1、第七章第七章 力法力法Structural Mechanics第二十讲的第二十讲的目录目录7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算二、超静定结构二、超静定结构的位移计算的步骤：的位移计算的步骤：1、作超静定结构、作超静定结构的内力图的内力图2、在与超静定结构对应的基本结构上虚加单位力。、在与超静定结构对应的基本结构上虚加单位力。3、按图乘法计算超静定结构的位移。、按图乘法计算超静定结构的位移。一、超静定结构一、超静定结构的位移计算的原理的位移计算的原理 超静定结构超静定结构的内力
2、图的内力图，实际上也是，实际上也是静定的基本静定的基本结构在结构在多余约束反力和荷载共同作用下的内力图多余约束反力和荷载共同作用下的内力图。求。求超静定结构超静定结构的位移时，直接在基本结构上虚加单位力，的位移时，直接在基本结构上虚加单位力，避免求解避免求解超静定结构在超静定结构在单位力作用下的弯矩图。单位力作用下的弯矩图。Structural Mechanicsl/2l/2CACX1qCX1=118ql212ql22ql824ql2M1MPB8ql212ql2qM图（a）（b）（e）（d）（c）解：（解：（1）画出原结构的最后）画出原结构的最后M图。图。基本结构如图基本结构如图(b)。EIl
3、EIl1111321211(1)38224PlqlqlEIEI2111124PqlX qMXMM11例例1 求图示超静定结构跨中的挠度求图示超静定结构跨中的挠度 。 VC7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算l/2l/2CACX1qCX1=118ql212ql22ql824ql2M1MPB8ql212ql2qM图（a）（b）（e）（d）（c）l/2（a）qACl/2（e）（d）（c）（b）M图12ql212ql22ql824ql2MPCM1CX1qB（d）MP（e）M图Structural MechanicsX1=128ql28ql212ql212ql28ql224ql1（2）求超静
4、定结构跨中的挠度。）求超静定结构跨中的挠度。 方法一：求跨中的挠度方法一：求跨中的挠度 ，必须画单位力作用下的，必须画单位力作用下的弯矩图。而结构是超静定的，必按以上各步骤画出单位弯矩图。而结构是超静定的，必按以上各步骤画出单位力作用下的最后弯矩图力作用下的最后弯矩图(e1)、实状态的弯矩图图乘、实状态的弯矩图图乘(e)得得VCl/2（a1）l/2P=12211022VClqlEI 7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算（b1）P/2P/2X1（c1）CM1（d1）MPM图（e1）EIlEIl1111221128288PlPlPllEIEIEI 18lx 253888821382ll
5、lql 4( )384qlEIStructural MechanicsX1=18l4l8l8l4l12124l1（e）M图212ql212ql28ql224qll/2l/2M图（d2）方法二：方法二： 分析：求出实状态的最后分析：求出实状态的最后M图图(e)后，可将原结构变化后，可将原结构变化成成(b2)图式的静定结构图式的静定结构简支梁。铰处加上约束反力简支梁。铰处加上约束反力偶。取此为实状态，其偶。取此为实状态，其M图不会变化，而虚设单位力状图不会变化，而虚设单位力状态的态的 图就大大方便地画出图就大大方便地画出(d2)，并迅速求出，并迅速求出 。 MVCP=112ql2q12ql2ql2
6、2412ql28ql2ql12l/2l/2l/2qACl/2B（a2）（b2）（c2）（d2）M图M图224152428422112382( )384VCqlllqlEIqlllEI (c(c2 2) )(d(d2 2) )求求7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算P=112ql2q12ql2ql22412ql28ql2ql12l/2l/2l/2qACl/2B（a2）（b2）（c2）（d2）M图M图P=112ql2q12ql2ql22412ql28ql2ql12l/2l/2l/2qACl/2B（a2）（b2）（c2）（d2）M图M图Structural Mechanics1l/4（d
