1、 异步电动机在两相坐标系上的数学模型异步电动机在两相坐标系上的数学模型 前已指出，异步电机的数学模型比较复杂，坐标变换的目的就是要简化数学模型。异步电机数学模型是建立在三相静止的ABC坐标系上的，如果把它变换到两相坐标系上，由于两相坐标轴互相垂直，两相绕组之间没有磁的耦合，仅此一点，就会使数学模型简单了许多。 1. 异步电机在两相任意旋转坐标系（dq坐 标系）上的数学模型 两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的，其中以任意转速旋转的坐标系为最一般的情况，有了这种情况下的数学模型，要求出某一具体两相坐标系上的模型就比较容易了。 变换关系 设两相坐标 d 轴与三相坐标 A 轴的夹角为 s ， 而
2、ps = dqs 为 d q 坐标系相对于定子的角转速，dqr 为 dq 坐标系相对于转子的角转速。ABCFsdqssdq 要把三相静止坐标系上的电压方程（6-67a）、磁链方程（6-68a）和转矩方程 （6-85） 都变换到两相旋转坐标系上来，可以先利用 3/2 变换将方程式中定子和转子的电压、电流、磁链和转矩都变换到两相静止坐标系 、 上，然后再用旋转变换阵 C2s/2r 将这些变量变换到两相旋转坐标系 dq 上。 变换过程 具体的变换运算比较复杂，此处从略，需要时可参看附录3。ABC坐标系 坐标系dq坐标系3/2变换C2s/2r（1）磁链方程 dq坐标系磁链方程式（附5-8）为 rqrd
3、sqsdrmrmmsmsrqrdsqsd00000000iiiiLLLLLLLL或写成 rqrsqmrqrdrsdmrdrqmsqssqrdmsdssdiLiLiLiLiLiLiLiL（6-103a） （6-103b） dq坐标系转子等效两相绕组的自感。 msm23LL smsmss23llLLLLLrmrmsr23llLLLLL 式中 dq坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感； dq坐标系定子等效两相绕组的自感；注意： 两相绕组互感 是原三相绕组中任意两相间最大互感（当轴线重合时）的3/2倍，这是因为用两相绕组等效地取代了三相绕组的缘故。异步电机变换到dq坐标系上的物理模型示于下图，这时，定
4、子和转子的等效绕组都落在同样的两根轴d和q上，而且两轴互相垂直，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同轴绕组间存在，所以式中每个磁链分量只剩下两项，电感矩阵比ABC坐标系的 66 矩阵简单多了。 mL 异步电机在两相旋转坐标系dq上的物理模型 dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq（2）电压方程 rddqrrqrqrrqrqdqrrdrdrrdsddqssqsqssqsqdqssdsdssdpiRupiRupiRupiRu（6-104） 将磁链方程式（6-103b）代入式（6-104）中，得到 dq 坐标系上的电压电压电流方程式电流方程式如下 rqrdsqsd
5、rrrdqrmmdqrrdqrrrmdqrmmdqssssdqsmdqsmsdqsssrqrdsqsdiiiipLRLpLLLpLRLpLpLLpLRLLpLLpLRuuuum（6-105） 对比式（6-105）和式（6-67a）可知，两相坐标系上的电压方程是4维的，它比三相坐标系上的6维电压方程降低了2维。 在电压方程式（6-105）等号右侧的系数矩阵中，含 R 项表示电阻压降，含 Lp 项表示电感压降，即脉变电动势，含 项表示旋转电动势。为了使物理概念更清楚，可以把它们分开写即得 rqrdsqsddqrdqrdqsdqsrqrdsqsdrmrmmsmsrqrdsqsdrrssrqrdsqs
6、d00000000000000000000000000000000iiiipLpLpLpLpLpLpLpLiiiiRRRRuuuu（6-106a） TuuuurqrdsqsduTiiiirqrdsqsdiTrqrdsqsdssss000000000000RRRRRrmrmmsms00000000LLLLLLLLL令旋转电动势向量 rqrdsqsddqrdqrdqsdqsr000000000000e则式（6-106a）变成 reiLRiup（6-106b） 这就是异步电机非线性动态电压方程式。与ABC坐标系方程不同的是：此处电感矩阵 L 变成 4 4 常参数线性矩阵，而整个电压方程也降低为4维方
7、程。其中 电机转子角速度。 （3）转矩和运动方程 dq坐标系上的转矩方程为 )(rqsdrdsqmpeiiiiLnT（6-107） 运动方程与坐标变换无关，仍为 tnJTTddpLe（6-87） dqrdqs 式（6-103a）、式（6-104）或式（6-105），式（6-107）和式（6-87）构成异步电机在两相以任意转速旋转的dq坐标系上的数学模型。它比ABC坐标系上的数学模型简单得多，阶次也降低了，但其非线性、多变量、强耦合的性质并未改变。 将式（6-104）或（6-105）的 dq 轴电压方程绘成动态等效电路，如图6-51所示，其中，图6-51a是 d轴电路，图6-51b是 q轴电路，
8、它们之间靠4个旋转电动势互相耦合。图中所有表示电压或电动势的箭头都是按电压降的方向画的。 异步电机在dq坐标系上的动态等效电路a）d轴电路 b）q轴电路 dqssqisdusdRsirdLlsLlrLmurdpsdprddqrrqRrdqssdisqusqRsirqLlsLlrLmurqpsqprqdqrrdRr2. 异步电机在 坐标系上的数学模型 在静止坐标系 、 上的数学模型是任意旋转坐标系数学模型当坐标转速等于零时的特例。当 dqs= 0时， dqr= - ，即转子角转速的负值，并将下角标 d，q 改成 、 ，则式（6-105）的电压矩阵方程变成 rrssrrrmmrrrmmmssmss
9、rrss0000iiiipLRLpLLLpLRLpLpLpLRpLpLRuuuu（6-108） rrssrmrmmsmsrrss00000000iiiiLLLLLLLL（6-109） 而式（6-103a）的磁链方程改为 利用两相旋转变换阵 C2s/2r ，可得 cossinsincoscossinsincosrrrqrrrdsssqsssdiiiiiiiiiiii 式（6-108）式（6-110）再加上运动方程式便成为 、 坐标系上的异步电机数学模型。这种在两相静止坐标系上的数学模型又称作Kron的异步电机方程式或双轴原型电机（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。
10、 )(rsrsmpeiiiiLnT（6-110） 代入式（6-107）并整理后，即得到、 坐标上的电磁转矩 3. 异步电机在两相同步旋转坐标系上的数学模型 另一种很有用的坐标系是两相同步旋转坐标系，其坐标轴仍用d，q表示，只是坐标轴的旋转速度 dqs 等于定子频率的同步角转速 1 。而转子的转速为 ，因此 dq 轴相对于转子的角转速 dqr = 1 - = s ，即转差。代入式（6-105），即得同步旋转坐标系上的电压方程 在二相同步旋转坐标系上的电压方程 rqrdsqsdrrrsmmsrsrrm1mmm1sss1m1ms1ssrqrdsqsdiiiipLRLpLLLpLRLpLpLLpLRLLpLLpLRuuuu（6-111） 磁链方程、转矩方程和运动方程均不变。 两相同步旋转坐标系的突出特点是，当三相ABC坐标系中的电压和电流是交流正弦波时，变换到dq坐标系上就成为直流。
