1、第二章 动量与角动量守恒动量与角动量守恒2.1.1 2.1.1 动量动量 冲量和质点动量定理冲量和质点动量定理根据牛顿第二定律改写为2.1 2.1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律当作用时间为 ，合外力的冲量为tt 0即 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。质点动量的增量。质点动量定理质点动量定理（1）冲力、平均冲力 tFFFo0ttt平均冲力平均冲力说明：说明： （2）只适用于惯性系。 （3）SI制中，冲量的单位 动量的单位是2.1.2 2.1.2 质点系的动量定理质点系的动量定理n 个质点质点系，第 i 个质点受合外力为 ，
2、受合内力为 。 iFif根据质点动量定理，对第 i 个质点，有对所有质点求和，得因为 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。量。质点系动量定理质点系动量定理2.1.3 2.1.3 动量守恒定律动量守恒定律则有 当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。不变。如果 （2）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律； （3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观和微观领域。常量；时当xniniixiixPvmF110niniyiyiiyPvmF110常量；时当常量。时当zniiz
3、iniizPvmF110某方向所受合外力为零，则此方向的总动量的分量守恒分量守恒。（1）直角坐标系中的分量式：说明：说明： 例 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。证xxlONPTmPdTdm 假定 t 时刻，已落到桌面上的绳长为 x ，质量为 m=M x / l，以此为研究对象。受力如图所示：如图建立坐标系NPTm 求 T ：取 dt 内落至桌面的 dx 为研究对象，受力如图所示：PdTdm将（2）式代入（1）式得2.2 2.2 角动量定理角动量定理
4、角动量守恒角动量守恒2.2.1 2.2.1 质点的角动量质点的角动量 质点对惯性参考系中某一固定点O 的角动量。大小：大小：方向方向 ： 右手螺旋法则。右手螺旋法则。LOrPmOLrmv （1）角动量必须指明对那一个固定点而言。 （2）当质点作圆周运动时， （3）单位（SI）： rmvrPL,22121kg ms千克 米秒说明：说明：MOdFr2.2.2 2.2.2 力矩力矩定义：定义：FrM2.2.3 2.2.3 质点角动量定理质点角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。由于于是得Lrmv2.2.4 2.2.4 质点系角动量定
5、理质点系角动量定理 质点系对某点的角动量对时间的变化率等质点系对某点的角动量对时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的矢量和。矢量和。，若0M例例1 1 如图所示，一半径为如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直的光滑圆环置于铅直平面内。有一质量为平面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。开始时小球静止于圆环上的圆环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该点，该点在通过环心的水平面上，然后从点点在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到设小球
6、与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时点时对环心的角动量和角速度。对环心的角动量和角速度。gmNmRAOBmvr解解 小球受到重力和圆小球受到重力和圆环对其支撑力环对其支撑力, , 但支撑但支撑力对圆心的力矩为零力对圆心的力矩为零. .选圆心为参考点选圆心为参考点, , 由质由质点角动量定理点角动量定理ddddddddcosLtLtLmgR2RmLdcosdRg小球对环心的角动量为小球对环心的角动量为代入上式可得代入上式可得两边积分两边积分00dcosdRgsin2,sin22gRmRRmLRg例例2 2 证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时间内扫过相同
7、的面积。间内扫过相同的面积。dr证证太阳位于行星轨道的一个焦点上太阳位于行星轨道的一个焦点上. .如图所示如图所示. .取太阳为参考点取太阳为参考点, ,由于由于太阳与行星之间的引力太阳与行星之间的引力为有心力为有心力, ,所以角动量守所以角动量守恒恒, ,即即常矢量nremretmretrmrvmr2dddd当行星转过当行星转过d角度时扫过的面积为角度时扫过的面积为d21d2rS 因为行星质量为常量因为行星质量为常量, , 所以单位时间扫过的面积所以单位时间扫过的面积221ddrtS也为常量也为常量. .例例3 3 用绳系小物块使之在光滑水平面上作圆周运动（如图），圆半径为r0，速率为v0。
