1、 11.4 隐函数存在定理在几何方面隐函数存在定理在几何方面的应用的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的且平面与法线二、曲面的且平面与法线复习复习: 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy )(00 xxxf)()(100 xxxf在点在点有有若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0有有因
2、因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx0000000(,)ttM xy z设设对对应应),(0000zzyyxxMttt对应TMM:MM割割线线的的方方程程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面, t上上述述方方程程之之分分母母同同除除以以0,t 令令得得切线方程切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量 .M)(, )(, )(000tttTT000CMCM(,),M xy z
3、 一一个个平平面面通通过过空空间间曲曲线线上上一一点点且且与与过过点点的的切切线线垂垂直直，称称此此平平面面是是空空间间曲曲线线 在在点点的的法法平平面面000000( , , ),(,)( ),( ),( )P x y zxxyy zzttt若若在在法法平平面面上上任任取取一一点点则则向向量量与与切切向向量量垂垂直直，即即0000000( ),( ),( ) (,)tttxxyy zz)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt由向量的内积公式，可得由向量的内积公式，可得法平面方程法平面方程 例例1. 求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos3对应点处的切线方程和法平面
4、方程对应点处的切线方程和法平面方程.3,当当时时切线方程切线方程232RxR法平面方程法平面方程解解: 由于由于,sinRx322RyR3zkk,cosRy , kz 对应的切向量为对应的切向量为在在322(,)RTRk , 故故33+022223()()()RRR xyRk zk2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxM, 且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时时, 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyx
5、GFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程
6、0)(),(),(0zzMyxGF例例2. 求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则则即即0202yzx切向量切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;60666),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导, 得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲
7、线在点曲线在点 M(1,2, 1) 处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程切线方程121zyx即即0202yzx法平面方程法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即即0 zx点点 M (1,2, 1) 处的处的切向量切向量011)1,0, 1(T 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 1）曲面曲面 z = f ( x , y ) 0000(,)P xyz在点在点 处的切平面方程为处的切平面方程为 法线方程是法线方程是0000000()()
8、.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy ( , , )0(5)F x y z 2）设曲面由方程）设曲面由方程 0000(,)P xyz给出给出. 它在点它在点 的某邻域内满足隐函数定理条件的某邻域内满足隐函数定理条件 ），）， （这里不妨设（这里不妨设 000(,)0zFxyz 于是方程于是方程（5）在点在点 0P附附 近确定惟一连续可微的隐函数近确定惟一连续可微的隐函数z = f ( x , y )使得使得 000(,)zf xy ，且且( , , )( , , ),.( , , )( , , )yxzzFx y zFx y zzzxF x y zyF x y z 该曲面在该曲面在 0
9、P处有切平面与法线，它们的方程分别是处有切平面与法线，它们的方程分别是 000000000000000(,)(,)().(,)(,)yxzzFxy zFxy zzzxxyyF xy zF xy z 000000000000000.(,)(,)1(,)(,)xyzzxxyyzzFxy zFxy zF xy zF xy z 与与它们也可分别写出如下形式：它们也可分别写出如下形式： 000000000000(,)()(,)(,)0,xyzF xy zxxF xy zyyF xy zzz 与与000000000000.(,)(,)(,)xyzxxyyzzFxy zF xy zF xy z 例例3. 求
10、球面求球面3632222zyx在点在点(1 , 2 , 3) 处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149令令246,xyzFx Fy Fz( , ),( , ),( , ), ( , )xx u vyy u vzz u vu vD000000000(,),(,),(,)xx uvyy uvzz uv000( ,)( , )( ,),( , )( , )( , )QQQx yy zz
11、xu vu vu v3 )根据根据11.1 定理定理 3 的推论的推论, , 函数组函数组( , ),( , )xx u vyy u v( ,),( ,)uu x yvv x y ( , ), ( , )zz u x yv x y由隐函数的求导法则由隐函数的求导法则, , 有有zzxzyuxuyuzzxzyvxvyv解得解得 ( , )( , ),( ,)( , )y zzyxyzu vuuuux yxzyxyu vvvvv ( ,)( , )( ,)( , )z xxzxyzu vuuuux yyxzxyu vvvvv 0000000( , )( ,)( , )( , )()()( ,)(
12、,)( , )( , )QQQQy zz xu vu vzzxxyyx yx yu vu v 00000006( , )( ,)( ,)()()(),( )( , )( , )( , )QQQy zz xx yxxyyzzu vu vu v或或它的法向量为它的法向量为000( , )( ,)( ,),( , )( , )( , )QQQy zz xx ynu vu vu v0000000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)uuuvvvxxyyzzxuvyuvzuvx uvy uvz uv0000007.( )( , )( ,)( ,)( , )( , )( , )QQQxxyyzzy zz xx yu vu vu v曲面上点的切平面与法线方程曲面上点的切平面与法线方程例例422112233,.xxyuuvuyzzvuvvuv0124( , )( , )( , ),.( , )( , )( , )QQQy zz xx yu vu vu v 124480()(),yz34yz或或2480124,xyz248031xyz或或
