1、（file:JPYEN）第第 2 章章 GARCH 模型模型族族 1 问题的提出问题的提出 2 ARCH模型模型 3 GARCH 模型模型 4 IGARCH(1,1)模型模型 5 T GARCH 模型模型 6 ABSGARCH /ARCH 模型模型 7 EGARCH 模型模型 8 GARCH-M，ABSGARCH-M 和和 EGARCH-M 模型模型 9 PARCH 模型模型 10 LM-GARCH 模型模型 11 FIGARCH（分整（分整 GARCH）模型）模型 12 FIEGARCH（分整分整 EGARCH）模型模型 13 案例分析案例分析 第第 2 章章 GARCH 模型模型族族 2.
2、1 问题的提出问题的提出 前面前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而 ARCH，GARCH 模型预测的是被解模型预测的是被解释变量的方差。释变量的方差。ARCH 模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。 以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差误差项方差的变化随解释变量的增大而增项方差的变化随解释变量的增大而增大。大。但利率，汇率，股票但利率，汇率，股票价格价格指数指数的的收益收益率率等时间序列中存在的异方差却不属于递增型等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差
3、。异方差。 80100120140160200400600800100012001400JPY (1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000) 日元兑美元汇率序列日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 日元兑美元汇率差分序列（收益）日元兑美元汇率差分序列（收益） D(JPY) 2.1 问题的提出问题的提出 这种序列的特征是这种序列的特征是 （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出）按时间观察，表现出“波动集群波动集
4、群”（ volatility clustering）特征，即方差在一）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是）从取值的分布看表现的则是“ 高峰厚尾高峰厚尾”（ leptokurtosis and fat-tail）特征，）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。 -8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000) 高高峰厚尾峰厚尾分布曲线分布曲线 正态
5、正态分布曲线分布曲线 2.1 问题的提出问题的提出 描述这类关系的模型称为描述这类关系的模型称为自回归条件异方差自回归条件异方差（ARCH）模型）模型（Engle 1982 年提出）。年提出）。 使用使用 ARCH 模型的理由是：模型的理由是： （1）通过预测）通过预测xt或或 ut的变化量的变化量评估股票评估股票的的持有或交易对收持有或交易对收益所带来的风险有多大益所带来的风险有多大，以及，以及决策的代价有多大决策的代价有多大； （2）可以预测）可以预测 xt的置信区间，它是随时间变化的；的置信区间，它是随时间变化的； （3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计）对条件异方差进行正
6、确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。量更具有有效性。 2.2 ARCH 模型模型 2.2.1 ARCH 模型的定义模型的定义 若一个平稳随机变量若一个平稳随机变量xt可以表示为可以表示为AR(p) 形式，其随机误差项形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述，阶分布滞后模型描述， xt = b b0 + b b1 xt -1 + b b2 xt -2 + + b bp xt - p + ut (2.1) s st2 = E(ut2) = a a0 + a a1 ut -1 2 + a a2 ut -22 + + a aq ut - q2 (2.
7、2) 则称则称ut 服从服从q 阶的阶的ARCH过程过程，记作，记作ut ARCH (q)。 其中其中(2.1) 式称作式称作均值方程均值方程，(2.2) 式称作式称作ARCH方程方程。 2.2 ARCH 模型模型 2.2.1 ARCH模型的定义模型的定义 均值方程，均值方程，xt = b b0 + b b1 xt -1 + b b2 xt -2 + + b bp xt - p + ut 应满足如下条件。为保证平稳性，特征方程应满足如下条件。为保证平稳性，特征方程 1 - b b1 L - b b2 L2 - - b bp Lp = 0 的根应在单位圆之外。的根应在单位圆之外。 xt 的的条件
