1、);()1(1B品品只有第一个零件是合格只有第一个零件是合格);()2(2B件是合格品件是合格品三个零件中只有一个零三个零件中只有一个零);(,)3(3B个次品个次品一一但后两个零件中至少有但后两个零件中至少有第一个是合格品第一个是合格品三、典型例题:)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1(,3表示下列事件表示下列事件试用试用个零件是合格品个零件是合格品生产的第生产的第表示他表示他以事件以事件个零件个零件一个工人生产了一个工人生产了 iAiiAii例例1解解;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB );()3(3213AAAB ,)4(3214AAAB
2、;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.).()5(5B三个零件都是次品三个零件都是次品);()4(4B个合格品个合格品三个零件中最多只有两三个零件中最多只有两.:.,ABBCACBACABCCBA 证明证明满足满足设随机事件设随机事件证明证明,BAC 由于由于,BAC 故故BBABC)( 从而从而,BA BABCBCA ,BC ,ABABCACB )(BBACAC 故故BACACB .ABBC 例例2., 6 . 0, 7 . 0率率少有一次命中目标的概少有一次命中目标的概试求两次独
3、立射击至试求两次独立射击至射击命中目标的概率为射击命中目标的概率为这时这时内的概率为内的概率为假设目标出现在射程之假设目标出现在射程之思路思路 引进事件引进事件 ;目标进入射程目标进入射程 A. 2 , 1, iiBi次射击命中目标次射击命中目标第第.,21用全概率公式来求解用全概率公式来求解可利可利因此因此命中目标的命中目标的不在射程之内是不可能不在射程之内是不可能由于目标由于目标的概率的概率故所求概率为事件故所求概率为事件BBB 例例3解解由题意知由题意知)2, 1(, 6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi, 0)(表示目标不在射程之内表示目标不在射程之内因为因为由于由于ABA
4、P 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP ),()(21ABBPAP ,21相互独立相互独立与与由题意知由题意知BB 由加法公式得由加法公式得)(21ABBP)()()(2121ABBPABPABP .36. 06 . 06 . 0 )()()(2121ABPABPABBP 从而从而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 )()()(21ABBPAPBP 故故84. 07 . 0 .588. 0 .,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的
5、报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此故此题要用全概率公式来讨论题要用全概率公式来讨论.例例4解解;3, 2, 1, iHi抽到地区考生的报名表抽到地区考生的报名表记记, 2, 1, jjAj次抽到报名表是男生的次抽到报名表是男生的第第;107)();3 , 2
6、, 1(31)(11 HAPiHPi则有则有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概率公式知由全概率公式知)1( 3111)()()(iiiHAPHPAPp 25515710331.9029 ,)()()()2(22121APAAPAAPq 由全概率公式得由全概率公式得 312121)()()(iiiHAAPHPAAP, )(313121 iiHAAP又因为又因为,30797103)(121 HAAP,308148157)(221 HAAP.3052420255)(321 HAAP,9230530830731)(21 AAP所以所以)()()(2312iiiHAPHPAP 而而
7、312)(31iiHAP,9061252015810731 )()(221APAAPq 所以所以.6120906192 1A2A5A4A3A.),5 , 2 , 1(),(5求此系统的可靠性求此系统的可靠性的可靠性为的可靠性为件件设元设元如图所示如图所示个元件组成个元件组成桥式电路系统由桥式电路系统由 ipAii思路思路 为了求系统的可靠性为了求系统的可靠性,分两种情况讨论分两种情况讨论:.,)1(43215并联电路再串联而得并联电路再串联而得与与并联并联相当于相当于工作正常时工作正常时当当AAAAA例例5.,)2(42315串联电路进行并联而得串联电路进行并联而得串联再与串联再与相当于相当于
