1、应用时间序列分析何书元 编著北京大学出版社概率统计学科中应用性较强的一个分支概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域：广泛的应用领域：金融经济金融经济气象水文气象水文信号处理信号处理机械振动机械振动Wolfer记录的300年的太阳黑子数太阳黑子对地球的影响n会出现磁暴现象会出现磁暴现象 n会引起地球上气候的变化会引起地球上气候的变化 n会影响地球上的地震会影响地球上的地震n会影响树木生长会影响树木生长n会影响到我们的身体会影响到我们的身体n 杭州近三年房价走势房地产业、房价房地产业、房价n关乎国计民生的支柱产业关乎国计民生的支柱产业n影响着城镇居民的住房消费影响着城镇居民的住房消费n影
2、响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关行业的发展行业的发展n影响着地方政府财政收入影响着地方政府财政收入n.n股市是经济的晴雨表股市是经济的晴雨表 n从股市本身看，我国股市的确有自己的从股市本身看，我国股市的确有自己的特点特点 n股票是一种高风险的资本投资股票是一种高风险的资本投资n1985至2000年广州月平均气温国际航空公司月旅客数050100150100200300400500600700化学反应过程中溶液浓度数据化学反应过程中溶液浓度数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5目的：描述、解释、预测、控制目的
3、：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的建模和预测方法建模和预测方法参考书：参考书：1. 时间序列的理论与方法时间序列的理论与方法 田铮田铮 译译 高等教育出版社高等教育出版社2. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods Jianqing Fan Qiwei Yao3.应用时间序列分析应用时间序列分析 王燕王燕 中国人民大学出版社中国人民大学出版社 4.时间序列分析时间序列分析 易丹辉易丹辉 中国人民大学出版社中国人民大学出版社 5. 时间序列分析的小波方
4、法时间序列分析的小波方法 机械工业出版社机械工业出版社目 录n第一章第一章 时间序列时间序列n第二章第二章 自回归模型自回归模型n第三章第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型滑动平均模型与自回归滑动平均模型n第四章第四章 均值和自协方差函数的估计均值和自协方差函数的估计n第五章第五章 时间序列的预报时间序列的预报n第六章第六章 ARMA模型的参数估计模型的参数估计应用时间序列分析应用时间序列分析第一章时间序列时间序列、时间序列、平稳序列平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数线性平稳序列、平稳序列的谱函数 1.1 时间序列的分解时间序列的分解n按照时间的顺序把随机事件变化发展的过按照时间的顺
5、序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。分析。一、一、时间序列的定义时间序列的定义 n时间序列时间序列:按时间次序排列的随机变量序列按时间次序排列的随机变量序列n 个观测样本个观测样本:随机序列的随机序列的 个有序观个有序观测测值值 n称序列称序列 是时间序列是时间序列(1.1)(1.1)的一次实现或一条轨道的一次实现或一条轨道)1 .1 (,21XX)2 . 1 (,21nxxxnn) 3
6、 . 1 (,21xx二、时间序列的分解二、时间序列的分解趋势项趋势项 、季节项、季节项 、随机项、随机项)4 . 1 (, 2 , 1,tRSTXtttttTtStR模型的描述、解释模型的描述、解释n自然规律：一年四季变化自然规律：一年四季变化 (降雨量、气温等等降雨量、气温等等)n生活规律：周六、周日休息日生活规律：周六、周日休息日 每天的上下班每天的上下班 (用水量、用电量用水量、用电量 旅游人数、乘客人数旅游人数、乘客人数)n经济发展规律：螺旋型上升经济发展规律：螺旋型上升 (国民生产总值、股市价国民生产总值、股市价 格、外率等等格、外率等等)n社会的发展规律社会的发展规律: (道路是
