1、运动学解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ，自水平位置开始以匀角速度w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 将j =wt带入上式，得M点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄O
2、A绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w 绕O轴转动，即jwt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过 t 秒后，此时B点的坐标为：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得B的运动方程：22cos1sin)xrtltww由此可得滑块B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 将右边最后一项展开：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111sin1sinsin28tttwww 2
3、2cos1sin)xrtltww例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式对t求一阶导数，得 M 点的速度为:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式对t求一阶导数，得 M 点的速度为:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx
4、例4 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在t4s时的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此时M点的切向加速度为：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s当t=4 s时速度为：d4dSvttM点的法向加速度为：2216/nvacmsRM点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若
5、铁轨曲线形状如图1-17所示。在M1、M2点的曲率半径分别为1=600m, 2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv求列车经过M1和M2时的法向加速度为：221110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列车经过M1时的全加速度为：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .
6、5naa列车经过M2时的加速度为： 例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M 运动，已知wt (w为常数)。求小环M 的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M 的运动方程。jj2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOjxyj2故M点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为cos( , )cos2xvvjv icos( , )sin2yvvj v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故M点的加速度大小为2224wRaaay
7、x且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOjxyj2vxvyvaMMjRoj例7 半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动， ，试分析轮子边缘一点M的运动。twj取坐标系Axy如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinjjjROMACx)cos1 (cosjjROMOCy这是旋轮线的参数方程。joRCAxyMM点的速度为：jRiRj yi xv)sin()cos1 (jjjj当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。jk2joRCAxyM22sincosaxiyjrtirtjw
8、www例7-1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以tt1212,vvaa由于111222tt11 1222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例7-2 一半径为一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O的转动方的转动方程程为为 ，单位为弧度。求，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M的的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长速度和加速度（如图）。如
9、在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体的绳子并在绳端悬一物体A，求当求当t=1s时，物体时，物体A的速度和加的速度和加速度。速度。tt42j 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为42 tdtdjw222dtdj求当求当t=1s时，则为时，则为srad /2w2/2srad 因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M的速度和加速度为的速度和加速度为smRv/4 . 0w2/4 . 0smRa22/8 . 0smRanw方向如图所示。方向如图所示。ARMOvana M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为ARMOanaa22222/894. 0)8
10、 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgw如图。 现在求物体现在求物体A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例7-3 在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角 以rad计。若初瞬时 ，其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈（ ）时其顶端 P 点的速度。 20.2/rad s000,6/rad sw4 radPdddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6.