8、失效时失效时当当AAAAA解解, 5 , 2 , 1, iABii正常工作正常工作元件元件记记.系统正常工作系统正常工作 C从而由全概率公式知从而由全概率公式知).()()()()(5555BCPBPBCPBPCP )()()(43215BBBBPBCP 而而),1)(1(1)1)(1(14321pppp )()(42315BBBBPBCP ),1)(1(14231pppp 所以所以)1)(1(1)1)(1(1)(43215pppppCP ).1)(1(1)1(42315ppppp .02,87,45,23,1, 5, 2, 0 , 2 XXPaaaaX试求概率试求概率相应的概率依次为相应的概
9、率依次为的可能取值为的可能取值为已知离散型随机变量已知离散型随机变量思路思路 首先根据概率分布的性质求出常数首先根据概率分布的性质求出常数 a 的的值值, 然后确定概率分布律的具体形式然后确定概率分布律的具体形式,最后再计最后再计算算条件概率条件概率. 利用概率分布律的性质利用概率分布律的性质解解, 1 iip三、典型例题例例1因此因此 X 的分布律为的分布律为XP5202 37837123710377aaaapii87452311 有有,837a ,837 a故故从而从而00, 202 XPXXPXXP52020 XPXPXPXPXP.2922 .,212. 2, 21,32, 11, 1,
10、 0)(的分布律的分布律并求并求试确定常数试确定常数且且的分布函数为的分布函数为设离散型随机变量设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX 思路思路 首先利用分布函数的性质求出常数首先利用分布函数的性质求出常数 a, b,再用已确定的分布函数来求分布律再用已确定的分布函数来求分布律.解解:)(的性质的性质利用分布函数利用分布函数xF例例2),0()( iiixFxFxXP, 1)( F221 XP知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxF因此有因此有从而从而 X 的分布律为
11、的分布律为XP211 213161.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函数的分布函数求求求系数求系数的概率密度为的概率密度为已知随机变量已知随机变量XYxFXAxAxfXx 解解有有由概率密度的性质由概率密度的性质,)1( xAxxfxded)(1 0de2xAx,2A .21 A故故例例3,de21)()2( xxxxF有有时时当当,0 xxxFxxde21)( ;e21x 有有时时当当,0 xdede21)(00 xxxxxxF;e211x 所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 . 0,e211, 0,e21)(xxxFxx, 0)3(2 XY由于由于;
12、 0)(,0 yYPyFyY有有时时故当故当有有时时当当,0 y)(2yXPyYPyFY yXyP yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyFYY 由于由于有有时时故当故当,0 ydedd)(dd0 yxYxyyFy,21eyy 的概率密度为的概率密度为从而从而 Y, . 0, 00,e21)(yyyyfyY.2100,cm182)2(?01. 0,)1()cm:()6,170(2的概率的概率顶碰头的人数不多于顶碰头的人数不多于个成年男子与车门个成年男子与车门求求若车门高为若车门高为车门顶碰头的几率小于车门顶碰头的几率小于使男子与使男子与车门的高度车门的高度问应如何设计公共汽车问
13、应如何设计公共汽车单位单位高高设某城市成年男子的身设某城市成年男子的身NX思路思路.2,cm182100.,01. 0,cm的概率的概率求其不超过求其不超过布律布律然后用此分然后用此分的人数的分布律的人数的分布律子中身高超过子中身高超过名男名男第二问首先要求出第二问首先要求出确定确定那么按设计要求应有那么按设计要求应有设车门高度为设车门高度为llXPl 例例4解解),6 ,170()1(2NX由题设知由题设知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l ,01. 0 .99. 0)6170( l 即即,33. 26170 l查表得查表得).cm(98.183 l故故.cm182)
14、2(p的概率为的概率为设任一男子身高超过设任一男子身高超过 61701826170182XPXPp则则)2(1 .0228. 0 ,cm182100的人数的人数个男子中身高超过个男子中身高超过为为设设 Y其中其中则则),0228. 0,100( BY,9772. 00228. 0100100 kkkkYP .100, 1 , 0 k,28. 2,0228. 0,100 nppn其中其中布来计算布来计算故可用泊松分故可用泊松分较小较小较大较大由于由于从而从而! 2e28. 2! 1e28. 2! 0e28. 2228. 2228. 228. 20 YP.6013. 0 ,2102 YPYPYPY
