1、iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni, 3 ,2 2.2.2 Newton插值法插值法 2.2.3 等距节点插值公式等距节点插值公式华长生制作2)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？华长生制作3, 1,0 xx ),)
2、(10 xxxx)()(110nxxxxxx,显然，多项式组线性无关， 因此，可以作为插值基函数,ix设插值节点为( ),0,1,iiff xin函数值为1,2 , 1 ,0,1nixxhiiiiihhmaxnifxPii, 1 , 0,)(插值条件为)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP华长生制作4nifxPxPii, 1 , 0,)()(应满足插值条件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxx
3、xffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念华长生制作5一、差商(均差)定义1.nifxxfii, 1 , 0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(,jixxffxxfjijiji)(,)(均差一阶差商关于节点为jixxxf)(,kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji的二阶差商关于为kjixxxxf,)(依此类推华长生制作6,110kkiiiixxxxf阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,)(110,110kkxxxxf差商具有如下性质(请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxf
4、xxxxfkxf显然kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf1210110,kkkkkxxxxxxfxxxf1210110,华长生制作7,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,210 xxxf,120 xxxf,012xxxf如,)()3(10)的区间存在时在包含节点当（kkxxxxf使得之间必存在一点在,10kxxx,10kxxxf用余项的相同证明!)()(kfk华长生制作8)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶
5、差商一阶差商差商的计算方法(表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为零阶差商差商表Chashang.m华长生制作9xifxi fxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2 ,xi+200283275125621640208 1923827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各
6、阶差商值解: 计算得如下表华长生制作10二、Newton基本插值公式)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP设插值多项式满足插值条件nifxPii, 1 , 0,)(则待定系数为00fa ,101xxfa ,2102xxxfa ,10nnxxxfa华长生制作11)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkkjjkxxxxxff110100)(,称基本插值多项式次的关于节点为Newtonnxxfi)(定义3.)()()(xNxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余
7、项为nkkkxxxxff1100)(,10)(kjjxx)(xk为k次多项式华长生制作12,10 xxxxfk,110 xxxxfk则视为一个节点若将,), 1 , 0( ,nixxi因此可得)(,)(000 xxxxffxf)(,(0110100 xxxxxxxfxxff)(,)(,10100100 xxxxxxxfxxxxffnjjnnkkjjkxxxxxxfxxxxxff010110100)(,)(,xxxxxxfxxxfkkk,11010)(,1010kkkxxxxxxfxxxf下面推导余项的另外一种形式华长生制作13)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn)(,110 xxxxx
8、fnnnjjnnxxxxxxfxN010)(,)()()(xRxNnn因此)!1()()1(nfn,10nxxxxf!)()(kfk,10kxxxf)(xRk)(,1110 xxxxfkknk 一般Newton插值估计误差的重要公式另外华长生制作14. . 6 , 8 , 7 , 4 , 1)(,5 , 4 , 3 , 2 , 1 插值多项式求四次牛顿时设当iixfx练练习习kxkf(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3
9、) 1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx华长生制作152.2.3 等距节点插值公式定义.称处的函数值为在等距节点设, 1 ,0,)(0nkfkhxxxfkkkkkfff1处的一阶向前差分在为kxxf)(1, 1 , 0nk1kkkfff处的一阶向后差分在为kxxf)(nk,2 , 1kkkfff12处的二阶向前差分在为kxxf)(12kkkfff处的二阶向后差分在为kxxf)(华长生制作16kmkmkmfff111阶向前差分处的在为mxxfk)(阶向后差分处的在为mxxfk)(依此类推111kmkmkmfff可以证明mkmkmff1kkff
10、222kkff333kkff如华长生制作174433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f华长生制作18在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfihfi 11222iiffh2222hfi,321iiiixxxxf312223hffii33! 3 hfiiiiixxff112211,iiiiiixxxxfxxf332121,iiiiiiiixxxxxfxxxf华长生制作193322223
11、hfxfii333! 3 hfi,1miiixxxf依此类推mimhmf!mmimhmf!,10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!华长生制作20即是等距节点如果节点,10nxxxnabhnkkhxxk, 1 ,0,0,10kxxxfkkhkf!0由差商与向前差分的关系)(xNnnkkkxxxxff1100)(,Newton插值基本公式为如果假设thxx01.Newton向前(差分)插值公式华长生制作2110)(kjjxx)(xk1000)(kjjhxthx10)(kjhjtkkhkf!0nkf10)(10kjhjt!0kfknkf10 )(10kjjt)(xNnnkkkxxxxff1100
12、)(,)(0thxNn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn则插值公式化为其余项)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(化为华长生制作22)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(!0kfknkf10 )(10kjjt)(0thxNn称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为华长生制作23!kfnknknf1 )(10kjjt)(thxNnn)(thxRnn)!1()()1(nfnnjnjth01)(插值余项为根据向前差分和向后差分的关系mkmkmff如果假设thxxn)0( t可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插
13、值公式华长生制作24 例例 4 设设x0=1.0,h=0.05,给出给出 在在 处的函数值如表处的函数值如表2-5的第的第3列，试用三次等距节点插值公式求列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和和f(1.28)的近似值。的近似值。xxf )()6 , 1 , 0(0 kkhxxk32 0 1.00 1.00000 0.02470 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00059 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00054 -0.00005 3 1.15 1.07238 4 1.20 1.09544 0.02307 -0.00048 -0.00003 5
14、1.25 1.11803 0.02259 -0.00045 6 1.30 1.14017 0.02214 32kkfxk表表2-5华长生制作25 解解 用用Newton向前插值公式来计算向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表差表相似的差分表，见表2-5得上半部分。由得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得的得.00499. 1)01. 1()01. 1(3 Nf用用Newton向后插值公式计算向后插值公式计算f(1.28)的近似值，可利用表的近似值，可利用表2-5中的下半部中的下半部分。由分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得，得
15、.13137. 1)28. 1()28. 1(3 Nf事实上，事实上，f(1.01)和和f(1.28)的真值分别为的真值分别为1.00498756和和1.13137085。由。由此看出，计算结果是相当精确的。此看出，计算结果是相当精确的。 例例 2.5 已知已知f(x)=sinx的数值如表的数值如表2-6的第的第2列，分别用列，分别用Newton向前、向后插值公式求向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。华长生制作260.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958
16、 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-6 解解 作差分表如表作差分表如表2-6，使用，使用Newton向前差分公式向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,则则t=(x-x0)/h=0.7891,02002)1(21)57891.0(fttftfN ,54714. 0)00563. 0()1(2108521. 047934. 0 ttt即即sin0.578910.54714。误差为。误差为华长生制作27.1095. 25 . 0cos1036. 3)(, 7 . 05 . 0),cos)(2)(1(!3)(55232 xRttthxR 若用若用Newton向后插值公式，则可取向后插值公式，则可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是。于是22222)1(21)57891. 0(fttftfN ,54707. 000480. 0)1(2108521. 056464. 0 ttt即即sin0.578910.54707。误差为。误差为.1057. 4)(, 6 . 04 . 0),)(2)(1(!3)(5232 xRttthxR