7、3）P=1P=l/2M图l/2qCl/2A（a3）M图B12qlq2ql822qlql1212ql224（b3）（c3）22ql12ql22ql 方法三：方法三： 实状态的最后已知，不妨取悬臂梁作为基本结构实状态的最后已知，不妨取悬臂梁作为基本结构(b3)。ql22412ql28ql22ql12P=1P=l/2Bl/2CAql/2q2ql12（a3）（b3）（c3）（d3）M图M图2421223121()( )12232823848VCqlllqlqlEIEIll (c(c3 3) )(d(d3 3) )求求VC7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算ql22412ql28ql22ql
8、12P=1P=l/2Bl/2CAql/2q2ql12（a3）（b3）（c3）（d3）M图M图（d3）M图Structural Mechanics1l/2（d1）MP1l/2 例例2：求图示桁架的：求图示桁架的B、C 两结点的水平相对位移。两结点的水平相对位移。各杆的各杆的EA为常数，荷载、尺寸及刚度如图所示。为常数，荷载、尺寸及刚度如图所示。10kNEA2mCBAD2m例：求图示的内力，各杆的例：求图示的内力，各杆的EA为常数。为常数。Structural Mechanics7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算EA2m10kNCBAD2m图(a)10kNX1DCBA(b)10kN0
9、0001010-14.14NP(c)+1+1+1+1+122N1(d)X1=17.07-5+5+5-7.07N(e)10kN-5Structural Mechanics7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算 解解；（；（1）求原结构各杆轴力）求原结构各杆轴力 1）此行架内部有一个多余联系，）此行架内部有一个多余联系，是一次超静定。现将杆是一次超静定。现将杆BC切断，切断，代以多余未知力代以多余未知力X1，得基本结构，得基本结构（b）。）。 2）根据切口两侧截面沿杆轴方向相对位）根据切口两侧截面沿杆轴方向相对位移为零的条件，得典型方程式：移为零的条件，得典型方程式： 01111PX3）
10、分别求基本结构在）分别求基本结构在X1=1和荷载作用下各杆内力，和荷载作用下各杆内力，其结果标于两图（其结果标于两图（c）、（）、（d）各杆）各杆。 Structural Mechanics7-3 荷载作用下桁架、组合结构、排架力法计算荷载作用下桁架、组合结构、排架力法计算 10kN(b)X1BC4）求系数及自由项）求系数及自由项 222211219.314( 1)2( 1)2(2)2 2iNlEAEAEA 1296.568( 1) 10 2( 1) 10 2( 14.14) (2) 2 2iPiiPNNlEAEAEA 10kN00001010-14.14NP(c)+1+1+122N1(d)+
11、1+1X1=1Structural Mechanics7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算)(kN51111PX代入典型方程得：代入典型方程得：5）各杆的轴力可按下式计算：）各杆的轴力可按下式计算：PNXNN11 计算结果如图（计算结果如图（e），），“拉拉”为正，为正，“压压”为负。为负。10kN00001010-14.14NP(c)+1+1+122N1(d)+1+1X1=17.07-5+5+5-7.07N(e)10kN-5Structural Mechanics7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算(2) B、C 两结点的水平相对位移两结点的水平相对位移+1X1=1+
12、1+1+1+122N17.07-5+5+5-7.0710kN-52mD2mNBCAStructural Mechanics7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算 将原桁架各杆的轴力将原桁架各杆的轴力 N 与与 相乘求相对水平位移相乘求相对水平位移1N HBC11 521 ( 5)22( 0.707)2 220.7072 2102HP iBCNN lEAEAEAEAEAEA （）11 521 ( 5)22( 0.707)2 220.7072 2220P iBCNN lEAEAEAEAEA 缺口杆+110+1+12201Ni 例例2：铰结排架的荷载、尺寸及刚度如图（：铰结排架的荷载、尺寸
