1、第五章第五章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 常用统计分布常用统计分布 抽样分布抽样分布5.1 数理统计的基本概念数理统计的基本概念( (p104)p104)从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机向量的分布。即一个具有确定概率分布的随机向量的分布。即一个具有确定概率分布的随机变量或随机向量。机变量或随机向量。一、总体和一、总体和总体分布总体分布 在数理统计中，把所研究的对象的全体称为在数理统计中，把所研究的对象的全体称为总体总体。通常指研究对象的某项数量指标，一般记为通常指研究对象的某项数量指标，一般记为X
2、。 把总体的每一个基本单位称为把总体的每一个基本单位称为个体个体。如全体在校生的身高如全体在校生的身高X，某批灯泡的寿命，某批灯泡的寿命Y。对不同的个体，对不同的个体，X的取值是不同的。的取值是不同的。X是一个随机变量是一个随机变量或随机向量或随机向量。X或或Y的分布也就完全描述了我们所关心的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将X的可的可能取值的全体组成的集合能取值的全体组成的集合称为称为总体总体，或直接称，或直接称X为总为总体。体。X的分布的分布也就是也就是总体的分布总体的分布。二、样本和样本分布二、样本和样本分布(P1
3、05)从总体从总体X中抽出若干个个体称为中抽出若干个个体称为样本样本，一般记为一般记为(X1,X2,Xn)。n称为称为样本容量样本容量。而对这。而对这n个个体的一次个个体的一次具体的观察结果具体的观察结果(x1,x2,xn)是完全确定的一组数值是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察而改变。，但它又随着每次抽样观察而改变。(x1,x2,xn)称为称为样样本观察值本观察值。如果样本如果样本(X1,X2,Xn)满足满足(1)代表性代表性：样本的每个分量：样本的每个分量Xi与与X有相同的分布；有相同的分布；(2)独立性独立性： X1,X2,Xn是相是相互独立的随机变量，互独立的随机变量，则称样本
4、则称样本(X1,X2,Xn)为为简单简单随机样本随机样本。设总体设总体X的分布为的分布为F(x)，则样本则样本(X1,X2,Xn)的联合分的联合分布为布为),(),(221121nnnxXxXxXPxxxF)()()(2211nnxXPxXPxXPniinxFxFxFxF121)()()()(当总体当总体X是离散型时，其分布律为是离散型时，其分布律为,)(iipxXP, 2 , 1i样本的联合分布律为样本的联合分布律为)()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXPniixXP1)(当总体当总体X是连续型时，是连续型时， Xf(x)，则样本的联合密度为则样本的联合密度
5、为niinxfxxxf121)(),(三、统计推断问题简述三、统计推断问题简述（P107)总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总样本观察值，去推断总体的情况体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。体。例例5.1 设设),(2NX(X1
6、,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本，求求(X1,X2,Xn)的密度。的密度。(p106/例例2） 解解 (X1,X2,Xn)为为X的一个样本，故的一个样本，故),(2NXiniinxfxxxf121)(),(nixie12)(2221niixne122)(2121ni, 2 , 1例例5.2 设某电子产品的寿命设某电子产品的寿命X服从指数分布，密度函数服从指数分布，密度函数000)(xxexfx(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，求其密度函数。的一个样本，求其密度函数。解解 因为因为(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本，)(iixfXniinxfxxxf121)(),(其
7、他0), 2 , 1(01nixeinixi其他0), 2 , 1(01nixeixnnii例例5.3 某商场每天客流量某商场每天客流量X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，求其样本求其样本(X1,X2,Xn)的联合分布律。的联合分布律。解解exxXPx!)(, 2 , 1 , 0 xniinnxXPxXxXxXP12211)(),(niixexi1!nnxexxxnii!211四、统计量四、统计量（P110) 样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工加工”
8、和和“提炼提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此，将分散于样本中的信息集中起来，为此引入统计量的概念。引入统计量的概念。 (X1,X2,Xn)g(X1,X2,Xn)其中其中g(x1,x2,xn)是是(x1,x2,xn)的连续函数。的连续函数。如果如果g(X1,X2,Xn)中不含有总体分布的未知参数，称中不含有总体分布的未知参数，称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量。（不含未知参数的样本的函数不含未知参数的样本的函数）),(2NX例例2,未知，未知，(X1,X2,Xn)为为X的一个样本的一个样本11niiXXn，niiX12均为统计量均为统计量X，221iX不是统计量不是统计量若若已知，
9、已知，2未知，未知， (X1,X2,X5)为为X的一个样本的一个样本521,maxXXXX均为统计量均为统计量五、常用统计量五、常用统计量（P110）样本均值样本均值niiXnX11样本方差样本方差niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11样本标准差样本标准差niiXXnS12)(11样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11, 2 , 1knikikXXnM1)(1, 2 , 1k样本样本k阶中心矩阶中心矩一、分位数一、分位数5.2 常用统计分布常用统计分布（P114)定义定义:设设r.v.X的分布函数为的分布函数为F(x), 对给定的实数对给定的实数) 125/114(