8、期望条件期望是是 E(xt | | x t -1, , x t - p) = b b0 + b b1 xt -1 + b b2 xt -2 + + b bp xt - p xt 的的无条件期望无条件期望（T 时）时）是是 E(xt) = pbbb-L101 2.2 ARCH 模型模型 2.2.1 ARCH 模型的定义模型的定义 （1）ARCH 方程方程，s st2 = E(ut2) = a a0 + a a1 ut -1 2 + a a2 ut -22 + + a aq ut - q2 应满足如下条件应满足如下条件（ut2 的非负性的非负性） ： a a0 0, a ai 0, i = 1,
9、2, q 当全部当全部a ai = 0, i = 1, 2, , q 时，时， 条件方差条件方差s st2 = a a0。因为。因为 方差方差是非负的，所以要求是非负的，所以要求a a0 0。 （2）为保证为保证s st2是一个平稳过程，是一个平稳过程，ARCH 方程方程的的特征方程特征方程应满足应满足 1 - a a1 L - a a2 L2 - - a aq Lq = 0 的根都应在单位圆之外。的根都应在单位圆之外。 （3）对对a ai, i = 1, 2, , q 的的另一个约束是另一个约束是0 a a1 + a a2 + + a aq 1。 对对 ARCH 方程方程求期望，求期望， s
10、 st2 = a a0 + a a1 E(ut -1 2) + a a2 E(ut -22) + + a aq E(ut - q2) = a a0 + a a1 s st -1 2 + a a2 s st -22 + + a aq s st - q2 当当 T 时，时，s s2=a a0+a a1s s2+a a2s s 2 + + a aq s s 2。则无条件则无条件方差方差s s2 =-qii111aa a0 可见可见若保证若保证s st2是一个平稳过程，应该有约束是一个平稳过程，应该有约束0 (a a1 + a a2 + + a aq ) 1。 2.2 ARCH 模型模型 2.2.2
11、ARCH 模型的极大似然估计模型的极大似然估计 ARCH 模型经常应用在回归模型中。模型经常应用在回归模型中。 yt = xt b b + ut 其中其中 b b = (b b0 b b1, , b bk -1), xt = (1，x1, , xk -1)（xt 的分量也可以包括的分量也可以包括 yt 的滞后变量），的滞后变量）， ut ARCH (q)。为计算方便，假定已知为计算方便，假定已知yt , xt 的的 T + q 组观组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T。ut ARCH (q)可以表示为可以表示为 ut = thvt 其其中中 vt
12、IID(0, 1)，vt 与与 xt 相互独立，相互独立，ht=a a0+a a1 ut -12+a a2 ut -22 + +a aq ut - q2，所以有所以有s st2 = E(ut2) = ht，E(ut) = 0。yt服从正态分布，概率密度函数为服从正态分布，概率密度函数为 f ( yt | | xt, a ai, b b) = thp21exp (-ttthy2)(2b bx-) 其中其中 ht = a a0+a a1 (yt-1-xt-1b b ) 2+a a2 (yt-2-xt - 2b b ) 2 + +a aq (yt - q-xt - qb b ) 2 2.2 ARCH
13、 模型模型 2.2.2 ARCH 模型的极大似然估计模型的极大似然估计 用参数用参数 b b 和和 a a = (a a0 a a1 a a2 a aq ) 组成参数向量组成参数向量g g = a ab b， 模型模型 yt = xt b b + ut ut = thvt ht = a a0 + a a1 ut -1 2 + a a2 ut -22 + + a aq ut - q2 的对数似然函数是的对数似然函数是 log L(g g) = =Tt 1logf(yt | | xt, g g) = -2Tlog (2p p) -=Tt 1log21(ht) -=-Ttttthy12)(21b b
14、x 2 ARCH模型模型2.2 ARCH模型的极大似然估计模型的极大似然估计（Engle（1982）提出）提出）2.2 ARCH 模型模型 2.2.3 ARCH 模型模型的的检验检验（LM、F LR、和和 Q 检验检验） 方法方法 1：ARCH 的的 LM 检验。检验。 建立原假设建立原假设 H0：a a1 = a a2 = = a aq = 0 （不存在（不存在 ARCH） H1：a a1, a a2 , , a aq 不全为零不全为零 在原假设成立条件下，在原假设成立条件下，OLS 估计量是一致的、有效的；估计量是一致的、有效的； 在备择假设成立在备择假设成立条件下，条件下，OLS 估计估
