1、1第第5章章 数字滤波器的设计数字滤波器的设计 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器5.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计2数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：5.1 数字滤波器的基本概念3 1.
2、数字滤波器的分类(1)总体分类： 经典滤波器，信号与干扰分占不同频带：选频滤波器 现代滤波器，信号与干扰频带重叠：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等(2)滤波特性：低通、高通、带通、带阻等(3)网络结构：IIR、FIR1001( )( )( )1MrrNnrNknkkb zH zH zh n za z4理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻222222225 2.数字滤波器的技术指标 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示： 数字低通滤波器的技术要求()()()jjjH
3、 eH ee 通带纹波幅度阻带纹波幅度通带截止频率3dB通带截止频率阻带截止频率6 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别定义为：00()20lgdB()()20lgdB()psjpjjsjH eaH eH eaH e(5.1.3) (5.1.4) 如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：20lg() dB20lg() dBpsjpjsaH eaH e (5.1.5) (5.1.6) 7 3. 数字滤波器设计方法概述 SpecificationsDesired IIRButter
4、worth, Chebyshev, elliptic, Bessel, etc.脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同，IIR滤波器设计需要借助于模拟滤波器来完成 回想控制器设计问题85.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 9 图5.2.1 各种理想模拟滤波器的
5、幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c10 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有ap, p,as和s。 p：通带截止频率s：阻带截止频率 ap：通带最大衰减系数as：阻带最小衰减系数22()10lg()apapHjaHj(5.2.1) (5.2.2) 22()10lg()asasHjaHj 将=0处幅度已归一化到1，即|Ha(0)|=1,得到210lg()papaHj 210lg()sasaHj (5.2.3) (5.2.4) 11 技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数
6、满足给定的指标ap和as。 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()( )()()()aaasjaaHjHs HsHjHj (5.2.5) 注意：1. 从数学上讲，有无限多种Ha(s)能满足指标2. 实际中，针对结构给定的Ha(s) （如：Butterworth, Chebyshev, Elliptic等），选取合适的参数12 幅度平方函数：221()1()aNcHj(5.2.6) 两个参数：N, c2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法13 将|Ha(j)|2写成s的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(5.2.7) N阶Butterworth滤波器，|
7、Ha(j)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为：12121()22( 1)()NkckjNcsje (5.2.8) 三阶巴特沃斯滤波器极点分布|Ha(j)|2的2N个极点均匀分布在半径为c的圆上14 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，LHP( )()NcakHsss例：设N=3，极点有6个，它们分别为(5.2.10) 22330121133345jjcccjjcccsessesesse 取s平面左半平面的极点s0, s1, s2组成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHssss15 归一化：由于各滤波器的幅频特性不同
8、，为使设计统一，需要将所有的频率归一化这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 令归一化复变量p=s/c，pk=sk/c，得到归一化巴特沃斯的传输函数101( )()aNkkccHsss(5.2.11) 101( )()aNkkHppp(5.2.12) 16 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(5.2.13)代入(5.2.12)式，得到的Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： 121()22,0,1,1kjkNkcspekN(5.2.13)(5.2.15) 11101( )aNNNGppbpb pb归一化后Ga(p)的N个极点均匀分布在左半单位圆上表
9、6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 20求参数N: 通带指标: 阻带指标:/10/10101()101psapNas/10/10101lglg101psapasN/1021 ()10papNc N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数/1021 ()10saNsc/10/10101lglg101psapasN(5.2.18)21求参数 c: 3dB截止频率c可由通带指标/阻带指标分别得到: 通带指标10.12(101)paNcp 阻带指标(5.2.19)(5.2.20) 10.12(101)saNcs 22低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结： (2) 根据N求出归一化极点pk，以及归一化