15、P所求概率为所求概率为.,200,6001,):(,a概率概率至少有一只元件损坏的至少有一只元件损坏的内内小时小时试求在仪器使用的最初试求在仪器使用的最初中参数中参数其其都服从同一指数分布都服从同一指数分布小时小时单位单位其寿命其寿命元件元件立工作的同型号电子立工作的同型号电子设某仪器上装有三只独设某仪器上装有三只独 思路思路, 200 )3 , 2 , 1(的事件的事件小时内损坏”小时内损坏”使用的最初使用的最初“在“在分别表示三个电子元件分别表示三个电子元件以以 iAi321AAAPa 于是于是)(1321AAAP ),()()(1321APAPAP 例例5),3 , 2 , 1()( i
16、APpi令令.,便可得解便可得解由指数分布求出由指数分布求出 p解解的概率密度为的概率密度为由题设知由题设知个元件的使用寿命个元件的使用寿命表示第表示第用用)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1( iXiiXii . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx,一分布一分布由三个电子元件服从同由三个电子元件服从同,)(200pAPXPii 又又因此所求概率为因此所求概率为)()()(1321APAPAP 31p 331)e (1 .e11 从而从而 200d)(200 xxfXPi 200600de6001xx,e31 . 3 , 2 , 1 i备备 用用 例例 题题三、典型例题.
17、,0)4(;)3(;,)2(;),()1(:.,310,7210的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下在在是否独立是否独立和和的边缘分布律的边缘分布律的联合分布律的联合分布律求求表示其中的二等品数表示其中的二等品数示其中的一等品数示其中的一等品数表表用用件件件产品中不放回地抽取件产品中不放回地抽取从从件次品件次品件二等品和一件二等品和一件一等品、件一等品、件产品中有件产品中有在在YXYXYXYXYX 例例1有有时时或或当当,32 jiji. 0, jYiXP由古典概率知由古典概率知时时当当,32 ji,3103172, jijijYiXP解解只能取只能取由题设知由题设知 X, 2, 1, 0
18、只能取只能取Y. 3, 2, 1, 0).3 , 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0( jiYX3210210120351202100012042120140001207121112042的分布律为的分布律为因此的因此的),(YX的边缘分布律为的边缘分布律为YX,)2(YX32102101203512021000120421201400012071201 iP12056120561208jP 12011202112063120351, 00, 0)3( YXP因为因为, 012011205600 YPXP.不相互独立不相互独立与与所以所以YX的条件概率为的条件概率为的条件下的条件下在在Y
19、X,0)4( . 3 , 2 , 1 , 0,0, 00 jXPjYXPXjYP的条件分布律为的条件分布律为因此因此 Y0 XjYP328385.00)2(;)1(:. 4 , 3 , 2 , 1, 4 . 01, 6 . 00,2413221143214321只有零解的概率只有零解的概率方程组方程组的概率分布的概率分布行列式行列式求求且且独立同分布独立同分布设设 xxxxiPPii例例2.0,的概率的概率列式列式而第二问就是求系数行而第二问就是求系数行出来出来些值的概率计算些值的概率计算然后利用独立性将取这然后利用独立性将取这能值找到能值找到的所有可的所有可先要将先要将的分布律的分布律要求行
20、列式要求行列式 思路思路解解,)1(321411 记记,213241 则则,214321也相互独立也相互独立故故相互独立相互独立由于由于,1, 0,21两个值两个值都只能取都只能取且且1, 1113221 PPP而而,16. 01132 PP.84. 016. 010021 PP. 1, 0, 1321 个可能取值个可能取值有有随机变量随机变量1, 0121 PP1021 PP,1344. 016. 084. 0 0, 1121 PP0121 PP,1344. 084. 016. 0 1110 PPP.7312. 0 的分布律为的分布律为于是行列式于是行列式 P101 1344. 07312.