15、计量是一致的，但不是有效的量是一致的，但不是有效的。 先介绍使用先介绍使用 LM 统计量检验统计量检验 H0。因为计算。因为计算 LM 统计量的值，只需估计原统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是假设成立条件下的方程。具体步骤是 估计估计 yt = xt b b + ut，求，求tu ，计算，计算tu 2。 估计辅助回归式估计辅助回归式 tu 2 = a a0 + a a1 21-tu+ a a2 tu -22 + + a a qtu - q 2 + vt 用第用第 3 步得到的可决系数步得到的可决系数 R2构成统计量构成统计量 LM = T R 2。其中。其中T 表示辅助表示
16、辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有回归式的样本容量。在原假设成立条件下有 LM = T R 2 c c2 (q) 若若 LM c c2a a(q)，接受，接受 H1。 注意注意：辅助回归式中要有常数项：辅助回归式中要有常数项a a0。 2.2 ARCH 模型模型 2.2.3 ARCH模型模型的的检验检验（LM、F LR、和和 Q 检验检验） 方法方法2：自回归条件异方差的自回归条件异方差的F 检验。检验。 建立原假设建立原假设 H0：a a1 = a a2 = = a aq = 0 （不存在（不存在ARCH） H1：a a1, a a2 , , a aq 不全为零不全为零 估计估计yt
17、 = xt b b + ut，求，求tu ，计算，计算tu 2。 用用tu 2估计估计 2 个辅助回归式个辅助回归式，并计算残差平方和，并计算残差平方和SSEr、SSEu。 tu 2 = a a0 + vt （约束模型约束模型，同方差），同方差） tu 2=a a0+a a121-tu+a a2tu -22 + +a a qtu - q2+vt（非约束模型非约束模型，存在，存在ARCH） 用用 SSEr、SSEu构造构造F 统计量，在原假设成立条件下有统计量，在原假设成立条件下有 F = ) 1/(/ )(-qTSSEqSSESSEuur F (q, T- q -1) 其中，其中，SSEr、S
18、SEu分别表示由分别表示由约束约束、非约束模型非约束模型得到的残差平方和。得到的残差平方和。 若若 F Fa a(q, Tq-1)，接受，接受H1。 如果结论是应该建立如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数模型的阶数q进行检验。对此可以采用进行检验。对此可以采用t 检验。检验。 2.2 ARCH 模型模型 2.2.4 检验是否存在检验是否存在 ARCH 效应的效应的 EViews 操作操作（案例日元（案例日元对对美元汇率的建模研究）美元汇率的建模研究） 1995.1-2000.8 日元兑美元汇率值（日元兑美元汇率值（1427 个）序列（个）序列（J
19、PY）见图）见图。极小值为。极小值为81.12 日元，极大日元，极大值为值为 147.14 日元。其均值为日元。其均值为112.93 日元，标准差是日元，标准差是13.3 日元。日元。 1995 年年 4 月曾一度达到月曾一度达到 81.12日元兑日元兑 1 美元。美元。1998 年年 8 月达到月达到 147.14 日元兑日元兑 1 美元。美元。JPY 显然是一个非平稳序列。显然是一个非平稳序列。 JPY 的差分序列的差分序列 D(JPY)表示收益表示收益。因为。因为D(JPY)是平稳序列，用是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。建立时间序列模型。 801001201401602004
20、00600800100012001400JPY (1995-2000) -8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000) 图 9.1 日元兑美元汇率（JPY）时间序列 图 9.2 D JPY 时间序列 JPY 的相关图与偏相关图的相关图与偏相关图 D(JPY) 的相关图与偏相关图的相关图与偏相关图 方法方法1：通过：通过Q检验考检验考察察AR(3) 模型中是否存模型中是否存在自回归条件异方差。在自回归条件异方差。 2.2.4 检验是否存在检验是否存在ARCH效应的效应的EViews操作（案例日元操作（案例日元对对美元汇率的建模研究）美
21、元汇率的建模研究） 方法方法 2：ARCH的的 LM 检验检验。 在均值方程在均值方程AR(2)估计窗口，选估计窗口，选ARCH的的 LM 检验，检验，用用 1 阶检验式检验，阶检验式检验， tu 2 = 0.6850 + 0.253521-tu (9.4) (9.9) R2 = 0.0643, T = 1421, F =)/(/ )(kTSSEmSSESSEuur-= 52.97)21422/(345.95191/ )345.951910.10173(=-，残差为残差为ARCH过程。过程。 TR2 = 1422 0.0643 = 91.4 c c20.05 (1) = 3.8，残差为残差为A