13、及刚度如图（a）。试试作作M图，并求柱顶水平位移。图，并求柱顶水平位移。解解：（：（1）画最后画最后M图。图。 排架的基本结构及排架的基本结构及 、MP如图（如图（c）、（）、（d）。）。建立力法方程：建立力法方程：1M01111PXq=2kN/mD（a)JEI2EIEAACH2m6mBq=2kN/m基本结构(b)X1X18822M1图X1=1(c)(e)23.725.931.9340.28M图kNm)161(f)28(d)464MP图kNm)97.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics1111134 2234PEI 96521111.PX(c)8
14、822X1=1M1图2m6m112122 6282233EI 173.333EI3223EI1218 682233 MP图kNm)64(d)4112112122 84 62864 6826 9223323332EI 514EI97.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics画最后弯矩图，如（画最后弯矩图，如（e）所示所示 PMXMM11165.93(e)X1=1M1图228(c)8644(d)MP图kNm)40.2823.72M图kNm)1.93CDABHJ0BCADBAABMMMM2 ( 2.965)41.93()JDJAMM kN m)(.).(m
15、kN28406496528DJM2 ( 2.965)05.93()HBHCMM kN m8 ( 2.965)023.72()CHM kN m965. 21X7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics 以图（以图（e）为荷载弯矩图，为荷载弯矩图，以（以（f）图为单位弯矩图，图乘：图为单位弯矩图，图乘：（2）求柱顶水平位移。）求柱顶水平位移。21215.9323.7223.725.93331122 25.9323125317(16 262)2823BHEIEIEI B182(f)M图kNm)40.281.93165.9323.72(e)x1x17.6
16、超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics例例3 图图(a)刚架，其最后弯矩图已经求出。求此刚架刚架，其最后弯矩图已经求出。求此刚架D点的水平点的水平位移位移 和横梁中点和横梁中点K的竖向位移的竖向位移 。 HDVK6m6mq=7kN/m2EI3EI2EIDABCK14.414.423.457.630.631.5M图kNm)M1图Pi =16M1图Pi =16（b） （c） 解：（解：（1）画单位弯矩图（）画单位弯矩图（b）、（）、（c）、）、(d) （2）将（）将（b）与（与（c）相图乘求相图乘求D点的水平位移点的水平位移 121113.4(30.623
17、.4)()23316 62HDEIEI （c） 7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics6160Pi =1（c） （或（或（b）与（与（c）、（、（ c）图乘图乘6m6mq=7kN/m2EI3EI2EIDABCK14.414.423.457.630.631.5M图kNm)（a） （b） （3）将（将（b）与（与（d）与图与图乘以求乘以求E的竖向位移的竖向位移 6mPi =11.5KPi =133（d） 114.423.4326.7511( ).5 62VKEIEI 7.6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算（d） Structural Me
18、chanicsM1图Pi =133（d） Pi =133（d） （或（或（b）与与 （d）、 （d ） 、 （d ）与图乘），与图乘），M图B28ql22ql14AC例例4：已知图示刚架最后弯矩图。求刚架：已知图示刚架最后弯矩图。求刚架B点的转角点的转角B。 （b） 原结构AllBCCAMi =1B解：（解：（1）若选（）若选（c）为虚设单位状态，为虚设单位状态，则要画超静定结构的弯矩图。则要画超静定结构的弯矩图。 （2）若选）若选 (d) 为虚设单位力状态为虚设单位力状态，3221()56122841112iPBqqlElIlqlEI( )（c） B1CAMi =17.6 超静定结构超静定结
