1、流体力学中的三大基本方程刘颖杰刘颖杰1 1 连续性微分方程连续性微分方程 理论依据理论依据：质量守恒质量守恒定律在微元体中的应用定律在微元体中的应用数学描述数学描述： 单位时间流出的质量单位时间流出的质量-单位时间流入的质量单位时间流入的质量+单位单位时间质量的累积时间质量的累积oror增量增量=0=0 假定流体连续地假定流体连续地 充满整个流场，从中充满整个流场，从中 任取出以任取出以 点为中心的微小六面点为中心的微小六面 体空间作为控制体如体空间作为控制体如 右图。控制体的边长右图。控制体的边长 为为dxdx，dydy，dzdz，分别，分别 平行于直角坐标轴平行于直角坐标轴x x，zyxo
2、，公式推导：公式推导：（1 1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化 y y，z z。设控制体中心点处流速的三个分量为。设控制体中心点处流速的三个分量为 , ,液液体密度为体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M M的的质点在质点在x x方向的分速度为方向的分速度为通过控制体后表面中心点通过控制体后表面中心点N N的
3、质点在的质点在x x方向的分速度为方向的分速度为 zyxvvv，dxxvvxx21dxxvvxx21因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿所以单位时间内沿x x轴方向轴方向dydzdxxvvxx21dydzdxxvvxx21流出控制体的质量为流出控制体的质量为于是，单位时间内在于是，单位时间内在x x方向流出与流入控制体的质量差方向流出与流入控制体的质量差为为dxdydzxvdydzdxxvvdydzdxxvvxxxxx2121流入控制体的质量为流入控制体的质量为 同理可得在单位时间内沿同理可得在单位时间内沿
4、y y，z z方向流出与流入控制体的质方向流出与流入控制体的质量差为量差为 dxdydzyvydxdydzzvz故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：xyzdxdydzxyz（）（）（）和和控制体内质量变化：控制体内质量变化：因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dtdt时间内时间内：dtdxdydzdxdydzdtdxdydztt（）单位时间内，微元体质量增量：单位时间内，微元体质量增量：dxdydztdtdtdxdydzt/ （微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）（微团密度在
5、单位时间内的变率与微团体积的乘积） 根据连续性条件：根据连续性条件：0）（）（）（zyxzyxt矢量形式：矢量形式：0t三维连续性微分方程三维连续性微分方程适用条件：适用条件： 不可压缩和可压缩流体不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体理想和实际流体 稳态及非稳态流动稳态及非稳态流动不可压缩性流体的连续性微分方程：不可压缩性流体的连续性微分方程：0zyxzyxor 说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入体积流量与流出体积流量相等。体积流量与流出体积流量相等。 0div稳定流动时：稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变，所有流体物性参数均不随时
6、间而变，0t0）（）（）（zyxzyx二维平面流动：二维平面流动：0yxyx0)(div2.2.理想流体的运动方程理想流体的运动方程3.4.1-3.4.1-欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程理论依据：理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。17751775年由年由欧拉欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。与其所受到外力间的关系式即是运动方程。推导过程：推导过程：取微
7、小六面控制体取微小六面控制体牛顿第二定律牛顿第二定律oror动量定理：动量定理：推导依据：推导依据：dtmddtdmamF）（即作用力之合力即作用力之合力= =动量随时间的变化速率动量随时间的变化速率 分析受力：分析受力： 质量力：质量力： fdxdydz单位质量力：单位质量力：kfjfiffzyx X X方方向上所受质量力为：向上所受质量力为： 表面力：表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X X方向上作用于垂直方向上作用于垂直x x轴方向两个面的压力分别为：轴方向两个面的压力分别为：22MNp dxp dxppppxxX X方方向上质点所受
8、表面力合力：向上质点所受表面力合力：MNpppdydzdxdydzx （）dxdydzfx 流体质点加速度流体质点加速度 a 的计算方法：的计算方法：），（tzyx流速的全导数应是：流速的全导数应是：zyxtdtdazyx当地加速度：当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性间变化特性迁移加速度：迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。域而表现出的速度变化率。）（tfx ）（tfy）（tfy 流体质点加速度流体质点加速度 a 在
9、三个坐标轴上的分量表示成：在三个坐标轴上的分量表示成：xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzdadttxyzdadttxyzdadttxyz代入牛顿第二定律求得运动方程：代入牛顿第二定律求得运动方程：得得x x方向上的运动微分方程：方向上的运动微分方程： xxdpdxdydzdxdydzf dxdydzdtx 单位体积单位体积流体的运动微分方程：流体的运动微分方程：xxdpfdtx 单位质量单位质量流体的运动微分方程：流体的运动微分方程：1xxdpfdtx 同理可得同理可得y,zy,z方向上的：方向上的：yz111xxxxxxyzxyyyyyxyzzzzzzxyzdpfdttx
10、yzxdpfdttxyzydpfdttxyzz向量形式：向量形式： 1dfgradpdt 式中：式中： pppgradpijkxyZ 理想流体欧拉运动微分方程理想流体欧拉运动微分方程 适用条件：适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体理想流体，不可压缩流体和可压缩流体（5 5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：连续性方程：连续性方程：0zyxzyx 运动方程：运动方程： 2222221()xxxxxxxxyzxpftxyzxxyz2222221()yyyy