10、;,图见的上侧分位数分布的水平为随机变量则称满足若实数PXFFXPF),10()225/114( ;,2/2/2/图见的双侧分位数分布的水平为随机变量则称满足若实数PXTTXPT阅读阅读P115/例例1二、二、 2分布分布（P115)1、定义：设、定义：设n个个r.v. X1,X2,Xn，XiN(0,1)，i=1,2,n则则)(2122nXnii称为称为自由度为自由度为n的的 2分布分布。结论结论：n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从的平方和服从 2(n)。 2分布的密度函数分布的密度函数f(y)曲线曲线0, 00,)(212)2/(212
11、/xxexxfxnnn2、性质、性质(1),)(2nEnD2)(2(2) 2分布具有可加性分布具有可加性: 若若),(21mX)(22nX且且X1,X2 相互独立，则相互独立，则X1+X2 2(m+n)例例5.4 ，NX),(2(X1,X2,X3)为为X的一个样本的一个样本求求232221XXX的分布。的分布。解解 因为因为(X1,X2,X3)为为X的一个样本，的一个样本，则则) 1 , 0( NXii=1,2,3)3(2232221XXX3 , 2 , 1),(2iNXi(3) 2分布的分位数分布的分位数则称若对给定实数,)(),10(22nP)211(5,)()(22Pnn可查附表分位数简
12、称为上侧的上侧分位数分布的水平为)(2n1、定义、定义 若若XN(0, 1)，Y 2(n)，X与与Y独立，则独立，则).(ntnYXT t(n)称为自由度为称为自由度为n的的t分布分布。三、三、 t分布（分布（P116）例例5.5 ),(2NX(X1,X2,X3)为为X的一个样本，求的一个样本，求23221)()()(2XXX的分布的分布),(:2NXi解) 1 , 0( NXi则i=1,2,3)2(22322XX且)2(223221tXXX) 1 , 0(1NX)2()()()(223221tXXX故t(n) 的概率密度为的概率密度为xnxnnnxfn,)1 ()2()21()(2122、基
13、本性质、基本性质(1) f(x)的图形的图形关于关于纵轴对称；纵轴对称；(2) f(x)的极限为的极限为N(0,1)的密度函数，即的密度函数，即 3、t分布的分位数分布的分位数xexxfxn,21)()(lim22则称若对给定实数,)(),10(ntTP)209(4,)()(Pntnt可查附表分位数简称为上侧的上侧分位数分布的水平为注注:)()()(1的对称性由密度函数xfntnt)(1nt)(nt例例2. 设总体设总体X服从服从N(0,1)，样本样本X1,X2，Xn来自总体来自总体X，试求常数试求常数c使统计量使统计量 服从服从t分布分布.25242321)(XXXXXc3/2ct(3) 服
14、从）（相互独立又因为服从服从服从服从解：3/2,)3()1 ,0(,)1 ,0(2)2,0(2524232121225242325,4321121XXXXXYYXXXYNXXXNXXYNXX四、四、 F分布分布（P118）1、定义、定义 若若X 2(m)，Y 2(n) ，X,Y独立，则独立，则),(nmFnYmXF 称为称为第一自由度为第一自由度为m ，第二自由度为第二自由度为n的的F分布分布，其概率密度为其概率密度为0, 00,)1)(2()2()/)(2()(2/ )(122/2xxxnmnmxnmnmxfnmmm例例5.6 (X1,X2,X5)为取自正态总体为取自正态总体X(0,2)的样
15、本，的样本，求统计量求统计量)(2)(32524232221XXXXX的分布的分布解解), 0(2NXi)5 , 2 , 1(i) 1 , 0(0NXXii),2(22221XX) 3(2252423XXX),3 , 2(322524232221FXXXXX)3 , 2()(2)(32524232221FXXXXX故2、 性质性质), 1 (),() 1 (2nFXntX则若),(1),()2(mnFFnmFF则若.),(1),() 3(1上侧分位数些分布表中没有列出的某此性质常用来求FnmFnmF.)4(分布的分位数F),(mnF则称若对给定实数,),(),10(mnFFP)214(6,),
16、(),(PmnFmnF可查附表分位数简称为上侧的上侧分位数分布的水平为5.3 抽样分布抽样分布一一、抽样分布：抽样分布：统计量的分布统计量的分布（p120)二、单正态总体的抽样分布二、单正态总体的抽样分布结论结论：总体：总体X的均值为的均值为，方差为方差为2，(X1,X2,Xn)是取自是取自X的一个样本，的一个样本， 与与S2 分别为该样本的分别为该样本的样本均值与样本方差，则有样本均值与样本方差，则有X222)(,)(,)(SEnXDXE) 1, 0( NnXU（2）定理定理1（P120）设设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，则有的样本，则有 （1） nNX2,定理定
17、理2 （P121）设设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，则有的样本，则有 (1) 1()(1) 1(2212222nXXSnniiX与与S2独立独立(2)定理定理3（P121）设设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，的样本，则则(1) 1(ntnSXT)()(122122nXnii(2)例例5.8 设总体设总体XN(10,32)，(X1,X2,X6)是它的一个样是它的一个样本，设本，设61iiXZ(1)写出写出Z所服从的分布；所服从的分布；(2)求求P(Z11)。解解: 因为因为(X1,X2,X6)是是XN(10,32)的一个样本，因此的一个样本，
18、因此XiN(10,32)，且且Xi相互独立，相互独立，i=1,2,6，所以所以)36 ,60(261NXZiiP(Z11)11(1ZP3660111)668. 6(11)668. 6(例例2 X服从正态分布服从正态分布 ,X1,X2X10是是X的样本，求的样本，求下列概率。下列概率。),(2N3.2)(10126.0)2(3.2)(10126.01221012221012XXPXPiiii）（1010222211102222110222212211(1) 0.26()2.30.26()2.31010 ( ,) ( ,) (0,1)() (10)10.26()2.32.6(10) 2310 (10) 23 (10) 2.6 0.iiiiiiiiiiXPXPXXXNXNNPXPPP99 0.01 0.98解解:97. 0005. 0975. 06 . 2) 9 (23) 9 (23) 9 (6 . 223) 110(6 . 23 . 2)(10126. 0) 9 () 110(),(),() 2 (2222222101222222PPPSPXXPSNXNXiii