10、传输函数Ga(p):/10/10101lglg101psapasN (4) Ga(p)去归一化:121()22kjNkpe101( )()aNkkGppp(3) 求c:110.10.122(101)or(101)psaaNNcpcs 将p=s/c, pk=sk/c代入Ga(p)，得到实际的传输函数Ha(s) (1) 根据技术指标p, ap, s和as，求滤波器的阶数N:23 例5.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N 0.10.11010.024
11、210122.42lg0.02424.255lg2.4psaaspffN 24 (2) 其极点为3455016523754,jjjjjpepepepepe归一化传输函数为401( )()akkGppp25 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1；由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppa pa pa pa pa 其中，a0=1.0000, a1=3.2361, a2=5.2361, a3=5.2361, a4=3.236126 (3
12、) 求3dB截止频率c 按照(5.2.19)式，得到：10.12(101)25.2755/paNcpkrad s (4) Ga(p)去归一化，将p=s/c, pk=sk/c代入Ha(p)中得到：55423324543210( )accccccHssasasasasa27Matlab实现常用函数：buttap, buttord, butter%Butterworth_Lowwp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Ap=2;As=30;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,s);fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi
13、*fk;figure(1); freqs(B,A,wk);Hk=freqs(B,A,wk);figure(2);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,14,-40,5);28103104-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10310410-210-1100Frequency (rad/s)Magnitude02468101214-40-35-30-25-20-15-10-505Frequency(kHz)Magnit
14、ude(dB)293.切比雪夫低通滤波器的设计方法Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减若通带（阻带）边界处满足指标，则通带（阻带）内会有较大余量更有效的方法在通带（或阻带、两者）之内等波纹(equiripple)，可降低滤波器阶数Chebyshev和Elliptic滤波器都是根据此原则设计的30切比雪夫低通滤波器：I型通带等波纹，阻带单调递减II型通带单调递减，阻带等波纹31 0 1，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度愈大；p为通带截止频率；CN(x)为N阶切比雪夫多项式cos(arccos )1( )cosh(arcosh )1NNxxC
15、xNxx 22221()1()aNpAHjC 切比雪夫I型低通滤波器幅度平方函数：(5.2.24) cosh2xxeex双曲函数：p给定，两个参数和N32当： N=0时，C0(x)=1 N=1时，C1(x)=x N=2时，C2(x)=2x2-1 N=3时，C3(x)=4x3-3x可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 CN+1(x)=2xCN(x) - CN-1(x) (5.2.25) CN(x)特性： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。33N=0,4,5切比雪夫多项式曲线Observat
16、ions:CN(x)有N个过零点N为偶数时，在x正半轴有N/2个过零点N为奇数时，在x正半轴有(N+1)/2个过零点CN(x)在x正半轴的过零点对应着|Ha(j)|=134切比雪夫型滤波器幅频特性 N=3N=435|Ha(j)|的性质：x = 0(或 = 0)x = 1(或 = p)0 x 1(或0p) |Ha(j)|在1和 之间振荡x 1 (或 p) |Ha(j)|单调递减到02( 0)1for odd1( 0)for even1aaHjNHjN21( 1)for all 1aHjN21136 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线N相同时，切比雪夫I型性能更好37|Ha(s)|的极点分布：
17、N阶|Ha(s)|2有2N个极点，令分布在左平面的N个稳定极点为|Ha(s)|的极点。通过繁琐的计算可知极点sj为，,0,.,1cos,sin2122iiiipiipiisjiNabiN 极点位于椭圆之上11112,22111NNNNab短轴为ap ，在实轴上长轴为bp，在虚轴上38三阶切比雪夫滤波器的极点分布三个极点，i分别为:0 = 2/31 = 2 = 4/339归一化与去归一化11( )()aNiiGpcpp(5.2.38)c为待定系数，根据幅度平方函数(5.2.24)式可得：c = 2N-1111( )2()aNNiiGppp(5.2.40) 归一化：令p = s/p， pi = s
18、i/p ，1111( )2()2()NNppaNNNNiipiiHsssspcossin,0,.,1iiipajbiN去归一化：(5.2.39)40指标与参数、N之间的关系决定通带内最大衰减ap|Ha(j)|2最大值：|Ha(j)|2最小值：通带内最大衰减ap ：N影响过渡带宽度，以及通带内波动的疏密（N等于通带内极值的总个数）2max10lg10lg 1minpa2max()1aHj221min()1aHj0.12101pa(5.2.27)(5.2.26)求得41和N决定阻带内最大衰减as222max10lg10lg 1()()ssNPasaCHj(5.2.44)2221()1()assNP