11、yyyxyzypftxyzyxyz1.1. 含有四个未知量含有四个未知量 完整的方程组。完整的方程组。2.2. 描述了各种量间的依赖关系。描述了各种量间的依赖关系。3.3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）始条件）特解。特解。即描述流体流动的即描述流体流动的完整方程组完整方程组+ +单值性条件单值性条件描述某一特定流动。描述某一特定流动。），（Pzyx,2222221()zzzzzzzxyzzpftxyzzxyz3.3. 伯努利方程 (Bernoulli)(Bernoulli)理想流体稳定流动的伯努利微分方程理想流体稳定流
12、动的伯努利微分方程由由理想流体理想流体欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程111xxyyzzdpfxdtdpfydtdpfzdt是是稳定流动稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间都只是坐标函数，与时间无关，方程转换去除无关，方程转换去除t项项伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意义）方程的提出和意义 推导得：推导得：1ddpgdz Or 10gdzdpd 伯努利方程微分形式。伯努利方程微分形式。 说明：说明： 流体质点在微小控制体流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关范围内，沿任意
13、方向流线流动时的能量平衡关系式。系式。适用范围：适用范围：理想流体、稳定流体、质量理想流体、稳定流体、质量力只有重力且力只有重力且在微小控制体在微小控制体dxdydzdxdydz范围内范围内沿某一根流线；沿某一根流线；物理意义：物理意义：揭示了沿某一根流线运动着揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。之间的微分关系。 3.13.1 伯努利方程积分形式 1.沿流线的积分方程：沿流线的积分方程：CdPgz22 设：设： const 22pgzCOr 22pzCrg 理想流体微元流束的伯努利方程。理想流体微元流束的伯努利方程。
14、10gdzdpd 适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线；流动、质量力只有重力，且沿某一根流线；任选一根流线上的两点：任选一根流线上的两点：22112212c22ppzzrgrg （流线变化了则C值变化） 静止流体：静止流体：pzCr静止容器内任一点的静止容器内任一点的z z 与与 P/r P/r 之和为常数。之和为常数。 静力学方程静力学方程物理意义及几何意义：物理意义及几何意义：z z : : 单位重量流体所具有的位能单位重量流体所具有的位能N NM/N M/N ；（可以看成；（可以看成mgz/mgmgz/mg）
15、P/r : P/r : 单位重量流体所具有的压力能；单位重量流体所具有的压力能； 物理意义：物理意义：g22：单位重量流体所具有的动能；：单位重量流体所具有的动能； 三者之和为单位重量流体具有的机械能。三者之和为单位重量流体具有的机械能。理解：质量为理解：质量为m微团以微团以v 运动，具有运动，具有mvmv2 2/2/2动能，若用动能，若用 重量重量mgmg除之得除之得v v2 2/2g/2g理想、不可压缩流体在重力场中作稳定理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线流动时，沿流线or无旋流场无旋流场中流束运动中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动时，单位重量流体的位能，压力能和动
16、能之和是常数，即机械能是守恒的，且能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换它们之间可以相互转换 。物理意义：物理意义：几何意义：几何意义：z ：单位重量流体的位置水头；：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度）（距离某一基准面的高度）P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头；单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相（具有的压力势能与一段液柱高度相当）当）g22: 单位重量流体具有的动压头单位重量流体具有的动压头oror速度水头速度水头, ,速度压头。速度压头。物理中：质量为物理中：质量为m m以以速度速度v垂直向上抛能达到的垂直向上抛能达
17、到的最高高度为最高高度为v2/2g三者之和为单位重量流体的总水头。三者之和为单位重量流体的总水头。理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。几何意义：几何意义：3 3.2.2 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 可求解流动中的流体可求解流动中的流体v v、P P及过某一截面的流量；及过某一截面的流量；以伯努利方程为原理测量以伯努利方程为原理测量流量的装置。流量的装置。皮托管（毕托管）皮托管（毕托管）：测量流：测量流场中某一点场中某一点流速流速的
18、仪器。的仪器。皮托曾用一两端开口弯成皮托曾用一两端开口弯成直角的玻璃管测塞那河道直角的玻璃管测塞那河道中任一点流速。中任一点流速。A A点为驻点点为驻点）：（0总压总压皮托管：皮托管：B B点：点：A A点前选一点不受玻璃管干扰的点；点前选一点不受玻璃管干扰的点；A-BA-B认为是一条流线。认为是一条流线。列沿流线列沿流线ABAB上两点的伯努利方程：上两点的伯努利方程：2222AABBABppzzrgrgzA=zBA=0P PB B总总=P=PA A=r(H=r(H0 0+h) +h) P PB B=rH=rH0 0总压总压静压静压动压动压ghrPPgBAB22 在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。皮托皮托静压管静压管列列1 1、2 2两点的伯努利方程：两点的伯努利方程： 221122121222ppzzrgrg0121，zz12212122ppgrrghr欲求欲求Q，须，须求求层流：层流：紊流：紊流：max820max21谢谢 谢谢 ！
