1、二项式系数的性质复习组合数的两个性质： （1） （2）mnnmnCCmnmnmnCCC11一般地，对于一般地，对于 有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项式定理二项式定理: 引入引入二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？有多少个？012C ,C ,C ,CnnnnnNn 共有共有n+1个个展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)
2、(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C1)(nba1111211101nnnnmnnnnCCCCCCnnmnnnnCCCCC210上面右边的二项式系数表称为杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 观察二项式系数表观察二项式系数表 （1 1）各行之间有什么联系？各行之间有什么联系？ （2 2）每行的二项式系数怎么变化的？每
3、行的二项式系数怎么变化的？ （3 3）各行有最大值吗？各行有最大值吗？展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C1)(nba1111211101nnnnmnnnnCC
4、CCCCnnmnnnnCCCCC210 （1）除每行两端外，每个数字都等于它）除每行两端外，每个数字都等于它肩上的两个数之和。肩上的两个数之和。 即即012C ,C ,C ,CnnnnnmnmnmnCCC11展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C01234555
5、5555C C C C C C01234566666666C C C C C C C1)(nba1111211101nnnnmnnnnCCCCCCnnmnnnnCCCCC210（2）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项的两个二项式系数相等式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC012C ,C ,C ,Cnnnnn展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3
6、)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C1)(nba1111211101nnnnmnnnnCCCCCCnnmnnnnCCCCC210（3）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时
7、取得最大值。相等，且同时取得最大值。 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。 （4）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2nab（ ） 011222nnnnnnnnnC aC abC abC b 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)(
8、（1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （4 4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210 （3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn 例例1.求求 的展开式中二项式系的展开式中二项式系数最大的项。数最大的项。 解：已知二项式幂指数是偶数，展解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共有开式共有9项，根据二项式系数的性项，根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，质，中间项的二项式系数最大， 所以要求的项为所以要求的项为 8)1 (x4448570 xxCT课堂练习：课堂练习：1）已
9、知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n= ；4）求）求 展开式中二项式系数最大的项。展开式中二项式系数最大的项。591515,Ca Cb1016C9()ab()nab7)2(yx 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （4 4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210 （3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn课堂小结课后作业课本77页，第2，3题
