移和线位移角位移和线位移）为基）为基本未知量本未知量, 运用结点或截面的平衡条件运用结点或截面的平衡条件建立位移建立位移法方程法方程求出未知位移求出未知位移利用位移与内力之间利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。确定的关系计算相应的内力。力法力法与与位移法位移法是计算超静定结构的两种基本方法。是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：力法：以未知力为基
3、本未知量以未知力为基本未知量, ,运用位移协调条件建立运用位移协调条件建立力法方程力法方程, ,求出未知力求出未知力, ,计算出全部的内力和相应的位移。计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。一、位移法的提出一、位移法的提出8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出 位移法位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远发展起来的一
4、种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。 结点结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力力 法：法：六个未知约束力。六个未知约束力。 位移法：位移法：一个未知位移一个未知位移（B）。ACDlll/2lEI=常数常数BF8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出CBl/ l/Fl22三次超静定图示刚架三次超静定图示刚架 力力 法：法：三个未知约束力。三个未知约束力。ACBl/ l/F22 B B位移法：位移法：一个未知位移（一个未知位移（B）。）。8-1 概述概述结构力
5、学中南大学中南大学返 回退 出位移法的基本假定：位移法的基本假定： （1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。形和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。持不变。注意：注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。了减少基本未知量，简化计算。 力法与位移法必须满足的条件：力法与位移法必须满足的条件：1.
6、 力的平衡力的平衡; ; 2. 位移的协调位移的协调; ;3. 力与位移的物理关系。力与位移的物理关系。8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：端弯矩为：8284FllEIMFllEIMBCBBBCBABBBAlEIMlEIM24（8-1）ABF B B B BACBl/ l/F22 B Bl 二、位移法思路二、位移法思路B为为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。 由变形协调条件知，各杆在结点由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移
7、端有共同的角位移B。8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出ACBl/ l/F22 B Bl ACBl/ l/ABBFF22 B B B B B BBCMBAM考虑结点考虑结点B的平衡条件的平衡条件, ,将将（8-1）代入式（代入式（8-2）得）得0844FllEIlEIBB于是于是 EIFlB6420BCBAMM（8-2）由由MB=0，有有 将将B 回代入公式回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。弯矩图。再再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。利用平衡条件作出剪力图和轴力图。 8-1
8、 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出位移法思路：位移法思路： 1、设定设定某些结点的位移某些结点的位移为基本未知量，取为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；单个杆件作为计算的基本单元； 2、将、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示单个杆件的杆端力用杆端位移表示, , 而各杆端位移与其所在结点的而各杆端位移与其所在结点的位移相协调位移相协调； 3、由、由平衡条件平衡条件求出基本位移未知量，由此求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。可求出整个结构（所有杆件）内力。8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出提出问题：提出问题： 1、单跨超静定梁在杆端发生各种位
9、移、荷单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求用力法可以求得得) 2、哪些结点的位移哪些结点的位移作为基本未知量。作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量。、如何确定基本未知量。8-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出FPxy 本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。结果。8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出( (2) )杆件转角杆件转角以顺时针为正以顺
10、时针为正, ,反之为负。杆件两端反之为负。杆件两端在垂直在垂直于杆轴方向上的相对线位移于杆轴方向上的相对线位移AB（侧移侧移）以使）以使杆件顺时针转动为正杆件顺时针转动为正, ,反之为负。反之为负。 ABAB AB位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：MMqF A B (1) 杆端弯矩杆端弯矩以顺时针为正以顺时针为正, ,反之为负。对反之为负。对结点或结点或支座支座而言而言, ,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前受拉纤维一侧。剪力的规定同前. .8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位
11、移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出FPxy取简支梁基本结构取简支梁基本结构11112212112222ABXXXX1. 先求杆端位移引起的弯矩先求杆端位移引起的弯矩 作出作出 、 、 （略）（略）1M2MR11223lEI12216lEI 12ABl 解出解出 12426ABABEIEIEIXlll22246ABABEIEIEIXlll8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出FBAABABBAFABABBAABMliiiMXMliiiMX62462421其中：其中：lEIi 称杆件的称杆件的。转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度