11、166/rad svrm swwww解：例例7-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比求减速箱的总减速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求传动比：解：求传动比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z则有：则有：1313300086 / min34.8nnri例1 如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。
12、求在图示位置时，杆AB的速度。 ABeCOwvevavrcotaeevvOAeOAwwtaneavv解：因为杆AB作平动。选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为w，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度w1。解： 在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的
13、摆动。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO AlrlrwwjAO1OwBjvevavr例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：jjsinsinuvveasineavvjuABOMrjvrvave例4 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与已知，且设OA=a, ACb。 解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vABCOvavevrvCsinsineavvvwOCsineOCvv
14、OAawsinCOCabvOCvawaervvv例5 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度w绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为，试求当 =45时，顶杆AB的速度。 解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。coscos4522eavveewwvavevraervvv例6 AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动，两条杆的夹角为，求套在两杆上的小环M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M为动点，AB
15、为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvv将等式两边同时向y轴投影：则动点M的绝对速度为：22221222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv v=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7 在水面上有两只舰艇A 和 B均以匀速度v =36 km/h 行驶，A 舰艇向东开，B 舰艇沿以 O 为圆心、半径R =100 m的圆弧
16、行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m, =30 ，试求：（1） B艇相对 A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。 东北BAROS东北=30BAROSVe1Va1Vr1303036(/ )10(/ )ABvvvkm hm s解：(1) 求B艇相对于是A艇的速度。以 B为动点，动系固连于A艇。由图（b）的速度矢量 111Baervvvv110(/ ),BAevvvm s12 cos3017.32(/ )rvvm s(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。smvOAve/5502wsmva/1022222211.2/rervvvm s5 . 0105tan22aevv3426东北=
17、30BAROSV Va2V Vr2V Ve2可见，A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度。OABAvBvR例9 如图车如图车A沿半径为沿半径为150m的圆弧的圆弧道路以匀速道路以匀速 行驶，车行驶，车B沿直线道路以匀速沿直线道路以匀速 行行驶驶 ，两车相距，两车相距30m，求：（，求：（1 1）A车相对车相对B车的速度；（车的速度；（2 2）B车相对车相对A车的速度。车的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvv9 .361OA
18、BAvBvRev1rv1xy（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxywev2rv2sradRvA/083. 0150360010453wskmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revv422例10 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径ROA10 cm，已知曲柄绕轴O以匀速n120 rpm转动，求当j30时滑道BCD的速度和加速度。 njROO1ABCDjvavrve解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。求得曲柄OA转动的角速度为 4rad/s30nwaer vv
19、v125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/saeraBCDevOAvvvvvw12030hAOO1ABCDj分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4 )101579 cm/saaOAwntaerr aaaa将加速度向h轴上投影有： nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为w，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度
20、w1。解： 在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO Alrlrww vevavrjAO1OwBjAO1OBww11araetaenaaaC由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：2aarw12sin90Cravw42n2e113222()raO Alrwwte11aO AntaerCeerCaaaaaaaa2re12222,rlrvlrlrwwww2332222()Cr l
21、alrwjAO1OBw11araetaenaaaCh为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影： ntaeerCaaaaahhhhh即：taeCcosaaaj得：22t2e3222()()rl lralr w摇杆O1B的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr wABOCw例12 偏心凸轮的偏心距OCe、半径为 ，以匀角速度w绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。3Revrvave解：选取杆AB的端点A作为动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。evOAw32 3tan33aeevvO