8、今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆半径至 r 时，小物块的速率v是多大？r0r解解 滑块受到绳子的拉力通过圆心滑块受到绳子的拉力通过圆心, ,对圆心而言对圆心而言, ,滑块所受合力矩为零滑块所受合力矩为零, ,故角动量守恒故角动量守恒, ,即即mrvvmr00于是于是, ,00vrrv 刚体模型：刚体模型： 在受力和运动时形状和大小不变，内部在受力和运动时形状和大小不变，内部质点间没有相对运动。质点间没有相对运动。刚体的运动刚体的运动 刚体运动刚体运动:平动平动+转动。转动。（1）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动中始）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动中始终保持方向不变。可用
9、质心代表整个刚体的运动。终保持方向不变。可用质心代表整个刚体的运动。 （2）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线（转轴）作圆周运动。线（转轴）作圆周运动。 转轴位置不变，刚体上的每转轴位置不变，刚体上的每个质元都以同样的角速度个质元都以同样的角速度 和角和角加速度绕定轴作圆周运动。加速度绕定轴作圆周运动。 角加速度角加速度一、一、 角速度矢量：角速度矢量：角速度角速度OO距轴距轴 r 处的质元处的质元速度速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度imr刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律（1）定轴角动量：）定轴角动量：刚体上质元刚体上质元 i相对于转轴
10、的相对于转轴的角动量为角动量为LizLirOZiv m iiRiLiiiimRL质元质元 i对于对于O点的角动量为点的角动量为但我们感兴趣的是研究定但我们感兴趣的是研究定轴转动，即要研究轴转动，即要研究zL转动惯量转动惯量整个刚体定轴角动量为整个刚体定轴角动量为（2）转动惯量的计算）转动惯量的计算转动惯量的普遍表达式为 Mimri平行轴定理： 与质心平行的转轴，其相应的转动惯量I与质心轴的转动惯量Ic之间的关系定轴转动定律定轴转动定律根据质点系的角动量定律合外力对于轴的合力矩 质点系对某点的角动量对时间的变化率等质点系对某点的角动量对时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的于质点
11、系中各质点所受外力对同一点的力矩的矢量和。矢量和。转动惯量转动惯量整个刚体定轴角动量为整个刚体定轴角动量为例1 求长为l，质量为m的均匀细杆绕中心轴的转动惯量，和绕端点的转动惯量。 dxl xdm=dx解解230223131ddmlIlmlxxmxIl取杆上长为取杆上长为d dx的一段的一段,绕端点的转动惯量绕端点的转动惯量2322121121dd22mllxxmxIll同理同理, ,绕中心轴的转动惯量绕中心轴的转动惯量例2 求 圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量，设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。drrRO解解 设圆盘厚度为h,将圆板分成一系列的同心细圆环，半径为r, 宽度为d
12、r的细圆环的质量为：2240322121d2dd2dmRIhRmRhrhrmrIhrrmR所以为又因为整个圆盘的质量圆盘的转动惯量例3 一质量为m半径为R的匀质圆球，求通过任一直径为轴的转动惯量。解 选用球坐标, 质元为dddsindd2rrVm5220020158sin)sin(dRrrdrdIR334Rm252mRI 考虑到得2.2.6 2.2.6 角动量守恒定律角动量守恒定律因而则，如果, 00dtLdM 如果对于某一定点如果对于某一定点O 质点所受的合外力矩为零，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。则此质点对该点的角动量保持不变。 在有心力场中，如在有心力场中，如万
13、有引力场万有引力场 、静静电引力场电引力场中，角动量守恒。中，角动量守恒。对于刚体, 若Mz=0，则Lz=c, 角动量守恒说明：说明：1）定律是瞬时对应关系；定律是瞬时对应关系；2）,IM应是对同一轴而言的应是对同一轴而言的 绕某定轴绕某定轴 z 转动的刚体，如果在转动的刚体，如果在 z 轴轴上所受的合外力矩为零，刚体相对于上所受的合外力矩为零，刚体相对于 z 轴轴的角动量不变。的角动量不变。角动量守恒定律角动量守恒定律例4 AB是放在光滑水平面上的匀质细杆，其长度为l，质量为M，B端固定于竖直轴O上，使它可绕轴自由转动。一质量为m的子弹在水平面内沿与杆相垂直的方向，以速率v射入A端，子弹击穿A后速率减为v/2，其运动方向不变。求细杆的角速度。OBA解解 选杆与子弹为系统选杆与子弹为系统, 外力相对于轴外力相对于轴O的合力矩的合力矩为零为零, 故角动量守恒故角动量守恒.2312Mlvlmlmv由上式可得杆的角速度为由上式可得杆的角速度为Mlmv23