12、方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation 荷载等外因荷载等外因引起的弯矩成为引起的弯矩成为固端弯矩固端弯矩，同样，同样可用力法求解，表示可用力法求解，表示 ， 。FFABBAMM2. 荷载等外因引起的弯矩荷载等外因引起的弯矩 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出ABBA两端固定梁两端固定梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端定向支承梁一端固定、一端定向支承梁 仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面
13、尺寸、仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为材料性质有关的常数，一般称为形常数形常数。列于表。列于表(4-1) 。 用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下法的基本结构为以下三种三种单跨超静定梁单跨超静定梁:仅由荷载产生的杆端内力称为仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力固端内力。列于表。列于表(4-1) 。AB8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出lFABMMEIABABBAABF SFS AB ABA1 1、两端固定的等截面直杆、两端固定的等
14、截面直杆 记荷载单独作用引记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为起的杆端弯矩分别为 和和 ，杆端剪力分别，杆端剪力分别为为 和和 。FSABFFSBAFFBAMFABM两端固定等截面直杆的转角位移方程。两端固定等截面直杆的转角位移方程。 FF642624BAABABBABAABBAABABABBABAABABMliiiMMliiiM（8-2） 杆端弯矩的一般公式：杆端弯矩的一般公式：8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出lFABMMEIABABBAABF SFS AB ABA杆端剪力的一般为杆端剪力的一般为 FSSFSS)2(6)2(6BAA
15、BBAABBAABABBAABABFlliFFlliF 由两端固定等截面由两端固定等截面直杆的转角位移方程可直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位得到其他支撑的转角位移方程。移方程。 （8-3）8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出2 2、一端固定、一端铰支的等截面直杆、一端固定、一端铰支的等截面直杆lABFFBAEIA BASFBASAMAB033BAABABABAABABMMliiMF 令式令式（8-2）的的MBA=0, ,B 是是A 和和AB的函数，的函数，转角转角位移方程为位移方程为 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的
16、转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出 可见：可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。AMFABABEIABABBMBASlFABSFBAA 3 3、一端固定、一端定向的等截面直杆一端固定、一端定向的等截面直杆 令式令式（8-3）的的FSBA=0 0, ,AB是是A 和和B的函数，转角位移方的函数，转角位移方程为程为 FFBABABAABBAABBABAABABMii
17、MMiiM8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出128-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出348-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结构力学中南大学中南大学返 回退 出结点角位移基本未知量数目结点角位移基本未知量数目= =刚结点的数目。刚结点的数目。 注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。端之间的距离保持不变。一、一、位移法基本未知量的确定位移法基本未知量的确定 铰结点处铰结点处( (包括铰支座处
18、的铰结点包括铰支座处的铰结点) )的角位移，在的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移独立的结点角位移和独立的结点线位移8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出 2. 确定独立结点线位移的方法确定独立结点线位移的方法 观察观察法、换铰法。法、换铰法。 结构有结构有1个独立的线位移个独立的线位移（Z3），），2个独立的结点个独立的结点角位移角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。），共三个位移法的基本未知量。观察法观察法8-3 位
19、移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出只需增加一根链杆，只需增加一根链杆， 1 1个独立的线位移个独立的线位移 对于不易观察的结构用对于不易观察的结构用换铰法换铰法。 先将原结构的每一个刚结点先将原结构的每一个刚结点( (包括固定支座包括固定支座) )都都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。就是原结构独立的结点线位移的数目。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本
20、未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出位移法的基本未知量的数目为位移法的基本未知量的数目为6个。个。 需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。变形后两端之间的距离不能看作是不变的。 需增加两根链杆，需增加两根链杆， 2个独立的线位移。个独立的线位移。ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222结构有四个刚结点结构有四个刚结点四个结点角位移。四个结点角位移。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退
21、出思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？ 答：结点答：结点1和和2的水平线位移都是独立的，独立的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为结点线位移数目应为2。EA oo1122默认状态默认状态: : EI 不等于无穷大不等于无穷大, , EA 等于无穷大。等于无穷大。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本未知量基本未知量: : 结点结点1 1的转角的转角Z1和水平线位移和水平线位移Z2。二、位移法的基本结构二、位移法的