21、 01344. 0由于齐次方程由于齐次方程)2(等价于等价于系数行列式不为系数行列式不为只有零解的充要条件是只有零解的充要条件是,00024132211 xxxx0 P01 P.2688. 07312. 01 .0,),(.3, 1,3, 0., 2,0, 1, 0, 0,1, 0),(),(22 UVPVUYXYXVYXYXXUVUyxyyxDYX并计算并计算的联合概率分布的联合概率分布求求如下如下随机变量随机变量定义定义上的均匀分布上的均匀分布服从服从设随机变量设随机变量.,),(概率概率布的特征计算其取值的布的特征计算其取值的并利用均匀分并利用均匀分的所有可能取值的所有可能取值写出写出V
22、U例例3思路思路解解的联合密度函数为的联合密度函数为由题设知由题设知),(YX .),(, 0,),(,2),(DyxDyxyxf:6),(个可能取值个可能取值有有VU)1 , 2()0 , 2()1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(, 0)(0, 0 PVUP, 0)(0, 1 PVUP3,01, 1YXYXPVUP yxyxfYXPyxdd),(00 yxyxdd20 .41 3, 01, 0YXXPVUP 0 XP,21 3,0, 2YXXYPVUP 3YXP ,61 3,1, 2YXXYPVUP 3YXYP .121 的联合概率分布为的联合概率分布为所以所以),(VU
23、VU2101061001214121从而从而0 UVP1, 21, 1 VUPVUP12141 .31 ., 0,0,e),( ),(其他其他的联合概率密度为的联合概率密度为设随机变量设随机变量yxcxyxfYXy例例4.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( YXPYXPYXZYXYXPYXPxyfyxfYXcXYYX求求求求的密度函数的密度函数求求的联合分布函数的联合分布函数求求求求求求为什么为什么是否独立是否独立与与求常数求常数解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccy
24、ycy . 1 cyyxfxfXd),()()2( . 0, 0, 0,dexxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxfyfYd),()( . 0, 0, 0,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy, )()(),(,0yfxfyxfyxYX 上上由于在由于在.不独立不独立与与故故YX)(),()()3(yfyxfyxfYYX ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfXXY ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( YXP22, 1 YPYXP 212d)(dd),(yyfyxyxfY 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21
25、e21221 又由条件密度的性质知又由条件密度的性质知,d)2(211xxfYXPYX ., 0, 20,2)2(其他其他而而xxxfYX从而有从而有xxYXPd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yYxXPyxF . 0),(,00 yxFyx有有时时或或当当有有时时当当,0 xy,),(yYxXPyxF uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有时时当当,0 yx,),(yYxXPyxF vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(2
26、2yxxxxyyyyxyxFyxy或或 ,d),()()6(xxzxfzfZ根据根据,20,0,),(时时即即只有当只有当非零非零由于要被积函数由于要被积函数zxxzxxzxf 从而有从而有:; 0)(,0 zfzZ时时当当,0时时当当 z 20)(de)(zxzZxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e12e)(2zzzzfzzZ 1d)(1)7(zzfYXPZzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( YXP1),min(1 YXP1, 11 YXPuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 ).(,
27、10, 20),(),(sfSYXyxyxGYX的概率密度的概率密度的矩形面积的矩形面积和和试求边长为试求边长为上服从均匀分布上服从均匀分布在矩形在矩形设随机变量设随机变量 解解的概率密度为的概率密度为由题设知二维随机变量由题设知二维随机变量),(YX .),(, 0,),(,21),(GyxGyxyxf若若若若,)(,的分布函数的分布函数为为设设SsSPsFYXS ,0 时时则当则当 s, 0)( sXYPsF例例5,2时时当当 s, 1)( sXYPsF,20时时当当 s)(sXYPsSPsF 1sXYP yxyxfsxydd),(1 yxxssd21d112 . )ln2ln1(2ss