7、曲折的、前途是光明的道路是曲折的、前途是光明的)n 注：注：1. 单周期单周期s季节项，则季节项，则 此时在模型中可要求此时在模型中可要求 ., 2 , 1),()(ttSstSsjjttS1, 2 , 1, 02. 随机项，可设随机项，可设3. .,0EtRt三、分解方法三、分解方法 例一例一. 某城市居民季度用煤消耗量某城市居民季度用煤消耗量例图例图分解一般步骤分解一般步骤1. 趋势项估计趋势项估计n分段趋势分段趋势(年平均年平均)n线性回归拟合直线线性回归拟合直线n二次曲线回归二次曲线回归n滑动平均估计滑动平均估计tT2. 估计趋势项后估计趋势项后,所得数据所得数据由季节项和随机项组成由
8、季节项和随机项组成, 季节项估计季节项估计可由该数据的每个季节平均而得可由该数据的每个季节平均而得.3. 随机项估计即为随机项估计即为方法一：分段趋势法方法一：分段趋势法1、趋势项趋势项(年平均年平均)减去趋势项后减去趋势项后,所得数据所得数据ttTX 2、季节项、季节项tS3.随机项的估计随机项的估计 .24, 2 , 1,tSTxRtttt方法二：回归直线法方法二：回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型 最小二乘估计为 可得到 .24, 2 , 1,9 .211 .5780ttTt2421111,),(.24, 2 , 1,21YxxxXtbtaxTttYXYYbaTT1)(), (1
9、. 直线趋势项直线趋势项消去趋势项后消去趋势项后,所得数据所得数据ttTX 2、季节项估计、季节项估计 为为24, 2 , 1,tSt3. 随机项估计为随机项估计为.24, 2 , 1,tSTxRtttt方法三：方法三： 二次曲线法二次曲线法26 . 10 .175 .5948ttxtYXYYcbaTT1)(),(24, 2 , 1,2tctbtaxtt1. 二次项估计（趋势项）二次项估计（趋势项）数据和二次趋势项估计数据和二次趋势项估计2. 季节项、随机项季节项、随机项 例二、美国罢工数（例二、美国罢工数（51-80年）年） （滑动平均法）（滑动平均法）0510152025303000350
10、04000450050005500600065001. 趋势项（趋势项（5项平均）项平均）2.季节项和随机项季节项和随机项051015202530-1000-800-600-400-2000200400600800例三、化学溶液浓度变化数据例三、化学溶液浓度变化数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5020406080100120140160180200-1-0.500.511.5例四、Canadian lynx data（猞猁）例五、沪深例五、沪深1209（股指期货）（股指期货）020406080100120140160220023002
11、4002500260027002800050100150-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.03)(log) 1(log)(tXtXtY例六、国际航空公司的月客数例六、国际航空公司的月客数 050100150100200300400500600700y2=log(y1); plot(y2);0501001504.64.855.25.45.65.866.26.46.6y3=diff(y2); y=y3(13:143)-y3(1:131);020406080100120140-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15数 据 处 理 后 的 图1.2 平稳
12、序列1.时间序列的分解中趋势项和季节项通时间序列的分解中趋势项和季节项通常可以用非随机函数来描述。常可以用非随机函数来描述。2.随机项通常呈现出沿一水平波动的性随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。与独立序列有所不同。一、平稳序列例2.1 平稳序列的线性变换baEYt例例2.2 调和平稳序列调和平稳序列自协方差函数的性质自协方差函数的性质性质性质(2)的证明的证明 证证 任取一个任取一个 维实向量维实向量有有Tnaaa),(21n0 )()(211111 niiininjjijininjjijinTXaEXXaaEa
