1、6.1 刚体的平行移动刚体的两种最简单的运动是刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动平行移动和定轴转动。以后可。以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。 1. 1. 刚体的平动刚体的平动在运动过程中，刚在运动过程中，刚体上任意一条直线体上任意一条直线都与其初始位置保都与其初始位置保持平行。具有这种持平行。具有这种特征的刚体运动，特征的刚体运动，称为刚体的平行移称为刚体的平行移动，简称为动，简称为平动平动。6.1 刚体的平行移动平动的实例平动的
2、实例 夹夹板板锤锤的的锤锤头头6.1 刚体的平行移动2. 2. 平动的特点平动的特点定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。的加速度也相等。yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O证明：证明：速度速度刚体平动时，刚体内任一线段刚体平动时，刚体内任一线段ABAB的长度和方向都保持不变。的长度和方向都保持不变。因而因而0BAdtdBArrBA因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运因此，研究刚体的平动，可以归
3、结为研究刚体内任一点的运动。动。6.1 刚体的平行移动故故BArdtdrdtd即即加速度加速度上式再对时间上式再对时间t t求导一次，即得求导一次，即得即，即，在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。相等。轨迹轨迹由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所有各点的有各点的轨迹形状完全相同轨迹形状完全相同。 BAvv BAaa 6.1 刚体的平行移动平动刚体上各点的速度平动刚体上各点的速度 平动刚体上各点的加速度平动刚体上各点的加速度 6.1 刚体的平行移动注意：平动刚
4、体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。由上述定理可见：由上述定理可见：综上所述，可以得出刚体平动的特点：综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点( (一般取为一般取
5、为质心质心) )的运动分析。的运动分析。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平动或直线平动。殊情形称为平面平动或直线平动。当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。的运动问题来处理。 这样，这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。来处理。 在刚体运动的过程中，若在刚体运动的过程中，若刚体上刚体
6、上或或其延伸部分上其延伸部分上有一条直线始有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动刚体的定轴转动，简称简称转动转动。该固定不动的直线称为。该固定不动的直线称为转轴转轴。6.2 刚体绕定轴的转动刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。 定轴转动实例定轴转动实例 如图，两平面间的夹角用如图，两平面间的夹角用表示，表示，称为刚体的称为刚
7、体的转角转角。6.2 刚体绕定轴的转动转角转角是一个代数量，是一个代数量，它确定了刚体的位置。它确定了刚体的位置。它的符号规定如下：它的符号规定如下：自自z z轴的正端往负端看，从轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用转向计算取负值。并用弧度弧度( (radrad) )表示。表示。当刚体转动时，角当刚体转动时，角j j是时间是时间t t的单值连续函数，即的单值连续函数，即( )f tj这就是刚体绕定轴转动的这就是刚体绕定轴转动的运动方程运动方程。6.2 刚体绕定轴的转动转角转角j j对时间的一阶导数，称为刚体的对
8、时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，瞬时角速度，用用w w表示表示: :ddtjwj 角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。当转角转角的变化。当转角随时间而增大时，随时间而增大时，为正值，反之为负为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。角速度是代数量，角速度是代数量，从轴的正端向负端看，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。速度取正值，反之取负值。角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度角速度对时间的
9、一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母，用字母 表示，即表示，即22ddddttwjwj6.2 刚体绕定轴的转动角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/srad/s2 2 ( (弧度弧度/ /秒秒2 2) )表示。角加速度也是代数量。表示。角加速度也是代数量。 和和正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动加速转动。反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作刚体作减速转动减速转动。但减速转动只到但减速转动只到=0=0时为
10、止。刚体由静止开始的转动都是加时为止。刚体由静止开始的转动都是加速转动。速转动。6.2 刚体绕定轴的转动工程上常用转速工程上常用转速n n来表示刚体转动的快慢。来表示刚体转动的快慢。n n的单位是转的单位是转/ /分分(r/min)(r/min)，与与n n的转换关系为的转换关系为20.16030nnnw匀变速转动公式匀变速转动公式0tww20012ttw22002 ()ww 当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R R等于该点等于该点到
11、轴线的垂直距离。到轴线的垂直距离。sRj动点速度的大小为动点速度的大小为ddddsvRRttjw6.3 转动刚体内各点的速度和加速度由于点由于点M M绕点绕点O O作圆周运动，用自然法表示。点作圆周运动，用自然法表示。点M M的弧坐标为的弧坐标为即：定轴转动刚体内任一点的速度即：定轴转动刚体内任一点的速度, , 等于该点的转动半径与刚体角速度等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。的乘积。式中式中v v与与两者正负相同。故速度是沿着点两者正负相同。故速度是沿着点M M的轨迹圆周的切的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。线，指向转动前进的一方。 即：即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该
12、点到轴转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。方。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度6.3 转动刚体内各点的速度和加速度点点M M的加速度有切向加速度和法向加速度。的加速度有切向加速度和法向加速度。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度法向加速度为：法向加速度为：即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度( (又称向心加速度又称向心加速度) )的的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，
13、它的方向与速度垂直并指向轴线。乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。222)(wwRRRvan即：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。它的方向由角加速度的符号决定，当它的方向由角加速度的符号决定，当 是正值时，它沿圆周是正值时，它沿圆周的切线，指向角的切线，指向角的正向；否则相反。的正向；否则相反。切向加速度为：切向加速度为：()dvd RdaRRdtdtdtww如果如果与与 同号，角速度的绝对同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这值增加，刚体作加速转动，这时点