28、., 0, 20),ln2(ln21)(其他其他故故sssf备备 用用 例例 题题三、典型例题 解解).( )( , 2 , 1,)1( , 1XDXEkppkXPXk和和求求它的分布律为它的分布律为服从几何分布服从几何分布设设 11)(kkpqkXE )1 (pq 其中其中 11kkqkp2)1(qp ,1p 例例1 1122)(kkpqkXE 112kkqkp3)1()1(qqp ,12pq 22)()()(XEXEXD 2211ppq .2pq 解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值
29、的数学期望. , 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X , 3 , 2 , 1 nX的所有可能取值为的所有可能取值为则则,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般的一般的., 2, 1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)( nknknk121)1(.32 n例例2解解. ,)( ,! 0 的值的值与与求求已知已知为为的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量BAaXEnABpnXnn , 的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0nnXP 0!nnnBA, 1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA,aA
30、BeB .,aBeAa 因此因此例例3 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年定期一年, 定额定额60元元, 按规定按规定10000个户头中个户头中, 头等奖一个头等奖一个, 奖金奖金500元元; 二等奖二等奖10个个, 各奖各奖100元元; 三等奖三等奖100个个, 各奖各奖10元元; 四等奖四等奖1000个个, 各奖各奖2元元. 某人买了某人买了五个户头五个户头, 他期望得奖多少元他期望得奖多少元?解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的, . 的期望的期望金数金数先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X423410888910110
31、11011010210100500pX分布列为分布列为例例4 的数学期望为的数学期望为X210110101100101500101)(234 XE ),( 45. 0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 )(5)5(XEXE ).( 25. 245. 05元元 ).( )( )0( ., 0, 11,)1()( 2XDXExxcxfX和和求求其他其他的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 解解, )( 是偶函数是偶函数因为因为xf xxxfXEd)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(XEXEXD )(2XE 例例5 1122112d)1
32、()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxxf)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于是于是.321)( XD故故).1 ,min( ,)1(1)( 2XExxfX求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 12102d112d12xxxxx.212ln1 例例6解解 ).( )( ),cos( , 0,20,20),sin(21
33、),( ),( ZDZEYXZyxyxyxfYX和和求求且且其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 yxyxfyxZEdd),()cos()( yxyxyxdd)sin()cos(212020 20d)2cos(2cos21xxx, 0 例例7)()(2ZEZD yxyxyxdd)sin()(cos2120202 2033d2coscos61xxx.92 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量
34、YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例8yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ,14746782134)( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的协方差矩阵为的协方差矩
35、阵为于是于是YX.147461471147149023 的相关系数的相关系数与与YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 备备 用用 例例 题题三、典型例题 解解. , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1221指出其分布参数指出其分布参数并并近似服从正态分布近似服从正态分布随机变量随机变量大时大时充分充分当当证明证明已知已知样本样本的简单随机的简单随机是来自总体是来自总体假设假设 niinkknXnZnkXEXXXX , , 21独立同分布独立同分布因为因为nXXX , , 22221也独立同分布也独立同分布所以所以nXXX例例1,)( 22 iXE且且,)()(