22、RCH过程。过程。 用用 2 阶自回归检验式检验，阶自回归检验式检验， 结论同样是残差为结论同样是残差为ARCH过程。过程。 2.2.4 检验是否存在检验是否存在ARCH效应的效应的EViews操作（案例日元操作（案例日元 对对美元汇率的建模研究）美元汇率的建模研究） 方法方法3、4：自回归条件异方差的：自回归条件异方差的F 检验检验和和 LR检验检验。 用用残差平方序列残差平方序列1 阶自回归检验式做参数约束的阶自回归检验式做参数约束的F 检验检验和和 LR检验检验（命令：（命令：sqres(-1)） 。 F =)/(/ )(kTSSEmSSESSEuur-=)21422/(345.9519
23、1/ )345.951910.10173(-= 97.5 F0.05 (1, 1422-2) = 3.8， 接受接受H1，残差为，残差为ARCH过程。过程。 LR = - 2logL(b,2s)-log L(b,2s)= - 2(-3416.753-(-3369.528) = 94.45 用用残差平方序列残差平方序列2阶自回归检验式做参数约束的阶自回归检验式做参数约束的 F检验检验，结论同样是残差为，结论同样是残差为 ARCH过程。过程。 2.3 GARCH 模型模型 2.3.1 GARCH模型定义模型定义 ARCH (q) 模型是关于模型是关于s st2的分布滞后模型。为避免的分布滞后模型。
24、为避免ut2的滞后项的滞后项过多，可采用过多，可采用加入加入s st2的滞后项的滞后项的方法的方法（回忆可逆性（回忆可逆性概念概念） 。对。对于于 ARCH (q)式式，可给出如下，可给出如下形式，形式， s st2 = a a0 + a a1 ut 1 2 + l l1 s st -12 此模型称为此模型称为广义自回归条件异方差模型广义自回归条件异方差模型 ，用，用 GARCH (1, 1) 表示。其中表示。其中ut 12称为称为 ARCH项项，s st -12称为称为 GARCH项项。s st2表示表示 ut的条件方差。的条件方差。 上上式应满足的条件是式应满足的条件是 a a0 0, a
25、 a1 0, l l1 0。 当当 0 l l1 0, a ai 0, i = 1, 2, q, l li 0, i = 1, 2, p 0 (=qii1a+=pii1l) 1 对于对于 GARCH模型模型，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是 Eyt | | xt = xt b b Varyt | | xt = s st2 对对 GARCH式两侧求期望，并令式两侧求期望，并令T ，则，则 ut的无条件方差表达式是的无条件方差表达式是 s s2 =-piiqii1101laa 2.3 GARCH 模型模型 2.3 . .2 GARC
26、H模型的检验模型的检验 当原假设当原假设 H0是是 ARCH(0) 时，显然时，显然备择假设备择假设 H1有两个。有两个。一个是一个是ARCH(r)，一个是，一个是 GARCH(r, 0)。若原假设。若原假设 H0是是 ARCH(1)，则，则备择假设备择假设 H1可以是可以是 ARCH(1+r)，也可以是，也可以是 GARCH(r,1)。 同理若原假设同理若原假设 H0是是 ARCH(q)，则备择假设，则备择假设 H1可以有两个。可以有两个。ARCH(q + r)，和，和 GARCH(r,q)。 LM 统计量无法区别这两个备择假设。但这并不是说，不该做统计量无法区别这两个备择假设。但这并不是说
27、，不该做 LM检验。而是说，在实际应用中，备择假设既可以是检验。而是说，在实际应用中，备择假设既可以是ARCH，也可，也可以是以是 GARCH。对于。对于q 值很大的值很大的 ARCH 模型模型，建议使用，建议使用GARCH模型模型。 在实际应用中，在实际应用中，GARCH(1,1) 和和 GARCH(2,1)一般足可以满足对一般足可以满足对自回归条件异方差的描述。自回归条件异方差的描述。 2.4 IGARCH(1,1)模型模型 对于对于 ARCH(p) 模型模型和和 GARCH(p,q) 模型模型，在实际应用中，条件，在实际应用中，条件 0 =qii1a 1 （保证可以转换成无限阶的（保证可
28、以转换成无限阶的GARCH 过程）过程） 0 (=qii1a+=pii1l) 1。例如例如 Engle- Chowdury（1992）对）对 IBM 收益率序列估计时，得如下结果，收益率序列估计时，得如下结果， ty = 0.00056 + tu ，2ts=0a+ 0.05321-tu + 0.95321-ts 其中其中1a+1l= 0.053 + 0.953 = 1.003 1。 Engle 证明如果证明如果1a+1l 1，冲击（，冲击（ shock）对条件方差的影响是永远的。对条件方差的影响是永远的。 2.5 TGARCH 模型模型 2.5.1 TGARCH 模型模型定义定义 TGARCH
