1、 正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方案案.下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验方下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验方案的步骤案的步骤.例例1 某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距三个因素进行试验，因素及水平如下表：三个因素进行试验，因素及水平如下表： 因因子子水水平平 10 101.501.501313141413133 3 8 81.671.671111121210102 2
2、6 6 （原工艺）（原工艺）1.80 1.80 （原工艺）（原工艺）1010111110 10 （原工艺）（原工艺）1 1C C后区隔距后区隔距B B后区牵伸后区牵伸A A罗拉加压罗拉加压返回 首先首先要选择一个合适的正交表要选择一个合适的正交表,选选 来制定试验来制定试验方案方案. )3(49L 其次其次，将，将A、B、C三个因素随机地填在表的三列上，三个因素随机地填在表的三列上，如如A、B、C依次放在依次放在1，2，3列，第列，第4列为空列，这个过列为空列，这个过程叫程叫表头设计表头设计. 列列号号试试验验号号1 12 23 33 39 93 31 12 23 38 82 23 31 13
3、 37 72 21 13 32 26 61 13 32 22 25 53 32 21 12 24 43 33 33 31 13 32 22 22 21 12 21 11 11 11 11 1空列空列C CB BA A)3(49L（一）（一） 极差分析法极差分析法 下面仍以例下面仍以例1试验方案为例，回顾极差分析法的思想方试验方案为例，回顾极差分析法的思想方法法.依照上表安排的试验方案，进行依照上表安排的试验方案，进行9次试验（一般不要次试验（一般不要按序号顺序来做这按序号顺序来做这9个试验，而应随机地挑选试验号来完个试验，而应随机地挑选试验号来完成这些试验成这些试验.），），并将试验数据填写在
4、上表的数据列并将试验数据填写在上表的数据列中中.(该数据是将原始数据减该数据是将原始数据减20而得到的，这并不影响分析而得到的，这并不影响分析结果结果.)( ) jiK 分别计算第分别计算第j j列的第列的第i i水平数据之和水平数据之和 以及其平均值以及其平均值)( jit)( jR、 极差极差 并填入表中并填入表中. . 1 1 数据计算数据计算 例例1 1 试验结果分析表试验结果分析表列列号号试试验验号号0 01 12 23 33 39 90.40.43 31 12 23 38 82.82.82 23 31 13 37 70.30.32 21 13 32 26 61.41.41 13 3
5、2 22 25 52.62.63 32 21 12 24 40.20.23 33 33 31 13 31.31.32 22 22 21 12 21.51.51 11 11 11 11 1简化数据简化数据x xi i2020误差列误差列C CB BA A返回返回31返回4列列号号各各数数据据0.340.340.800.802.472.470.360.360.930.931.331.330.170.171.071.071.271.271.301.301.031.031.231.230.970.970.530.532.302.300.870.872.82.84.04.00.50.53.23.23.8
6、3.83.93.93.13.13.73.72.92.91.61.66.96.92.62.6误差列误差列C CB BA A各数据说明各数据说明( )1jK( )2jK( )3jK( )1jk( )2jk( )3jk)( jR( ) jiK( ) jik)( jR 91iixT其中其中：为第为第j j列的第列的第i i水水平数据之和平数据之和为其平均值为其平均值为第为第j j列的极差列的极差9.5 例例1 1 试验结果分析表续试验结果分析表续返回2 分析因素的影响分析因素的影响根据极差根据极差)( jR的数据知，第的数据知，第2列和第列和第3列的极差较大，列的极差较大，这反映了当因素这反映了当因素
7、B、C的水平波动时的水平波动时,指标波动较大指标波动较大,说明因说明因素素B、C对指标影响较大；对指标影响较大； 第第1列的极差较小列的极差较小,说明因素说明因素A的水平变动时的水平变动时,指标变动指标变动较小，说明因素较小，说明因素A对指标影响较小；对指标影响较小； 而第而第4列是空列列是空列,极差为极差为0.34,这是由随机误差产生的这是由随机误差产生的,又又因为因素因为因素A的极差的极差0.36与空列的极差与空列的极差0.34接近，所以可粗略接近，所以可粗略地认为因素地认为因素A对指标影响不显著对指标影响不显著 由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：由此可以根据极差的大小顺序排出因素
8、的主次： 主主 次次 B B、C C、A A 由因素的主次可以看出后区牵伸（因素由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响）对指标影响最主要最主要,其次是后区隔距（因素其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小），罗拉加压影响最小.3选出最优工艺参数选出最优工艺参数（1）直接看直接看： 直接比较已做的直接比较已做的9次试验得到的条子条干不匀率，容易次试验得到的条子条干不匀率，容易看出第看出第6号试验条干不匀率最小号试验条干不匀率最小, 第第6号试验的水平组合号试验的水平组合A2B3C1称为称为“直接看直接看”的好条件的好条件.它是通过试验的实践直接它是通过试验的实践直接得到的得到的,比较