19、构的位移计算的位移计算（a） （d） Structural Mechanics（a） （b） 原结构AllBCM图B28ql22ql14ACBMi =1A1( )（e） （3）若选）若选 (e) 为虚设单位力状态，为虚设单位力状态，EIqlqllqllEIBiP56)218321321421(13227-6 超静定结构超静定结构的位移计算的位移计算Structural Mechanics7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics三、最后内力图的校核三、最后内力图的校核1校核的必要性：校核的必要性：是结构设计的依据，要正确无误。是结构设计
20、的依据，要正确无误。2校核的依据：校核的依据：应满足静力平衡条件和位移条件。应满足静力平衡条件和位移条件。3平衡条件的校核：平衡条件的校核：取结构的整体或任何一部分作为脱离体。取结构的整体或任何一部分作为脱离体。考察它是否满足平衡条件。如不满足，说明内力图有误。考察它是否满足平衡条件。如不满足，说明内力图有误。 注：注：若仅用基本计算方法而得内力图，是完全可只用平若仅用基本计算方法而得内力图，是完全可只用平衡条件来核校。但画内力图有的采用了叠加法，有的利用了平衡条件来核校。但画内力图有的采用了叠加法，有的利用了平衡来画的，故仅用平衡条件校核内力图是不够的。衡来画的，故仅用平衡条件校核内力图是不
21、够的。4变形条件的校核变形条件的校核 在支座处：支座沉陷等变形是否属实，即求指定处的位在支座处：支座沉陷等变形是否属实，即求指定处的位移与已知的位移相等。可将基本结构的单位弯矩图与原结构的移与已知的位移相等。可将基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘，看所得结果是否与原结构实际位移相符合。最后弯矩图相乘，看所得结果是否与原结构实际位移相符合。7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics5研究对象：取结构的的整体或任一部分研究。研究对象：取结构的的整体或任一部分研究。6计算步骤：计算步骤：用静力平用静力平衡条件检查衡条件检查由最后内力
22、图由最后内力图绘横梁、柱、结绘横梁、柱、结点的受力图点的受力图列静力平衡列静力平衡方程进行校核方程进行校核列横梁、柱的列横梁、柱的力的投影方程力的投影方程列结点的列结点的力矩方程力矩方程用变形用变形条件来检查条件来检查建立虚设力状建立虚设力状态作其内力图态作其内力图图乘计算支座或指图乘计算支座或指定处的位移属实否定处的位移属实否例例5 刚架的最后弯矩图、剪力图、轴力图如图刚架的最后弯矩图、剪力图、轴力图如图 。试。试用静力平衡条件检查内力图正确否。用静力平衡条件检查内力图正确否。AP=200kNE2m4m2mDCB4m6015.230M(kNm)20020401003.711.322.5147
23、.5N(kN)22.5125157511.3V(kN)（a） （c） （d） （b） 7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics6015.230M(kNm)20020401003.711.322.5147.5N(kN)22.5125157511.3V(kN)（c） （d） （b） 7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 ABCP=200kN3.7kN75kN15kN11.3kN22.5kN147.5kN1006040单位（kNm）2m2m4mStructural Mechanics解：（解：（1）据所给最后弯矩图、剪
24、力图、轴力图，绘出）据所给最后弯矩图、剪力图、轴力图，绘出横梁所受外载、剪力、轴力作用下的受力图，结点横梁所受外载、剪力、轴力作用下的受力图，结点B所所受的力矩图。如（受的力矩图。如（e）示示ABCP=200kN3.7kN75kN15kN11.3kN22.5kN147.5kN1006040单位（kNm）2m2m4m （2）列平衡方程，对结构进行平衡条件的校核）列平衡方程，对结构进行平衡条件的校核 03.71511.3075200147.522.500XY横梁： 故，由故，由 静力平衡条件检查内力图后，内力图是正确的。静力平衡条件检查内力图后，内力图是正确的。 060401000:BmB结点（e