22、基本结构 基本结构基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所对原结构添加一定数量的附加约束所得到的没有结点位移得到的没有结点位移( (铰结点的角位移除外铰结点的角位移除外) ) 的单跨梁的单跨梁的组合体。的组合体。1. 基本结构的概念基本结构的概念8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本结构123qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本结构1232. 基本结构的确定基本结构的确定 2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，附加链杆，只控制结点沿
23、某一方向的移动，不控制结点转动。不控制结点转动。 1) 附加刚臂附加刚臂 ( (用符号用符号“ ”表示表示) ) 只控制结点只控制结点转动，不控制结点移动。转动，不控制结点移动。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出 例：确定图例：确定图a a所示连续梁的基本结构。所示连续梁的基本结构。基本结构BCDAABCD（图图a）基本结构ABCDABCD（图图b） 在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。及其数目。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中
24、南大学中南大学返 回退 出8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出 EI8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结构力学中南大学中南大学返 回退 出 基本体系基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。同作用下的体系。 基本未知量基本未知量结点结点B 转角转角B B
25、，设其为，设其为Z Z1 1 。在。在结点结点B 附加刚臂得基本结构。附加刚臂得基本结构。 原结构原结构基本结构基本结构一、位移法的基本方程一、位移法的基本方程 1. 无侧移刚架无侧移刚架基本体系基本体系 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 2) 人为给予结点人为给予结点B以转角以转角B , ,由于转角而引起附加由于转角而引起附加约束的附加反力约束的附加反力R11。 在基本结构上分别考虑：在基本结构上分别考虑：CBl/ l/FFR =R + R ZZ221111P1ZlBCBAAA11CABABCCF ZZZRR = Z单独作用Z1
26、F r1111111P11 单独作用F基本体系基本体系 + += =1) 荷载引起的附加约束中的反力荷载引起的附加约束中的反力R1P。由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系. .8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 设设r11为单位转角为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（将其代入公式（8-38-3）得）得思考：基本体系与原结构有何不同？思考：基本体系与原结构有何不同？ 原结构在结点原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附处并没有附加约束
27、，因而也没有附加约束反力矩。加约束反力矩。 思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构结构完全等价完全等价？要使基本体系与原结构完全相等，必须要有要使基本体系与原结构完全相等，必须要有 R11+R1P=R1=0=0 即：即： R11+R1P=0 (-3） R 的下标的下标: : 第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第一个下标表示产生附加反力矩的位置， 第二个下标表示产生附加反力矩的原因。第二个下标表示产生附加反力矩的原因。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出=1244211r11ABCBr1Z
28、iii4i4iiM1r11Z1+R1P=0 （-4） -求解基本未知量求解基本未知量Z1的位移法方程。的位移法方程。求系数求系数 r11作基本结构当位移作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（时的弯矩图（ 图）。图）。 1M=1244211r11ABCBr1Ziii4i4iiM1i=EI/l 称为该杆的线刚度。称为该杆的线刚度。0BM取结点取结点B为隔离体，由力矩平衡条件为隔离体，由力矩平衡条件04411iir得得 lEIir88118-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 求自由项求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩，作出基本
29、结构在荷载作用时的弯矩图图(MP图图) )。利用力矩平衡条件利用力矩平衡条件MB=0， 得得 8P1FlR 注意：注意：系数系数r11和自由项和自由项R1P的正负号规定它们都与的正负号规定它们都与 转角转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。的正向一致时为正，即顺时针为正。 ABCBFlFlFlRRF8881P1PABCBFlFlFlRRF8881P1P0取结点取结点B为隔离体为隔离体8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出将系数将系数r11和自由项和自由项 R1P代入位移法方程式（代入位移法方程式（-4）有）有0881FlZlEIEI
30、lFZ6421得得叠加法绘制叠加法绘制结构的弯矩图。结构的弯矩图。ABCZ =ri4i2i21111i41MABCrRFlFFl881PPMAC532PF l64PF l16PF l16PF l32P9F lMpMMZM118-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出ZEI=常数ll/l/ZF12342Z2122Z13124EI=常数/2l/2llF2. 有侧移刚架有侧移刚架 图示刚架，图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。示的变形。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力