9、可靠比较可靠. （2）算一算算一算： 通过比较通过比较( ) jik的大小可选出排在第的大小可选出排在第j列的因素的最好水平，列的因素的最好水平， 如第如第1列的因素列的因素A： (1)10.87k(1)21.23k(1)31.07k， 分别表示因素分别表示因素A的三个水平的平均条干不匀率的三个水平的平均条干不匀率,经比较可知当经比较可知当因素因素A取取A1水平时，条干不匀率最小，所以水平时，条干不匀率最小，所以A1的效果最好的效果最好. 同理可选出因素同理可选出因素B和因素和因素C的最好条件分别为的最好条件分别为B3、C1。于是通过于是通过 “算一算算一算”得到一个较优的水平组合得到一个较优
10、的水平组合A1 B3C1.称为称为“算一算算一算” 的好条件的好条件. 比较比较“直接看直接看”的好条件的好条件A2B3C1与与 “算一算算一算”的好条的好条件件A1 B3C1，除了因素，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取的水平不同外，其它两个因素所取的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差接近，认为因素接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著对条干不匀率的影响不显著,为方便操作为方便操作选取原工艺选取原工艺A1.最后确定最优工艺为最后确定最优工艺为A1B3C1.下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 方差分析的基本
11、步骤与格式方差分析的基本步骤与格式 设：设：o 用正交表用正交表Ln(rm)来安排试验来安排试验 o 试验结果为试验结果为yi（i=1,2,n） （1）计算离差平方和）计算离差平方和 总离差平方和总离差平方和 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn1niiTy21niiQy2211()niiTPynn设：设：各因素引起的离差平方和各因素引起的离差平方和 o 第第j列所引起的离差平方和列所引起的离差平方和 ：22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS因此：因此：交互作用的离差平方和交互作用的离差平方和 o 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就
12、等于所在列的离若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离差平方和差平方和SSj o 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平方和之和，方和之和， 例：例：r=3时时 12A BA BA BSSSSSS（）（）试验误差的离差平方和试验误差的离差平方和 o 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列有空列，即，即误差误差列列 o 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：eSSSS空列（2）计算自由度）计算自由度总自由度总自由度 ：
13、dfTn1任一列离差平方和对应的自由度任一列离差平方和对应的自由度 ： dfjr1交互作用的自由度交互作用的自由度 ：（以：（以AB为例）为例）odfABdfA dfBodfAB( r1 )dfjn若若r 2， dfABdfjn若若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB误差的自由度：误差的自由度： dfe空白列自由度之和空白列自由度之和（3）计算均方）计算均方o以以A因素为例因素为例 ：AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdfn以以AB为例为例 ：n误差的均方：误差的均方： 注意：注意：o若某因素或交互作用的均方若某因素或交互作用的均方MSe，则应将它们归入误
14、差列，则应将它们归入误差列o计算新的误差、均方计算新的误差、均方 例：若例：若MSA MSe 则：则：eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdf（4）计算）计算F值值o各均方除以误差的均方，例如：各均方除以误差的均方，例如： AAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或或或（5）显著性检验）显著性检验o例如：例如：n若若 ，则因素，则因素A对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响 n若若 ，则交互作用，则交互作用AB对试验结果有对试验结果有显著影响显著影响 (,)AAeFFdfdf(,)A BA BeFF dfdf（6）列方差分析表）列方差分
15、析表 空列（误差）因素SSSSSST空列（误列（因素Tdfdfdf误差误差误差因素因素因素dfSSMSdfSSMS ，误差因素因素MSMSF因素因素重复重复1 1重复重复2 2重复重复3 3A A1 1y1y1y2y2y3y3A A2 2y4y4y5y5y6y6A A3 3y7y7y8y8y9y99T-KKK31 9y9.y2y1y9y8y7y6y5y4y3y2y131SS22322212222A）（修正项）（）（）（）（CTQSSr1QCTQSSxQnT CTxTjjijTTniiT2niim12ij121K nxxSSn1i2in1i2iT）（），（）（k.21j nxKr1SSn1i2i
