1、歐亞書局5.6 指數成長與衰減指數成長與衰減歐亞書局5.6 指數成長與衰減指數成長與衰減學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局指數成長與衰減指數成長與衰減 本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局指數成長與衰減指數成長與衰減P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數
2、與對數函數 在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。歐亞書局指數成長與衰減指數成長與衰減（證明）（證明）P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數 因為 y 的變化量與 y 成正比，所以顯然 y Cekt 為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt kCekt ，再代入方程式也得dykydt()ktktdykCek Cekydt歐亞書局學習提示學習提示 在模型 y Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t 0 時，y Cek(0) C(1) C。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局應用應用 放射性物質的衰減是以半衰期半衰期 (h
3、alf-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列鈾 (238 U)4,470,000,000 年鈽 (239 Pu) 24,100 年碳 (14 C) 5,715 年鐳 (226 Ra) 1,599 年鑀 (254 Es) 276 天鍩 (257 No) 25 秒P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 1放射性物質衰減的模型 某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 1放射性物質衰減的模型 （解） 令 y 表示在樣
4、本中的鐳物質 (公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y Cekt，其中 t 為時間(年) 。已知當 t 0 時 y 1，代入模型可得1 Cek(0) 以 1 代入 y，0 代入 t因此 C 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t 1599 時y 1/2，再代入模型即可解得 k。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 1放射性物質衰減的模型 （解）所以 k 0.0004335，故指數衰減模型為 y e0.0004335t。 若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t 1000 代入模型，經計算可得y e0.0004335(1000)
5、0.648 公克即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數()1 211 1151599 9922 1/ 2 ln1599 ln 1 5991599 ktkyeekkyt指數衰減模型以代入 ，代入 等號兩邊取自然對數等號兩邊同除以 歐亞書局範例 1放射性物質衰減的模型 （解）P.5-39 圖圖5.18第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局檢查站檢查站 1 1 以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局應用
6、應用 請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k的正確值可得這個公式清楚地顯示半衰期：當 t 1599，y 值為 1/2，當t 2(1599)，y 值為 ，以此類推。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數( /1599)( /1599)ln(1/2) 12ttye14歐亞書局應用應用P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 2數量成長的模型 研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 2數量成長的模型
7、 （解） 令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t 2 時，y 100 和當t 4 時，y 300，代入模型 y Cekt 得100 Ce2k和300 Ce4k若要解 k，先解出第一方程式中的 C，再代入第二方程式。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 2數量成長的模型 （解）P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數44222 300100 300 300 ln32 1ln3 100/10 20kkkkkCeeeeCkekk 第二方程式以代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數解歐亞書局範例 2數量成長的模型 （解） 因為 ，可得 C 100/e2(0
8、.5493) 33。即指數成長模型為y 33e0.5493t如圖 5.19 所示。所以，5 天後果蠅的數量有y 33e0.5493(5) 514 隻P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數12ln30.5493k 歐亞書局範例 2數量成長的模型 （解）P.5-40 圖圖5.19第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數代數技巧歐亞書局檢查站檢查站 2 2 如果果蠅數量兩天後有 100隻，四天後有 400隻，求其指數成長模型。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與
9、對數函數歐亞書局範例 3複利的模型 在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 3複利的模型 （解） 以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型A Pert 指數成長模型指數成長模型其中 P 為原始存款值，r 為年利率 (以小數表示) 且t 為時間 (年)。已知 t 6 時，A 2P，如圖 5.20 所示，即可解得 r。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 3複利的模型 （解）P.5-40 圖圖5.20第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐
10、亞書局範例 3複利的模型 （解） 所以，年利率為或者大約 11.55%。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數( )6 166 2 ln26 ln2 22 66 rtrtPPAAPeetPerPr 指數成長模型以代入， 代入 等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數等號兩邊同除以16ln2 0.1155r 歐亞書局檢查站檢查站 3 3 已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。P.5-51第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局應用應用 本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型y Cabt也可以是指數成長模型
11、 (因為該模型可寫成 y Ce(ln a) bt)。在某些實際生活的例子，不以 e 為底數反而較方便。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局應用應用 譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下也吻合範例 1 的結果。/159912tyP.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數1000/159910.6482y公克歐亞書局學習提示學習提示 是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為 ？注意：當t 1599 時，y 值為 1/2，當t 3198 時，y 值為 1/4，以此類
12、推。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數/159912ty歐亞書局範例 4銷售量模型化 在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過四個月後的銷售量為何？P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例 4銷售量模型化 （解） 令 y 為 MP3 的銷售量，t 為時間 (月)，並考慮指數衰減模型y Cekt 指數衰減模型指數衰減模型從已知條件可知當 t 0 時，y 100,000，即100,000 Ce0P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局範例
13、4銷售量模型化 （解） 所以 C 100,000。若要解 k，則須利用當 t 4 時，y 80,000 的條件，所以P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數(4) 100,000100,000 0.8 ln0.84 1 ln0.8800,000800, 000 4100,0004 4ktkyeeekykt 指數衰減模型以代入 ， 代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數等號 兩邊同除以 歐亞書局範例 4銷售量模型化 （解） 則 ，所以此模型為y 100,000e0.0558t再過四個月 (t 8)，銷售量將衰減為y 100,000e0.0558(8) 64,000 台 MP3如圖 5.21 所示。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數14ln0.80.0558k 歐亞書局範例 4銷售量模型化 （解）P.5-41 圖圖5.21第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數歐亞書局檢查站檢查站 4 4 根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？P.5-42