19、HjC0.122101()sasNPC 0.12101pa 0.10.1101arcosharcosh101spasaPN结合0.10.1101()cosharcosh101spassNaPPCN求得N42(1) 给定技术指标ap, p, as和s切比雪夫型滤波器设计步骤(2) 计算参数和N0.1101pa0.10.1101arcosharcosh101spasaPN(3) 求归一化极点pi及系统Ga(p)21cossin,0,.,122iiiiipajbiNN111( )2()aNNiiGppp(4) 去归一化得到实际系统Ha(s)11( )2()NpaNNipiHssp43 例5.2.2设
20、计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=60dB。 解：(1) 滤波器的技术要求： 0.1,2,60,2pppsssadBfadBf (2) 求阶数N和：0.10.10.10.011016553,4101arcosh(6553)9.474.65arcosh(4)2.061011010.1526sppasapaN 44 (3) 求Ga(p):5(5 1)11( )0.1526 2()aiiGppp可求出N=5时的极点pi，得到：22( )12.442(0.5389)(0.33311.1949)(0.872
21、00.6359)aGpppppp (4) 将Ga(p)去归一化，得到：7261427141( )(1.0158 10 )(6.2788 104.2459 10 )11.6437 102.2595 10aHssssss45Matlab实现常用函数：cheb1ap, cheb1ord, cheby1, cheb2ap, cheb2ord, cheby2%Chebyshev1_Lowwp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60;N,wp=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,s);B,A= cheby1(N, Ap,wp,s);fk=0:14000/512:14
22、000;wk=2*pi*fk;figure(1);freqs(B,A,wk);Hk=freqs(B,A,wk);figure(2);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,14,-70,5);46103104-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10310410-410-2100Frequency (rad/s)Magnitude02468101214-70-60-50-40-30-20-100Frequency(kHz
23、)Magnitude(dB)474.椭圆低通滤波器简介Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减Chebyshev-I在通带等波纹， Chebyshev-II在阻带等波纹Elliptic在通带和阻带内都是等波纹几种滤波器比较：Butterworth滤波器是Chebyshev滤波器的特殊形式Chebyshev滤波器是Elliptic滤波器的特殊形式Elliptic滤波器性能最好48 UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。2221()1()aNpHjU椭圆低通滤波器幅度平方函数：p给定，两个参数和N。的求法与切比雪夫滤波器相似，N的求法如下： 2121210.1
24、22011,1sin101spasK k KkNK kKkdkkK xx49Observations：椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高，过渡带越窄；椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小，过渡带就越宽General Conclusions：阶数越高，性能越好，系统越复杂；波纹幅度和过渡带宽度是一对矛盾50Matlab实现常用函数：ellipap, ellipord, ellip%Elliptic_Lowwp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60;N,wp= ellipord(wp,ws,Ap,As,s);B,A= ellip(N, Ap,A
25、s,wp,s);fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;figure(1);freqs(B,A,wk);Hk=freqs(B,A,wk);figure(2);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,14,-80,5);51103104-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10310410-610-410-2100Frequency (rad/s)Magnitude02468101214-80-70
26、-60-50-40-30-20-100Frequency(kHz)Magnitude(dB)52几种滤波器比较：N, ap, as相同时的过渡带宽度：Butterworth Chebyshev I = Chebyshev II EllipticButterworth：单调下降Chebyshev I/II：通带/阻带等波纹，过渡带和阻带/通带单调下降Elliptic：通带、阻带都等波纹相位逼近情况： Butterworth和Chebyshev在大约3/4通带接近线性相位特性；Elliptic在大约1/2通带接近线性相位特性复杂性：在满足相同幅频响应指标下的阶数N，Butterworth Cheb
27、yshev I/II Elliptic535. 频率变换与模拟高通、带通和带阻滤波器设计目标：设计指标为as、ap的模拟高通、带通或带阻滤波器Hd(s)54步骤：归一化低通滤波器G (p)的截止频率根据as,ap设计G (p)得到Hd(s)Hd(s)的截止频率频率变换公式Butterworth, Chebyshev, Elliptic频率变换公式：p = F(s)1( )( )( )( )( )( )dp F sds FpHsG pG pHs55(1) 低通到高通的频率变换公式phps(5.2.50) phphjj 复频域： 频域： (5.2.51) 高通滤波器通带截止频率 归一化低通滤波器G