22、Aww243cos332erveevwwaervvvABOCw加速度分析如图arnartaCaaaenhaerCaaaa222neaOAeww22163 3nrrveaRw2482sin( ,)2133Crreeavwwww vw wcoscosnnaerCaaaa2222231682( 2)2933 33aeeaeewwww 例13 图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB10 cm，OB与BC垂直，曲杆的角速度为0.5rad/s，求当=60时小环M的速度和加速度。 BACOMwj解：选取小环M作为研究的动点，动参考系随曲杆OBC一起绕O轴转动。点A的绝对运动
23、是小环M沿OA杆的直线运动，相对运动是沿着BC的直线运动，牵连运动则是曲杆绕O轴的转动。于是 ：10 0.510cm/s1cos602eOBvOMwwtan10317.3 cm/saevvj由三角关系求得小环的绝对速度为：BACOMwjavevrv220 cm/srevv小环M的加速度分析如图所示 ：222 0.5 2020 cm/sCravw2220.5205 cm/sneaOMw2/cos52 2035cm/snaeCaaaj 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaajj BACOMwjcaaanearayj例14 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移
24、动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC = e，凸轮绕轴O转动的角速度为w，角加速度为e 。求OC与水平线成夹角j时顶杆的速度和加速度。BACOj jyx w wM解1 用运动方程求解。因推杆作平动，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteejjjwjwjjwjjwjBACOj jyx w wMy解2 取圆盘的中心C为研究的动点，动参考系与平底推杆AB固连，分析动点的速度和加速度如图所示。avewcoscos
25、eavvejwjBACOj jj jyx w wMavevrv2naaewaae2sincoscossinneaaaaaeejjjwj 可求得：BACOj jj jxyraeaaanaanaaer aaaa向y轴正向投影：sincosnaaejj-aaa例15 牛头刨床机构如图所示；已知 。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A 12 rad/sw解：一、速度分析1）取套筒A为动点，动参考系与摇杆O2B固连。相对运动是套筒A沿摇杆O2B的直线运动，牵连运动是摇杆O2B绕O2的定轴转动，绝对运动是套筒A绕O1的圆周运动，绝对速度的大小是：111200 2400 mm/savO A
26、w 650mmCDO2O1BAw w130211121211sin30200 mm/s400 mmsin302000.5 rad/s400cos302003mm/seaeo BravvO AO AvO Avvw由速度合成定理可得 ：650mmCDO2O1BAw w1301av1ev1rv222226500.5cos30650mm/s3cos30325 mm/sao BeavO Bvvw2） 取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：650mmCDO2O1BAw w1302a
27、v2ev2rv30二、加速度分析，动点和动系的选择分别同前。 2212200 3 mm/sCo Bravw222111200 2800 mm/snaaO Aw1）A点的加速度分析如图所示，由于动参考系O2B作定轴转动，有科氏加速度，其方向可由相对速度顺着摇杆O2B的转动方向转过得到，是垂直于O2B斜向上方，大小为：O2O1Aw w1301Ca1ea1nea1aay各加速度之间的关系为：1111nnaeerCaaaaa向y轴投影得：112cos303800200 3 200 3mm/s2neaCaaa2212200 33rad/s4002eo BaO AO2O1Aw w1301Ca1ea1nea
28、1aay2）B点的加速度分析 22naaeraaaa22222222226503250.5mm/scos3036503650 mm/scos302naaaO BaO Bw将各加速度向水平方向投影得 ：2222222cos60cos30325 13cos60cos30650657mm/s223naaeneaaaaaaaa 即滑枕的加速度约为657mm/s2，方向向左。 650mmCDO2O1BAw w1302aa2ea302naa2ra例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s ，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。 解: A
29、B作平面运动，以A为基点，分析B点的速度。cot3010 3 cm/sBAvv由图中几何关系得：1rad sBAABvlw方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssin30ABAvv30以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：:cossin30MAMAxvvv :sincos30MMAyvv解之得10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxy例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度。解:行星齿轮
30、II作平面运动，求得A点的速度为vAwODADAvvvODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。12()AOOvOArrww由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA wIIDA。所以12II2()ODArrvDArwwvAwOCACAvvvODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度。II12()BAOAvBArrvwwBABAvvvvBA与vA垂直且相等，点B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A为基点，分析点C的速度。v
31、CA与vA方向一致且相等，点C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrw例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得10 3cm sBv BAABABvvAvAvBB30确定瞬心的一般方法：确定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4 用速度瞬心法解例1。解： AB作平面运动1rad ssin30AAvvAClwcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30CvMwM瞬心在C点例5 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求
