1、有限元分析的基本原理有限元与弹性力学的基本原理 之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。弹性力学的基本假设理想弹性体理想弹性体 物体是连续的 物体是完全弹性的 物体是均匀的 物体是各向同性
2、的 位移和形变是很小的弹性力学的分类平面问题的基本理论平面问题的基本理论直角坐标解答直角坐标解答极坐标解答极坐标解答温度应力温度应力空间问题的基本理论空间问题的基本理论 理论弹性力学理论弹性力学薄板理论薄板理论薄壳理论薄壳理论应用弹性力学应用弹性力学弹性体力学的基本概念简介弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形变有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。弹性体的拉伸和压缩形变一、正压力（拉伸压缩应力）SFn例如图示0 其中， 沿作用力截面的法线方向F二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式： 0l
3、l 0001bbbbb 其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ,横向形变后为 。0bb横向形变和纵向形变之比为泊松系数： 1当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：0 0三、胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比： Y0llYSFn 其中：Y 或E称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 四、拉伸或压缩的形变势能属于形变物体本身所有 VYEp221 V-弹性体体积.同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能： 2021 YEp回顾知识:弹性变形能 对于一维结构(拉压杆),在线弹性范围下,受力-变
4、形关系所包含的面积,数值上等于外力所做的功PEW dxEAxFdE2)(2dxEAxFEl2)(2在一小段dx上的变形能为：210PE对于空间三维体VdVU21)(2)()(212xlEAxFlxFdE一、剪切形变当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。 SF 其中：S为假想截面ABCD的面积，力F在该面上均匀分布。三、剪切形变lltg 特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示： 若 很小，则lltg 二、剪应力弹性体的剪切形变四、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：其中，N 为剪切模量，反
5、映材料抵抗剪切应变的能力。N通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：)( 12YN上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：Y 是杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力； 是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。几个不同特性的量是有联系的。 梁的弯曲 中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的 层。CC对于纯梁弯曲形变有：3121YbhR其中：R 和 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分别为梁的高度和宽度，为梁仅受的靠端部的力偶。lNRc24 杆的扭曲产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角 的关系： clNR24其中：R和 分
6、别为圆柱的半径和长度，N是剪切模量，式中c 是圆柱的扭转系数：l弹性力学可分为空间问题(3D)和平面问题(2D) 任何弹性体总是处于空间受力状态，因而任何实际问题都是空间问题。但是在某些情况下，空间问题可以近似地按平面问题处理。弹性力学平面问题可分为两类：平面应力问题和平面变形问题。两类问题有许多共同特点，合称为弹性力学平面问题。 （1）平面应力问题:如梁，由于梁的厚度很小，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴为均匀分布，因此可以认为沿z轴方向的应力分量等于零。这种问题称为平面应力问题。 （2）平面变形问题:如一圆形隧洞的横截面。由于隧洞的长度比直径大得多，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴
7、为均匀分布，因此可以认为，沿z轴方向的位移分量等于零。这种问题称为平面变形问题。区别:平面应力：平面应力： 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。平面应变：平面应变： 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。具体说来：具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXYOXY平面，那么只有正应力平面，那么只有正应力xx，yy，剪应力，剪应力xy(xy(
8、它们都在一个平面内它们都在一个平面内) )，没有，没有zz，yzyz，zxzx。平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXYOXY平面，则只有正应平面，则只有正应变变xx，yy和剪应变和剪应变 xyxy，而没有，而没有zz，yzyz，zxzx。 弹性力学的基本方程 应力分量的正负号规定如下:如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负;相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图1
9、 图1 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由六个应力分量： zxyzxyzyx,zxyzxyzyxzxyzxyzyx应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量 来表示。它的矩阵形式是：称作位移列阵域位移向量。U, 其中 为正应变 为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负;剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。 zxyzxyzyxzxyzxyzyx应变的矩阵形式是:称作应变列阵或应变向量。弹性体内任意一点
10、的应变，可以由6个应变分量： zxyzxyzyx,zyx,zxyzxy,平衡方程 几何方程(应变-位移关系) 物理方程（应力-应变关系） 力的边界条件 几何边界条件 弹性体的应变能和余能 三维问题的弹性力学基本方程 平面(二维)平衡方程 0CM平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一个单位长度.两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程021212121dydxdydxydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy0cM上式两边除dxdy,可得:yxxy011111dxdyfdxdxdyydydydxxxyxyxyxxx
11、x0F剪力互等关系以X轴为投影轴,满足平衡方程:上式两边除dxdy,可得:0 xyxxfyx0yxyyfxy同理 平衡方程(纳维叶) zyxfff,弹性体v域内任一点沿坐标轴x，y，z，方向的平衡方程为: 000zzyzxzyzyyxyxzxyzxfzyxfzyxfzyx 为单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。平衡方程的矩阵形式为 （在V内）0 fA其中，A是微分算子xyzzxyzyxA000000000 是体积力向量， fzyxTffff, 平面(二维)几何方程 经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy见图yxyxxyyx 几何方程(应变-位移关
12、系) 又叫柯西方程 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有：xzzxyzzyyxxyzyxxzyzxyzyx,几何方程的矩阵形式为： (在V内) LU其中,L为微分算子 TAxzyzxyzyxL 物理方程（应力-应变关系） D 弹性力学由应力-应变之间的转换关系也称弹性关系。对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示： )1(2210)1(22100)1(221000100011000111称对DD称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量E 和泊桑比 表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lame)常数G ,)21 (1,)
13、2(1EGEG为弹性模量。 )21)(1 ()-E(12G物理方程中的弹性矩阵D亦可表示为GGGGGGD000000200020002称对物理方程的另一种形式是其中C是柔度矩阵。C=D-1，它和弹性矩阵是互逆关系. 弹性体在边界上单位面积的内力表示为 , 在边界上已知弹性体单位上作用的面积力为 CSzyxTTT,zyxTTT, 力的边界条件根据平衡应有 设边界外法线为N，其方向余弦为nx，ny，nz,则边界上弹性体的内力可由下式确定 zzyzyxzxzzyzyyxyxyzxzyzyxxXnnnTnnnTnnnT T=n xyzzxyzyxnnnnnnnnnn以上公式的矩阵形式为 (在 内)ST
14、T ,ZzYyXxTTTTTT,在 上弹性体的位移已知为 即有: ,用矩阵形式表示是弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力 称为力的边界条件，这部分边界用 表示;另一部分边界上弹性体的位移 已知，称为几何边界条件与位移边界条件，这部分边界用 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即 : ,上在S zyxTTT,SSSSSS 几何边界条件 弹性体的应变能和余能 单位体积的应变能(应变能密度) DUT21)(应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时(恒为0)，应变能才为零。单位体积的余能(余能密度) CVT21)(余能也是个正定函数，弹性力学中弹性体的应变能等于余能。=LU (几何方程) 基本方程间的关系 F+A=0或=ATF (平衡方程)=D (物理方程)FU - -D(弹性矩阵)LA