36、)(2242242 iiiEXXEXD根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布. , 充分大时充分大时故当故当n,近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布nV , 充分大时充分大时从而当从而当n )(12224近似服从近似服从 nnVnZ . , 22422的正态分布的正态分布参数为参数为n ?1000161,6000,61,的概率是多少的概率是多少之差的绝对值小于之差的绝对值小于所占的比例与所占的比例与试问在这些种子中良种试问在这些种子
37、中良种粒粒选选今在其中任今在其中任其中良种占其中良种占现有一批种子现有一批种子解解 , 0, 1粒不是良种粒不是良种第第粒是良种粒是良种第第令令iiXi., 2, 1ni ,61)1( iXP则则,1 niinXY记记.6000,61, nnBYn则则例例2根据题意根据题意, 所求概率为所求概率为 10001616000nYP),61000( nYP,61,6000 BYn因为因为由由中心极限定理中心极限定理有有:,651000,1000 NYn近似服从近似服从 10001616000nYP所以所以 6/5100066/510001000nYP15000662 1)208. 0(2 15832
38、. 02 .1664. 0 . )975. 0)96. 1( ,( ,19.6 3 ,100 ),10, 0( 2 效数字效数字要求小数点后取两位有要求小数点后取两位有的近似值的近似值并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出的概率的概率绝对值大于绝对值大于次测量误差的次测量误差的至少有至少有次独立重复测量中次独立重复测量中在在试求试求假设测量的随机误差假设测量的随机误差NX解解, 6 .19 概率概率的的值大于值大于为每次测量误差的绝对为每次测量误差的绝对设设 p6 .19 XPp 106 .1910XP例例3 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 , 6 .19100 的次数的次数出
39、现出现次独立测量中事件次独立测量中事件为为设设 Xk , 05. 0 ,100 的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为则则 pnk3 kP 故故31 kP2989910005. 095. 029910005. 095. 010095. 01 96. 1102XP由由泊松定理泊松定理知知, , 05. 0100 的泊松分布的泊松分布近似服从参数近似服从参数 npk 3 kP 故故31 kP! 2e5! 1e5! 0e5152550 22551e15.87. 0 备备 用用 例例 题题三、典型例题. , )()( , ),( , )1 , 0( 226542321621分布分布服从服从使得使得试
40、决定常数试决定常数的简单随机样本的简单随机样本体体为来自总为来自总服从服从设设 CYCXXXXXXYXXXXNX 例例1解解根据正态分布的性质根据正态分布的性质,),3 , 0(321NXXX ),3 , 0(654NXXX ),1 , 0(3 321NXXX 则则),1 , 0(3654NXXX ),1(3 22321 XXX故故),1(3 22654 XXX , , 2621分布的可加性分布的可加性相互独立及相互独立及因为因为 XXX2654232133 XXXXXX)()(3126542321XXXXXX ),2(2 . ,312分布分布服从服从所以所以 CYC 0.01. , ,),(
41、 ),( ),( 2222111211221的概率大约为的概率大约为过过差超差超使得这两个样本均值之使得这两个样本均值之试确定试确定的样本均值的样本均值和和的两样本的两样本为为的容量的容量是来自正态总体是来自正态总体和和设设 nXXXXXXnNXXnn解解,21 nNX ,22 nNX ,2, 0 221 nNXX 则则 21 XXP 2/221nnXXP 例例2 2/2121nnXXP 221nn 222n ,01. 0 ,995. 02 n 有有查标准正态分布表知查标准正态分布表知,58. 22 n .14 n于是于是.2)(12)2(;2)(12)1( , ),( 16 ),( 2122
42、212216212 niiniiXXnPXnPXXXnNX求概率求概率的样本的样本量为量为从此总体中取一个容从此总体中取一个容设总体设总体解解 , , (1)1621是来自正态总体的样本是来自正态总体的样本因为因为XXX),()(1 2122nXnii 所以所以例例3 21222)(12 niiXnP于是于是 32)(1816122iiXP 32)16(82 P8)16(32)16(22 PP8)16(132)16(122 PP;94. 0 ),1()(1 (2)2122 nXXnii 因为因为 21222)(12 niiXXnP于是于是 32)(1816122iiXXP 32)15(82 P