16、m1i2ijj），（）（k.21j K-K n1SS22j1jjn-1dfT为因素水平个数，m j1mdf例例2 2（例例1 1续续）方差分析法首先计算各列的离差平方和）方差分析法首先计算各列的离差平方和jS1SjS以因素以因素A A所在的第一列所在的第一列为例，给出为例，给出的计算公式的计算公式. . 在因素在因素A每个水平的三次试验中，因素每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平三个水平都分别各出现一次，因此都分别各出现一次，因此,可以理解为因素可以理解为因素A有三个水平，有三个水平，每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析: 因素因素A的离差平
17、方和的离差平方和 202. 093/92312)1(1 TTSii同理可计算出因素同理可计算出因素B、C及误差列的离差平方和分别为：及误差列的离差平方和分别为： 129. 92 S229. 13 S202. 04 S返回原数据NTpNTSpijij212)(/ 一般的，一般的， T)( jiT其中：其中： N _N _正交表的试验号数（试验次数）；正交表的试验号数（试验次数）； p_p_第第j j列的水平数；列的水平数；_ N_ N次试验数据之和次试验数据之和; ; _ _为第为第j j列的第列的第i i水平数据之和水平数据之和. .24321 ffffjf其次，计算各列自由度其次，计算各列自
18、由度p p1, 1, 得：得：,将离差平方和与自由度填入下表：将离差平方和与自由度填入下表：列列号号各各数数据据2 22 22 22 20.2020.2021.2291.2299.1299.1290.2020.2020.340.340.800.802.472.470.360.360.930.931.331.330.170.171.071.071.271.271.301.301.031.031.231.230.970.970.530.532.302.300.870.872.82.84.04.00.50.53.23.23.83.83.93.93.13.13.73.72.92.91.61.66.96
19、.92.62.6误差列误差列C CB BA A各数据说明各数据说明 )(1jT)(2jT)(3jT)(1jt)(2jt)(3jt)( jRjSjf)( jiT)( jit)( jRjSjf 91iixT其中其中：为第为第j j列的第列的第i i水水平数据之和平数据之和为其平均值为其平均值为第为第j j列的极差列的极差为第为第j j列的离差平列的离差平方和，方和，为第为第j j列的自由度列的自由度9.5 例例2 2 试验结果分析表续试验结果分析表续返回3637最后进行误差估计和显著性检验最后进行误差估计和显著性检验:1.误差估计误差估计 41SS 1S4S 因因 ，所以，所以, ,认为认为是由误
20、差引起的，将它与是由误差引起的，将它与合并，最后求得误差的离差平方和为：合并，最后求得误差的离差平方和为：404. 0202. 0202. 041 SSSE42241 fffE101. 04404. 0 EEEfSS其自由度为：其自由度为：方差为：方差为：ESEf 一般的，将所有空列的离差平方和，以及方差不大一般的，将所有空列的离差平方和，以及方差不大于空列方差的那些列的离差平方和加在一起作为误差于空列方差的那些列的离差平方和加在一起作为误差的离差平方和的离差平方和 ，将这些列的自由度求和作为误差，将这些列的自由度求和作为误差的自由度的自由度 .2显著性检验显著性检验 H0:排在第排在第j列的
21、因素对所考察的指标影响不显著列的因素对所考察的指标影响不显著H1:排在第排在第j列的因素对所考察的指标影响显著列的因素对所考察的指标影响显著Nxxx,212 jFF可以证明，当可以证明，当H H0 0为真时，在满足试验结果为真时，在满足试验结果来自于相互独立且服从同方差来自于相互独立且服从同方差的正态分布总体时的正态分布总体时, ,统计量统计量服从服从分布，即分布，即),(EjEjjffFSSF 于是，对给定的显著水平于是，对给定的显著水平 时时当当),(,1EjjffFF 著水平著水平 下拒绝下拒绝H0， ,则在显则在显推断该因素对指标影响显著；否则影推断该因素对指标影响显著；否则影响不显著
22、响不显著. 例例2 中因素中因素B、C的的F值分别计算如下：值分别计算如下：193.45101. 0565. 42 EBSSF089. 6101. 0615. 03 ECSSF例例2 方差分析表方差分析表 8 810.79810.798总和总和 4 40.4040.404误差误差E E 6.94 6.94 6.089 6.0890.6150.615 2 21.2291.229因子因子C C * * 6.94 6.9445.19345.1934.5654.565 2 29.1299.129因子因子B B显著性显著性F F值值方差方差自由度自由度离差平方和离差平方和误差来源误差来源05. 01 F
23、链接33 由方差分析得知，因素由方差分析得知，因素B显著，因素显著，因素A、C都不显著都不显著.又因为因素又因为因素B的各水平数据之和有不等式：的各水平数据之和有不等式：232221TTT 不匀率越小越好不匀率越小越好,故选故选B3；因素；因素A、C都不显著可任选，都不显著可任选，为方便取原工艺为方便取原工艺A1和和C1.综合起来，最后确定最优工艺为综合起来，最后确定最优工艺为 A1 B3C1 .链接33水 平试验因素温度（）ApH值B加酶量（）C1506.52.02557.02.43587.52.858.65TmiijjCTKrss12186.477958.6522nTCT4 .4586.477)56.97684.34438.248(31)312212112(31CTKKKssA7 .2224 .45AAAdfSSV155. 0231. 0CCCdfSSV23. 3249. 6BBBdfSSV415. 0283. 0eeedfSSV