32、轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw459090O1OBAD例6 已知四连杆机构中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w绕O轴转动。求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度。w 解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。vAvBvDCwAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DC
33、l2AvOAlww2233 22AABvlAClwwwBABvBClww52DABvDClww例7 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。scmvA60cmr1060j 解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 。1CwwwrDCvD31 AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则2CjAvABDO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例8 图示小型精压机的传动机构，OAO1Br0.1 m，EBBDADl0.4 m，在图
34、示瞬时OAAD，O1BED，O1D在水平位置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速n120 rpm，求此时压头F的速度。OADO1BEFn例9 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角 = b = 60，求滑块C的速度。解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wwrOAvA1AABvrACrwww1BABvBCrww2133BBCvrBCrwww233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则12 3cos303AABvrrACABlwww1sin302 33233BABABvBCABlrr
35、lwwww例10 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则233BBCvrBClww233CBCrvCCww例11 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1AO1O2时，ABO1
36、O2 ，且AD与AO1在同一直线上，j =30。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点C。 O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB10.2 m/sAvO Aw110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCAw0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCDw例12 图示蒸汽机传动机构中，已知：活塞的速度为v，O1A1=a1, O2A2=a2, CB1=b1, CB2=b2; 齿轮半径分别为r1和r2；且有a1b2r2a2b1r1。当杆EC水平，杆B1B2铅直，A1，A2和O1，O2都
37、在一条铅直线上时，求齿轮O1的角速度。vA1vA2w1w2解：设齿轮O1转动方向为逆时针，则齿轮O2的转动方向为顺时针。因A1，A2和O1，O2在一条铅直线上，所以A1，A2点的速度均为水平方向，如图所示 。因B1B2作平面运动，vCB1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也应垂直于B1B2而沿水平方向。A1B1作平面运动，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬时平动，同理A2B2也作瞬时平动，所以vB1vB2111111 1BAvvO AawwvC2222222BAvvO AawwvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2杆的速度分布如图所示，速度瞬心在O点。设OC长度为x，则O21
38、 12/r rwww因齿轮O1，O2相互啮合，w1r1w2r2 ，所以2222 112/Bvaa rrwwCvvOCxww11111 1()BvOBbxbvawwww12211 2 22 1 1()bb r vab ra brw22222 112()/BvOBbxbva rrwwww当a1b2r2a2b1r1时，齿轮O1的角速度为逆时针方向。例13 图示放大机构中，杆I和II分别以速度v1和v2沿箭头方向运动，其位移分别以x和y表示。如杆II与杆III平行，其间距离为a，求杆III的速度和滑道的角速度。 IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III杆作平动，IV杆作平面运动。滑块B
39、和滑块C与滑道之间有相对运动，如果取滑道IV作为动参考体分析滑块B和滑块C的运动，则牵连运动均为平面运动。ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1hIIIIIIIVBCyv1axAv2B点的运动分析：取滑块B为动点，滑道作为动参考体，绝对运动是滑块B随I杆的运动，速度为va1= v1；相对运动是滑块B在杆滑道中的运动，速度为vr1；牵连运动是杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：取A为基点，分析杆上B点的速度，随基点平动的速度是杆的运动速度v2，相对于基点转动的速度方向垂直于杆，大小未知，由这两个速度合成得到杆上B点的速度vB，此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve1，如图所示。 1
40、1111eBABAaerABArvvvvvvv= vvv121BAr vvvvvB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVh向h方向投影得:12cossinBAvvv2222cos, sinxyxyxy1222BAv yv xvxy12IV22BAvv yv xABxyw121BAr vvvvACvC(ve2)vAvAvCAva2vr2IIIIIIBCyv1axAv2C点运动分析：取滑块C为动点，滑道作为动参考体，绝对运动是滑块C随杆的运动，速度为va2vIII,大小待求； 相对运动是滑块C在杆滑道中的运动，速度为vr2； 牵连运动是杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：取A为基点，分析
41、杆上C点的速度，随基点平动的速度是杆的运动速度v2，相对于基点转动的速度vCA方向垂直于杆，大小为vCA=wAC，由这两个速度合成得到杆上C点的速度vC，此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve2，如图所示。 22222eCACAaerACAr vvvvvvvvvvIII22CAr vvvvhvC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2CIII22CAr vvvv向h方向投影得:1212IV2222sinCAv yv xv yv xaavACxyxxywIII2sinsinCAvvvIII2sinCAvvvIII221212222()sinCAvaayaxvvvv yv xvvxxx因