28、(p)频率高通滤波器Hd(s)频率通带0,1ph, +阻带s,+0,sh高通滤波器阻带截止频率 ph 由对称性可得56低通与高通滤波器的幅度特性57例： 设计高通滤波器, ph =200Hz, sh=100Hz，幅度特性单调下降，ph处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。 解 （1）高通技术要求： ph=200Hz, ap=3dB; sh=100Hz, as=15dB （2）频率转换： p=1, 2phssh58 （3）设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.18,2101lg0.182.473lg21( )221psspNG pppp （4）求模拟高
29、通Hd(s)：33223( )( )22phdpphphphssHsG psss 59Matlab实现常用函数：lp2hp%Butt_LP2HPwp=1;ws=2;Ap=3;As=15;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,s);wph=2*pi*200;BH,AH=lp2hp(B,A,wph);figure(1); freqs(B,A);figure(2);freqs(BH,AH);60102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10210310-610-410-2100Frequ
30、ency (rad/s)Magnitude10-1100101-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10-110010110-310-210-1100Frequency (rad/s)Magnitude61其实可以直接来%Butt_HPwp=2*pi*200;ws=2*pi*100;Ap=0.1;As=40;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,high,s);freqs(B,A);102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)1
31、0210310-610-410-2100Frequency (rad/s)Magnitude62(2) 低通到带通的频率变换公式220wspB s(5.2.53) 220wB 复频域： 频域： (5.2.54) 带通滤波器通带的高、低截止频率 归一化低通滤波器G(p)频率高通滤波器Hd(s)频率通带0,1-1,0pl,00,pu阻带s,+-,-s0,slsu,0,puplwpuplB 对数意义下的中心频率63低通与带通滤波器的幅度特性 64例：设计模拟带通滤波器，通带带宽Bw=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减ap=3dB，阻带sl=2830rad/s, su
32、=21200rad/s，阻带最小衰减as=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s, ap=3dB sl=2830rad/s, su=21200rad/s as=15dB, Bw=2200rad/s; (2) 频率转换： p=1,2202201.8741.8331.833slwslssuwsuBB 65 （3）设计模拟归一化低通滤波器G(p)，采用巴特沃斯型，有0.10.1321010.18,1.833101lg0.182.833lg1.8331( )221psspNG pppp （4）求模拟带通Hd(s)： 2()( )( )plpupupldspsHsG p
33、66Matlab实现%Butt_BPwp=2*pi*905,1105;%905*1105 approximates 1000*1000ws=2*pi*830,1200;Ap=3;As=15;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,s);fk=0:2000/512:2000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,2,-20,5);00.20.40.60.811.21.41.
34、61.82-20-15-10-505Frequency(kHz)Magnitude(dB)67(3) 低通到带阻的频率变换公式220wB sps(5.2.58) 220wB 复频域： 频域： (5.2.59) 归一化低通滤波器G(p)频率高通滤波器Hd(s)频率通带0,1-,00,pl pu,阻带s,+-,-ssl,0 0,sl0,puplwpuplB 68低通与带阻滤波器的幅频特性69例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： pl=2905rad/s, sl=2980rad/s, su= 21020rad/s, pu=21105rad/s, ap=3dB, as=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤
35、波器。 解 （1）模拟带阻滤波器的技术要求： 20=plpu=421000025, Bw=su-sl=2200; （2）频率转换： p=1, 2202204.954.955.05wslslswsusuBB 70（3）设计归一化低通滤波器G(p)：0.10.121010.0562,4.95101lg0.05621.82lg4.951( )21psspNG ppp （4）带阻滤波器的Hd(s)为：220( )( )wdsBpsHsG p71Matlab实现%Butt_BSwp=2*pi*905,1105;ws=2*pi*980,1020;Ap=3;As=25;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,stop,s);fk=0:2000/512:2000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,2,-30,5);00.20.40.60.811.21.41.61.82-30-25-20-15-10-505Frequency(kHz)Magnitude(dB)