43、32)15(8)15(22 PP.98. 0 备备 用用 例例 题题三、典型例题解解. , )10(,21的无偏估计量的无偏估计量并验证它是达到方差界并验证它是达到方差界的最大似然估计量的最大似然估计量求参数求参数分布的一个样本分布的一个样本的的是来自参数为是来自参数为设设pppXXXn ,1, 0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfpLnii ,)1(11 niiniixnxpp )(lnpL),1ln(ln11pxnpxniinii 例例1 ppLd)(lnd,111pxnpxniinii , 0d)(lnd ppL由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然
44、估计值为的最大似然估计值为故参数故参数 p,11 niixnp 的最大似然估计量为的最大似然估计量为参数参数 p,11XXnpnii )()(XEpE niiXnE11,)(11pXEnnii . 的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因为又因为),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2);(lnppxfE 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都满足不等式都满足不等式的任何一个无偏估计量的任何一个无偏估计量的参数的参数因为因为 ),( );( 21nX
45、XXpppxf,)1();(ln)(2nppppxfEnpD 的无偏估计量的无偏估计量对于参数对于参数 p,11 niiXnXp niiXnDpD11)( niiXDn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn . 偏估计量偏估计量的无的无的达到方差界的达到方差界是总体分布参数是总体分布参数故故pXp 解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定算得算得个点个点今抽测今抽测超过超过按仪器规定其方差不得按仪器规定其方差不得现对该区进行磁测现对该区进行磁测从正态分布从正态分布设某异常区磁场强度服设某异常区磁
46、场强度服sxN,05. 0,16 n, 5 .27)15(2025. 0 置信区间为置信区间为的的 1 2 ,26. 6)15(2975. 0 )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn ),00599. 0,00136. 0( .,0.012故此仪器工作稳定故此仪器工作稳定不超过不超过由于方差由于方差 例例2备备 用用 例例 题题三、典型例题解解 设某次考试的考生成绩服从正态分布设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中从中随机地抽取随机地抽取36位考生的成绩位考生的成绩, 算得平均成绩为算得平均成绩为66.5分分, 标准差为标准差为15分分, 问在显著性水平问在显著性水平0.0
47、5下下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分分? 并给出检验过程并给出检验过程. , X为为设该次考试的学生成绩设该次考试的学生成绩),( 2 NX则则, , SX 样本标准差为样本标准差为样本均值为样本均值为需检验假设需检验假设:.70:,70:10 HH,05. 0 例例1, 2未知未知因为因为 , 检验法检验法故采用故采用t, 0为真时为真时当当H),1(/70/0 ntnSXnSXt 统计量统计量查表查表 8-1 知拒绝域为知拒绝域为),1(/702/ ntnSXt ,0301. 2)35(,15, 5 .66,36 025. 0 t
48、SXn由由4 . 136/15705 .66/70 nSXt得得,0301. 2 .70 , 0分分绩是绩是认为全体考生的平均成认为全体考生的平均成所以接受所以接受 H解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(千克千克), 得到结果如下得到结果如下:; 8 . 3, 5 .30, 8 :; 4 . 6, 3 .27,10 :2211 SynSxn第二批第二批第一批第一批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)
49、两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异异?)05. 0( 均取均取(1) 检验假设检验假设:.:,:2221122210 HH例例2, 检验法检验法用用F, 0为真时为真时当当H),1, 1( 212221 nnFSSF统计量统计量查表查表 8-1 知拒绝域为知拒绝域为)1, 1(212/ nnFF ),1, 1( 212/1 nnFF 或或,44.14,96.40, 8,10 222121 SSnn由由,82. 4)7 , 9(025. 0 F,283. 0)9 , 7(1)7 , 9(025. 0975. 0 FF,837. 244.1496.4
50、0 F得得,82. 4837. 2283. 0 显然显然. , 0有显著差异有显著差异认为抗折强度的方差没认为抗折强度的方差没所以接受所以接受 H(2) 检验假设检验假设:,:,:211210 HH, 检验法检验法用用t, 0为真时为真时当当H),2(11 2121 nntnnSYXtw统计量统计量.2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中查表查表 8-1 知拒绝域为知拒绝域为).2(212/ nntt ,1199. 2)16()2810( 025. 0025. 0 tt由由,418. 5,3575.291644.14796.4092 wwSS245. 1474. 0418