13、a性质(3)、Schwarz不等式非负定性、随机变量的线性相关自相关系数白噪声、白噪声模拟例2.3 Poisson过程Poisson白噪声Poisson白噪声的60样本的产生1. 随机产生服从随机产生服从(0,1)上均匀的上均匀的200个样本个样本:2. 给出服从参数为给出服从参数为1的指数分布的的指数分布的200个独立个独立样本样本;3. 给出参数为给出参数为1的的Poisson过程一条样本轨道过程一条样本轨道在在i=1,61上的取值；上的取值；参数为参数为1的的Poisson白噪声的白噪声的60个个样本样本I0102030405060-1-0.500.511.522.533.54样本样本I
14、I0102030405060-1-0.500.511.52例：布朗运动标准正态白噪声的标准正态白噪声的60个样本个样本: A=randn(1,60)；plot(A)随机相位随机相位独立白噪声的独立白噪声的60个样本个样本独立白噪声的独立白噪声的60个样本，其中个样本，其中独立同分布且都在上服从独立同分布且都在上服从 均匀分布均匀分布ZtUatbXtt),cos()2 , 0(,21UU010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060-1.5-1-0.500.511.5二、正交和不相关性定理2.21.3 线性平稳序列和线性滤波n有限运
15、动平均有限运动平均n线性平稳序列线性平稳序列n时间序列的线性滤波时间序列的线性滤波有限运动平均)2 , 0(,*85. 0*36. 0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468MA的平稳性概率极限定理线性平稳序列1. 线性序列的线性序列的a.s.收敛性收敛性2. 线性序列的平稳性线性序列的平稳性注注:绝对可和下的线性序列绝对可和下的线性序列注注:均方意义下的线性序列均方意义下的线性序列NjjNjjtjaaE|222|0)(n证证 当当 时时. 02|2/|2/12222/|2/12222/|2/12222/|2/|222kjkjjjkjjjjk
16、jkjjjkjkjkjjkjjjkjjkaaaaaaaaaaaak单边线性序列单边线性序列线性滤波线性滤波矩形窗滤波器矩形窗滤波器例例3.1 余弦波信号的滤波余弦波信号的滤波0102030405060708090100-2-1012345678n注:)2/sin()2/sin()2/sin(21)2/sin()cos()cos()cos()(cos(MjjjUtjbUjtbMjMjMjMjMjMjMjMj0102030405060708090100-4-3-2-101234余弦波信号的滤波1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性n随机向量的数学期望和方差n正态平稳序列随机向量的数学期望和方差随机
17、向量线性变换多维正态分布多维正态分布的充要条件正态平稳序列概率极限正态序列收敛定理正态线性序列证明证明 平稳序列已证。下证为正态序列平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何先证对任何 ,有有其中其中 . Nm)9 . 4(), 0(),(21mTmNXXXXjijjimmkjmaa2,)(对任何对任何 , 定义定义则有当则有当 时时, 有有 Tmbbbb),(21n0|)(|kkXnE0|)(|)(|)(|11mkkkkmkkkknnXbEnXbEYE由定理由定理4.2, 得到得到 依分布收敛到依分布收敛到 ， 且且Yn则则 从而由从而由 和定理和定理4.1得到得到(4.9).).,(VarYE
18、YNYbbVarYEYmT , 0用同样方法可以证明用同样方法可以证明: 对任何对任何 有有其中其中 .定理定理4.4成立成立.n注注:当当 时结论仍成立时结论仍成立.)10. 4(), 0(),(21mTlmllNXXXXjijjimmkjmaa2,)(Nl2laj1.5 严平稳序列及其遍历性 严平稳与宽平稳关系遍历性宽平稳遍历性例子严平稳遍历定理例 5.1线性平稳列的遍历定理（1）正态白噪声）正态白噪声（2）Poisson白噪声白噪声（3）独立同分布的白噪声）独立同分布的白噪声 Hilbert 空间中的平稳序列nHilbert 空间n内积的连续性n复值随机变量Hilbert 空间内积的连续性例、n维Hilbert空间 复值随机变量复值时间序列1.7 平稳序列的谱函数n时域和频域谱函数定义谱函数存在唯一性定理谱函数和谱密度的关系线性平稳序列的谱密度例)2 , 0(,*85. 0*36. 0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468自相关函数图谱密度图00.511.522.533.500.511.522.533.5两正交序列的谱线性滤波与谱