14、的切向加速度时点的切向加速度a a与速度与速度v v的指向相同。的指向相同。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度如果如果与与 异号，刚体作减速转异号，刚体作减速转动，动，a a与与v v的指向相反。的指向相反。(1) (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。点的全加速度为：点的全加速度为：(2) (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角与半径间的夹角都有相同的值。都有相同的值。2224naaaRw2ta
15、nnaaw6.3 转动刚体内各点的速度和加速度但是，全加速度但是，全加速度a a与转动半径与转动半径R R的夹角，却与转动半径无关。的夹角，却与转动半径无关。即：即：在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径的夹角的夹角都相同。都相同。平面上各点加速度的分布如图。平面上各点加速度的分布如图。6.4 轮系的传动比、齿轮传动、齿轮传动啮合条件啮合条件1122ABRvvRww传动比传动比12212211RziRzww 121221RiRww即：即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反
16、比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故121221zizww即：即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。齿数成反比。6.4 轮系的传动比6.4 轮系的传动比、带轮传动、带轮传动1122AABBrvvvvrww121221rirww齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知转向。如图，已知r r1 1、r r2 2、1 1、 1 1，求求2 2、 2 2。 解：因啮合点无相对滑动，所以解：因啮合点无相对滑动，所
17、以由于由于于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2a1a22121,aavv222111,wwrvrv222111,rara例例6-16-1例例6-26-2一半径为一半径为R=0.2mR=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O O的转动方的转动方程程为为 ，单位为弧度。求单位为弧度。求t=1st=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M M的速度和加速度。如的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A A，求当求当t=1st=1s时，物体时，物体A A的速度和
18、加速度。的速度和加速度。tt42j解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为42 tdtdjw222ddt 当当t=1st=1s时，则为时，则为srad /2w22/rad s 因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M M的速度和加速度为的速度和加速度为smRv/4 . 0w20.4 /aRm s22/8 . 0smRanw方向如图所示。ARMOvana M M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为ARMOanaa22222/894. 0)8 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgw如图所示，如图所示，现在求物体现在求物体A
19、 A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例例6-36-3000,6/rad sw在刮风期间，风车的角加速度在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角，其中转角以以radrad计。若初瞬时计。若初瞬时 ，其叶片半径为，其叶片半径为0.75m 0.75m 。试求。试求叶片转过两圈（叶片转过两圈（ ）时其顶端）时其顶端P P点的速度。点的速度。 20.2/rad s4 radP Pdddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.
20、2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwww解：解：下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求传动比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z则有：1313300086 / min34.8nnri例例6-46-46-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度. .以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量kww角加速度矢量ddddkktt
21、wwdtdjww大小角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。指向用右手螺旋法则。6-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度. .以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度ddddvarttwddddrrttwwrvwtartnaasinrRvvrwww大小方向 右手法则速度加速度M点切向加速度()navrwwwM点法向加速度刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为5sin5cos5 322ttijkw求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。10 31510ijk 5sin5cos5 3220
22、23ijkttvrw解:ddarvrvtwww1575 3200752ijk 例例6-56-5解：角速度矢量nwwM点相对于转轴上一点M0的矢径 010,7,112,1,38,6,8MMrrr0.60.480.6486868ijkvrn rjkwww0.6 0.48 0.64n 其中（，）某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小=25rad/s 。求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。w例例6-66-6已知钢板与滚子之间无相对滑动，滚子直径d=0.2m；转速n=50r/min，求；钢板的速度和加速度，并求滚子与钢板接触点的加
23、速度。钢板加速度滚子上M点的加速度 22/742. 22, 0smdvaamnMMsmdnvvvMM/524. 02202解：设钢板上的M点与滚子上的M点相接触，钢板平动速度 0dtdva例例6-76-7物块B以匀速vO沿水平直线移动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱b上，如图所示。已知物块高度为h，试求杆OA的转动方程、角速度和角加速度。 解解 取坐标如图4，x轴以水平向右为正，角则自y轴起顺时针转向为正。取x=0的瞬时作为时间的计算起点。在任意瞬时t，物块侧面ab的坐标为x。按题意有x=vOt。htvhxOjtan杆OA的转动方程为 htvOarctanj杆的角速度 21htvh
24、vdtdOOj即 222tvhhvOOw杆的角加速度是 22232tvhthvdtdaOOw由三角形Oab得例例6-86-8所示为一带式输送机。已知：主动轮的转速n1为1200r/min，齿数Z1=24，齿轮和用链条传动，齿数各为Z3=15，Z4=45。轮V的直径d5=46cm，如希望输送带的速度约为v=2.4m/s，试求轮应有的齿数Z2. 0解解 按图示的传动关系有 34431221,ZZnnZZnn由于n2=n3，314241ZZZZnn或 443112ZnZZnZ 因此得例例6-96-9因为输送带的速度等于轮V轮缘上点的速度，而轮V的转速等于轮的转速，所以有 30222454555wwndddv或 5460dvn将n4代入Z2的表达式中，得 3 .96240604614. 3451524120060543112vdZZZnZ但齿轮的齿数必须为整数，因此可选取Z2=96。这时输送带的速度为2.41m/s，满足每秒约为2.4m/s的要求。