29、 模型模型，又称，又称门限门限（Threshold）ARCH 模型模型。 s st2 = a a0 + a a1 ut 1 2 + g g ut 1 2 dt 1 + l l1 s st -12 dt = 0 表示利好消息，表示利好消息，ut 0, | | g gi | | 1, i = 1, 2, , r。对于对于 i r, 有有g gi = 0。对对 r 的的约束约束是是 r p。参数参数g gi用来用来考查考查1 r 期期的的非非对称性对称性。如果是如果是对称对称的的，对对于于全部的全部的i，有有g gi = 0。 注意注意： （1）如果如果k = 2，g gi = 0， （对于对于全部
30、的全部的i） 。PARCH模型模型退退化化为为 GARCH模型模型。 （2）如果如果g gi 0，说明说明系统系统存在存在杠杠杆杆效应效应。 2.10 LM-GARCH (Long Memory ARCH，长记忆长记忆 GARCH) 模型模型 ut = vt s st vt IID(0,1) s st2 = =Niiti12sw 其中其中w w i是波动权重，是波动权重，=Nii1w=1，包括了包括了 N 种种 GARCH， s sit2 = s s 2 (1- a ai - b bi) + a ai ut-12 + b bis sit-12 s s 2是无条件方差，常数。是无条件方差，常数。
31、 LM-GARCH 的特点是合并了的特点是合并了N 种种 GARCH 功能。虽然每种功能。虽然每种GARCH 的自相关函数是指数衰减的，但的自相关函数是指数衰减的，但 N 种种 GARCH 仍描述了仍描述了大范围的相依性大范围的相依性。 2.11 FIGARCH (Fractional Integrated GARCH，分整分整 GARCH) 模型模型 F F(L) (1- L)d ut2 = Q Q(L)vt L 是滞后算子，是滞后算子，vt是白噪声，是白噪声，F F(L)、Q Q(L)是特征多项式。是特征多项式。d 是分数。把是分数。把方差模型定义成如上形式。方差模型定义成如上形式。 显然
32、这是一个关于显然这是一个关于 ut2的的 ARFIMA 模型。模型。FIGARCH模型中引入了长记忆性。模型中引入了长记忆性。 9.12 FIEGARCH（Fractional Integrated Exponential GARCH ， 分整分整 EGARCH）模型）模型 Ln(s st2) = w w + F F(L)-1 (1- L) - d 1+Q Q(L) f (ut-1) f(ut) = q q ut+g g| ut |-E| ut | | Ef(ut) = 0 | | d | 0.5 时时，FIEGARCH 具有二阶平稳性和可逆性。此模型既具有具有二阶平稳性和可逆性。此模型既具有
33、EGARCH 模型特点模型特点。负冲击似乎比正冲击更容易增加波动，又具有长负冲击似乎比正冲击更容易增加波动，又具有长记忆性。记忆性。 案例：日元对美元汇率的建模研究案例：日元对美元汇率的建模研究尝试的结果应该建立尝试的结果应该建立AR (3)、ARCH(7)模型。模型。EViews输出结果如下。输出结果如下。均值方程中之所以剔除了均值方程中之所以剔除了DJPYt-2项，是因为项，是因为DJPYt-2项的系数不再项的系数不再有显著性。有显著性。注意：均值方程伴有注意：均值方程伴有ARCH 方程方程后，均值方程中的某些项常常会后，均值方程中的某些项常常会失去显著性。失去显著性。在在Threshol
34、d窗口填窗口填1Model选择窗换成选择窗换成EARCH，Asymmetric选择窗填选择窗填1。表达式表达式ARCH-M term选择框里选选择框里选Std. Dev.。估计均值。估计均值GARCH模型。模型。（选（选s st2同样没有显著性）同样没有显著性）Model选择窗换成选择窗换成PARCHAsymmetric选择窗填选择窗填170809010011012013014015025050075010001250JPYFForecast: JPYFActual: JPYForecast sample: 1 1426Adjusted sample: 5 1426Included observations: 1422Root Mean Squared Error 0.959916Mean Absolute Error 0.662414Mean Abs. Percent Error 0.581702Theil Inequality Coefficient 0.004219 Bias Proportion 0.000016 Variance Proportion 0.000000 Covariance Proportion 0.999984024681025050075010001250Forecast of Variance谢谢.