25、）7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics解：（解：（1）画出单位弯矩图（）画出单位弯矩图（c）。）。 故，由位移条件检查内力图后，内力图是正确的。故，由位移条件检查内力图后，内力图是正确的。 Aa原结构aBC22aPEI12EI1883Pa15Pa88Pa4M图M1图aPi =1A求H（a） （b） （c） （2）将（）将（b）与（与（c）与图乘求：与图乘求： HA02)421()88153188332(2(213883211aaPaaPaPaaEIEIaPaaHA7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Stru
26、ctural Mechanics例例6 刚架的最后弯矩图如图。试采用变形条件来检查弯刚架的最后弯矩图如图。试采用变形条件来检查弯矩图正确否矩图正确否7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics四、校核工作分阶段进行：四、校核工作分阶段进行：(1)初期：初期：基本结构是否几何可变；基本结构是否几何可变；结构的尺寸、荷载等数据是否有误。结构的尺寸、荷载等数据是否有误。(2)中期：力法计算过程中中期：力法计算过程中系数和自由项：系数和自由项： a.图乘前要校核荷载内力图、虚单位内力图；图乘前要校核荷载内力图、虚单位内力图； b.图乘时要注意正负
27、号。图乘时要注意正负号。求出未知力后要代回原方程，校核结果是有误求出未知力后要代回原方程，校核结果是有误(3)后期：最后内力图要总校核后期：最后内力图要总校核(要高度重视要高度重视) 用静力平衡条件校核；用静力平衡条件校核；用位移条件校核。用位移条件校核。7.7超静定结构最后内力图的校核超静定结构最后内力图的校核 Structural Mechanics总结总结:(1)求超静定结构的位移时，最好选取静定基本求超静定结构的位移时，最好选取静定基本结构的弯矩图与原结构的最后弯矩图图乘求位移。结构的弯矩图与原结构的最后弯矩图图乘求位移。 （2）最后弯矩图的校核，一般说来应联合对应）最后弯矩图的校核，
28、一般说来应联合对应用静力平衡和位移条件来进行。用静力平衡和位移条件来进行。 （3）校核工作绝不只仅仅在绘出最后内力图）校核工作绝不只仅仅在绘出最后内力图时才进行。分别要在初期、中期、后期进行。时才进行。分别要在初期、中期、后期进行。补充补充2 2作业作业：刚架的最后内力图如图：刚架的最后内力图如图, ,立柱的刚度立柱的刚度是横梁刚度的两倍。是横梁刚度的两倍。试检查内力图正确否。试检查内力图正确否。q=320kN/m1405kNq=320kN/m(d)(a)3mCC3m3mFBA100kN25kNFBA205kN100kNm(g)(e)275200B75D635435200(b)13mGED10
29、0kN335kNDGED3Mi3FB1GGD635435265100200CEM图(kNm)200A27575FB100100-+(d)100N图(kN)-780625+-33514052050025180-+100 -(c)V图(kN)(f)3mStructural Mechanics2EIEI2EIq=320kN/m1405kNq=320kN/m(d)(a)3mCC3m3mF3mBA100kN25kNFBA205kN100kNm(g)(e)275200B75D635435200(b)13mGED100kN335kNDGED3Mi3FB1GGD635435265100200CEM图(kNm)
30、200A27575FB100100-+(d)100-780625+-33514052050025180-+100 -(c)(f)V图(kN)N图(kN)q=320kN/m1405kNq=320kN/m(d)(a)3mCC3m3mF3mBA100kN25kNFBA205kN100kNm(g)(e)275200B75D635435200(b)13mGED100kN335kNDGED3Mi3FB1GGD635435265100200CEM图(kNm)200A27575FB100100-+(d)100-780625+-33514052050025180-+100 -(c)(f)V图(kN)N图(kN)q=320kN/m1405kNq=320kN/m(d)(a)3mCC3m3mF3mBA100kN25kNFBA205kN100kNm(g)(e)275200B75D635435200(b)13mGED100kN335kNDGED3Mi3FB1GGD635435265100200CEM图(kNm)200A27575FB100100-+(d)100-780625+-33514052050025180-+100 -(c)(f)V图(kN)N图(kN)