31、学中南大学中南大学返 回退 出 结点结点1 1的转角的转角Z1和结点和结点1、2的独立水平线位移的独立水平线位移Z2 。 34121221FZRZR1Z1Z2Z2Z(1) 基本未知量：基本未知量：8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出3412341211FZRZR22基本结构基本结构(2) 基本方程基本方程基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力R1=0、R2=0 。基本体系基本体系8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出在小变形
32、线弹性条件下，根据叠加原理可得在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得 00P222212P112111RRRRRRRR（-5） MMR112131第一式：第一式：反应了结点反应了结点1的矩平衡条件。的矩平衡条件。013121MMRR122FS13S24F设设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的，附加链杆的约束力约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩时附加刚臂的约束反力矩r12 ，附加，附加链杆的约束力链杆的约束力r22，则则第二式：第二式：024S13S2FFR反应了反应了原结构横梁原结构横梁12上柱的上柱的剪力平衡条件。剪力平衡条件。 11111ZrR
33、21212ZrR12121ZrR22222ZrR8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 将将R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（代入位移法方程式（-5）的的得得位移法典型方程位移法典型方程( (基本方程基本方程) )00P2222121P1212111RZrZrRZrZr（-6） 位移法典型方程的物理意义：位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, ,反映了原结构的静力平衡条件。反映了原结构的静力平衡条件。 8-4
34、 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 rij表示基本结构仅在附加约束表示基本结构仅在附加约束j j发生单位位移发生单位位移Zj=1时，在附加约束时，在附加约束i上产生的上产生的约束力约束力（或约束反力矩）。（或约束反力矩）。 二、位移法典型方程二、位移法典型方程000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr), 2 , 1;, 2 , 1,(njnijirij（-） 对于具有对于具有n个独立结点位移的的结构个独立结点位移的的结构, ,有有n个基本个基本未知量未知量, ,可建
35、立可建立n个平衡方程，位移法典型方程个平衡方程，位移法典型方程8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 由刚度系数由刚度系数rij 组成的矩阵称为结构组成的矩阵称为结构刚度矩阵刚度矩阵。 rij 反映反映结构的刚度，称为结构的刚度，称为刚度系数刚度系数。rij = rji （由反力互等定理）（由反力互等定理）。RiP 称为称为自由项自由项，它表示在，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束i上产生上产生的约束反力或反力矩。的约束反力或反力矩。000PP2P121212222111211nnnnnnn
36、nRRRZZZrrrrrrrrr写成矩阵形式写成矩阵形式位移法方程也称位移法方程也称刚度方程刚度方程（-）8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出rM图i2Z =r123411r1111214i4i311ii3(3) 求典型方程中的系数和自由项。求典型方程中的系数和自由项。 1 1）作基本结构单独在）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图作用时的弯矩图1Miiir74311i4i3111r取刚结点取刚结点1 1为隔离体，为隔离体，由平衡条件得由平衡条件得 继续求解继续求解8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学
37、中南大学中南大学返 回退 出r12216il0FFMM1331S13S3131截取横梁截取横梁12为隔离体，为隔离体，取取13杆杆为隔离体，为隔离体，由由M3=0, 有有0311313SMMlFlilMMF6311313S 得得lir621 由平衡条件得由平衡条件得 rM图i2Z =r123411r1111214i4i311ii3注意：注意：杆端剪力杆端剪力FS13可可根据杆端弯矩求出。根据杆端弯矩求出。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出2234112Z =2rlrilrliM图263611212i6 il0112li6021126
38、rlir 2) 作基本结构单独在作基本结构单独在Z2=1作用时的弯矩图作用时的弯矩图 图图2M取刚结点取刚结点1 1为隔离体，为隔离体，由平衡条件得由平衡条件得 在绘出在绘出 图、图、 图后，杆端剪力（包括大小图后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。和方向）即可确定，不必专门记忆。 1M2M8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出截取横梁截取横梁12为隔离体为隔离体由平衡条件得由平衡条件得 2222215312lililir2221r12l3l22iiFFMM1331S13S31312234112Z =2rliilrli6
39、36121r212图M2442S42S24FFM8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 3) 作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图MP图。图。 1P2P8234Fl8FlRFRM 图PRFl81P118P1FlR1P2P81234Fl8Fl8FlRFRM 图P1PR12P210F/2R 截取横梁截取横梁12为隔离体为隔离体, ,由平衡条件得由平衡条件得 2P2FR 取刚结点取刚结点1 1为隔为隔离体，离体，由平衡条件得由平衡条件得 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力
40、学中南大学中南大学返 回退 出进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：进行系数和自由项计算时，应注意以下两点： (1) 杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出 图、图、 图、图、 后，杆端剪力（包括大小和方向）后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆即可确定，不必专门记忆。PM2M1M (2）由反力互等定理可知，必有由反力互等定理可知，必有r1212= =r2121，计算，计算时可以互相校核，熟练后只需计算其中之一时可以互相校核，熟练后只需计算其中之一。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出将系