42、为所以h解： 如图所示。jrS 由于此式对任意时间都成立，故两边对时间求导有ddddOsvrrttjw由此可得rvOw再对时间求导有2222ddddOsarrttj由此可得Oar例14 求圆轮在地面上作纯滚动时的角速度w和角加速度。wjOOrMMsvOvO 例15 车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图。试求轮缘与地面接触点C的加速度。解：车轮作平面运动，取O点为基点，则C点的加速度为tnCOCOCOaaaa,OOvarrwtOCOOaarrar2n22()OOCOvvarrrrw取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得nCOa0OOCOOCa
43、aaaarvaaOnCOC2hrvaaaOCCC222h方向由C点指向O点。waOCOvOtCOaaOh例16 平面四连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l4r。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为w，角加速度为，试求摇杆O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面运动，由题设条件知，AB的速度瞬心在B点，也就是说，vB = 0，故：OO1ABw3030110BO BvO BwvA取A为基点分析B点的加速度如图所示：ntntntBBAABABAaaaaaa其中：1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAan22221()()4ABAABv
44、raABABrABllwww n22AaOArwwtAaOAr 将加速度向h轴投影得 ：ntnncos30cos60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrrwww 12t21532523BO BrarOBwwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAah30ABCDO100100vCvB4545例17 平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以等角速度w = 1 rad/s绕A轴转动，求C点的加速度。 解：AB和CD作定轴转动，BC作平面运动，其B、C两点的运动轨迹已知为圆周，由此可知vB和vC的方向，分别作vB和vC两个速度矢量
45、的垂线得交点O即为该瞬时BC的速度瞬心。由几何关系知 200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOBww50 2 mm/sCBCvOCwwBCwABCDaB45aBnCBatCBatCanCa80.54取B为基点分析C点的加速度，有 ntnntCCBCBCBa +aaaan22100 mm/sBaABwtnn2cos45106.07 mm/sCCBBaaa 将C点的加速度向BC方向投影得：aCn2225 2 mm/sCBBCaBCw2n217.68 mm/sCCvaCD负值表明实际方向与假设方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCC
46、Caaatnarctan()80.54CCaa 例18 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长1m，OA以匀角速度w =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。解：AB作平面运动，瞬心在C点，则2m sAvOAw2rad sAABvACwOwwAB45AvA45vBBCAB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为tnBABABA aaaa其中n2220m sAAaaOAwO45AaBBaAa nBAa tBAaAn224m sBAABaABw将B点加速度投影到h轴上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t21
47、6m sBAat216rad sBAABaABh将B点加速度投影到轴上得解：薄板作平面运动，取B为基点分析A点的加速度如图所示：例19 图示正方形薄板边长20 mm，在其平面内运动。某瞬时顶点A和B的加速度分别为 和 ，方向如图。求薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaAa nCBa tCBaBntABABAB aaaa其中 ：240 2 mm/sAa 280 mm/sBa n2ABaABwn2ABaABw将等式两边分别向x和y方向投影得： tcos45ABABaaa n240 222 rad/s20ABaABwDCBAxyaBaAa nCBa
48、tCBaBncos45AABaa t228040 222 rad/s20ABaABntABABAB aaaantCBCBCB aaaan2240 mm/sCBaBCwt240 mm/sCxCBaa22240 2 mm/sCCxCyaaa再取B为基点分析C点的加速度如图所示将加速度分别向x和y方向投影得：其中方向与CD成45夹角指向右下方。DCBAxyaBaCaBa nCBa tCBaCxaCyt240 mm/sCBaBCn240 mm/sCyCBBaaa 例20 半径r = 1m的轮子，沿水平直线轨道纯滚动，轮心具有匀加速度aC = 0.5 m/s2，借助于铰接在轮缘A点上的滑块，带动杆OB绕
49、垂直图面的轴O转动，在初瞬时(t = 0)轮处于静止状态，当t = 3s时机构的位置如图。试求杆OB在此瞬时的角速度和角加速度。 解：当t=3s时，轮心C的速度0.5 31.5m sCCva t 轮子作平面运动，瞬心在D点，则23m sACvvrCOABvAvCaC45D取滑块A为动点，动系取在OB杆上，动点的速度合成矢量图如图所示。reavvv45cossmvvre223sradOAveOB43wvevr轮作平面运动，取C为基点，则A点的加速度tnACACAC aaaa根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点A的绝对加速度为tnaeerK aaaaarCOABaC45DaCa tACa nA
50、CaKara tea ne于是可得ttnneerKCACAC aaaaaaatACCara2n222.25m sCACCvaACrw2922m s4KOBravw其中取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到h轴上得tnt()cos45CACACeKaaaaa ttn22()0.88m s2eKCACACaaaaarCOABaC45DaCa tACa nACaKara tea ne于是，杆OB的角加速度为t20.880.31rad s2 2eOBaOA转向如图所示。h3 3r例21 图示机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度w0转动，AB6r，BC 。求图示位置时滑块C的速度和加
