1、第十章第十章 弯曲内力弯曲内力 Chapter目录第十章第十章 弯曲内力弯曲内力v10-1 10-1 引言引言v10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图v10-3 10-3 剪力和弯矩剪力和弯矩v10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图v10-5 10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分剪力、弯矩与载荷集度间的微分 关系关系目录10-1 10-1 引言引言起重机大梁起重机大梁目录车削工件车削工件目录10-1 10-1 引言引言火车轮轴火车轮轴目录10-1 10-1 引言引言目录10-1 10-1 引言引言7目录 10-1 10-1 引言引言平面弯曲平面弯曲
2、具有纵向对称面具有纵向对称面目录对称弯曲对称弯曲外力都作用在此平面内外力都作用在此平面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线10-1 10-1 引言引言常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录10-1 10-1 引言引言10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图目录。11目录FAAAAFFMFRAxAFRAy10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图火车轮轴简化火车轮轴简化目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录10-2 10-
3、2 梁的计算简图梁的计算简图非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0cM)(1axFxFMAy10-3 剪力和弯矩FAy18 F FS S剪力剪力 ，平行于横截面的内力合力，平行于横截面的内力合力M M 弯矩弯矩 ，垂直于横截面的内力系的合，垂直于横截面的内力系的合 力偶矩力偶矩10-3 剪力和弯矩目录FByFNFSMFAyFNFSMFBy
4、FNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_10-3 剪力和弯矩 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负目录20 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。10-3 剪力和弯矩 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录+_Happy beam is positive; Crying beam is negative解：解： 1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35F
5、FAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FSEME 0yF352FFFSE0OM233522aFMaFE3FFSE23FaME目录例题例题10-110-1FAy10-3 剪力和弯矩FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME目录10-3 剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F10-3 剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy 截面
6、上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。目录MEFAy2335aFME22aF Fa232FME10-3 剪力和弯矩25目录10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 26目录 xFS(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截
7、面x x ，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM目录例题例题10-210-2qx xM xFS10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约
8、束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题10-310-310-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图
9、。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/CMab目录例题例题10-410-410-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图
10、。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 目录例题例题10-510-510-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷
11、集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0q0Q
12、Q0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2mMM21微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方
13、程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题10-610-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方
14、程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图线线4 4应用截面法确定控应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S
15、x x和和 M Mx x 坐标坐标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.1
16、1目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系qB
17、AFAyFBy例题例题10-7 10-7 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷
18、集度载荷集度间的微分关系间的微分关系（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa43目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1
19、确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段段为上凸抛物线。且
20、有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa2目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录45作业：作业：10101 1：（：（b b），（），（d d）10102 2：（：（b b），（），（d d），（），（f)f)10104 4：（：（b b）10105 5：（：（b b），（），（d d），（），（f f）目录