41、数和自由项代入典型方程（将系数和自由项代入典型方程（-6），则），则 结果为正值，表明所设结果为正值，表明所设Z1、Z2的方向与实际方向一致。的方向与实际方向一致。 02156086722121FZliZliFlZliiZ(4) 解方程解方程 联立求解得联立求解得 iFlZ55291iFlZ2255222，8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出/23124EI=常数l/2llF8123411PFl8Fl8FlRFM 图P3412112Z =2lriilliM6361图2M图i2Z =12341141ii3图图1234552Fl552F6
42、0552FlM2766Fl183552(5) 弯矩图弯矩图P221P2211552225529MMiFlMiFlMZMZMM8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 对计算结果的正确性，应进行校核。由于位对计算结果的正确性，应进行校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形连续条件，移法在确定基本未知量时已满足了变形连续条件，位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。平衡条件进行校核。 注意注意: :8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中
43、南大学返 回退 出(6) 根据根据弯矩图弯矩图可作出简力图和轴力图。可作出简力图和轴力图。 图图FlM123455227Fl552183Fl55260F552661234图图FFS552486F5526666552F27F552图图FN1234F55266F55227F5522721F55266F55266(7) 校核。校核。 结点满足力矩平衡条件。结点满足力矩平衡条件。 取横梁取横梁12为隔离体，为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以它满足剪力平衡条件，可以判断所得结果正确。判断所得结果正确。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出三三、位
44、移法典型方程计算结构的步骤位移法典型方程计算结构的步骤 (1) 确定基本未知量确定基本未知量即原结构的独立结点角位即原结构的独立结点角位移和线位移移和线位移; ; (2) 建立基本结构建立基本结构在原结构上增设与基本未知在原结构上增设与基本未知量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得到位移法基本结构到位移法基本结构;(3) 建立位移法典型方程建立位移法典型方程; ; (4) 计算典型方程中系数和自由项计算典型方程中系数和自由项; 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的基本结构的弯矩图
45、，由平衡条件求出和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。各系数和自由项。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 (6) 作作内力图内力图；根据；根据 ，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。PMZMZMZMMnn2211(7) 校核。校核。按平衡条件进行校核。按平衡条件进行校核。 (5) 解算典型方程解算典型方程；求出作为基本未知量的各结点；求出作为基本未知量的各结点位移位移Z1、Z2 、Zn 。思
46、考：位移法能用于计算静定结构吗？思考：位移法能用于计算静定结构吗？ 能！凡是具有未知结点位移的结构能！凡是具有未知结点位移的结构, , 不管是静定不管是静定或是超静定或是超静定, , 都可以用位移法求解。位移法比较适宜都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序于编制通用计算程序 , ,进行大规模的工程计算。进行大规模的工程计算。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出例例8-1 用位移法计算图用位移法计算图示的刚架的内力。示的刚架的内力。EI=常数。常数。 解：解：(1) 确定基本未知量，结点确定基本未知量，结点C C的角位移的
47、角位移Z1。 (2) 建立基本结构，得到基本体系。建立基本结构，得到基本体系。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出(3) 建立位移法典型方程。建立位移法典型方程。01111RZr（4）计算系数和自由项。计算系数和自由项。 令令 ，做出做出 图图 lEIi 1Miiir113811基本结构由于支座基本结构由于支座A产生位移时，各杆端的弯矩：产生位移时，各杆端的弯矩：ialiiMAC20)()2(6)2(4ialiiMCA16)()2(6)2(2ibliMCB12)(38-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中
48、南大学中南大学返 回退 出作出作出M图（转角位移方程）图（转角位移方程）iiiR2812161112811281111iirRZ(5) 解算位移法方程，解算位移法方程，(6) 作内力图。作内力图。 按叠加法根据按叠加法根据MZMM118-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出 解：解：(1) 确定基本未知确定基本未知量，结点量，结点B的角位移的角位移Z1。9kN/mABC80kN6m3m3m例例8-2 用位移法计算图用位移法计算图示的连续梁的内力。示的连续梁的内力。EI=常数。常数。CBA基本结构 (2) 建立基本结构，建立基本结构，得到基
49、本体系。得到基本体系。(3) 建立位移法典型方程。建立位移法典型方程。0P1111 RZr8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出（4）计算系数和自由项。计算系数和自由项。 令令 ，做出做出 图图 6EIi 1MCABiZ =M 112i3i41图11k34iiB 由隔离体由隔离体结点结点B的力矩平衡条件的力矩平衡条件MB=0 ，得，得 iiir734118-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出9kN/m80kN/mBCAM (mkN 图)90752727P作出作出MP图（查表）图（
50、查表）BR27901P09027P1RmkN63P1R 由由MB=0 取结点取结点B B为隔离体，为隔离体，将系数将系数r11和自由项和自由项R1P代入位移法方程，解代入位移法方程，解得得iirRZ976311P11(5) 解算位移法方程，解算位移法方程，8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤结构力学中南大学中南大学返 回退 出mkN 9ABMmkN 36BAMmkN 36BCM12088.596340.5M(kN m)图(6) 作内力图。作内力图。759kN/m9080kN/m27ABC27M P 图kN()m注意注意: :杆端弯矩顺时针为杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍
